Steady, Quasi-Periodic, and Chaotic Regimes of Natural Convection Around a Heated Cylinder in a Square Cavity

技术摘要：方腔内加热圆柱周围自然对流的稳态、拟周期与混沌机制

问题陈述
本研究调查了在冷正方形封闭腔内，中心加热的半径为 $R = 0.2L$ 的圆形圆柱周围空气（$Pr = 0.71$）的非定常自然对流现象。虽然差异化加热的正方形腔体是一个标准的基准测试，但内部加热圆柱的加入引入了复杂的流场重组。以往的文献主要关注稳态解或有限的非定常范围，且通常施加人工对称性约束（例如，将流函数在圆柱处限制为零），这抑制了非对称流模态。因此，该配置下不稳定性发生的临界瑞利数（$Ra_c$）、具体的通向混沌之路以及完整的流态序列仍未得到解决。本研究旨在通过模拟从稳态层流到混沌的转变，且不强制执行对称性，从而允许非对称模态自然生长，以填补这些空白。

方法论
作者采用了基于体素的有限元法（FEM）在保形网格上进行计算。关键方法论特征包括：

• 控制方程： 在 Boussinesq 近似下，求解了原始变量形式的非定常二维 Navier-Stokes 方程和能量方程。未在垂直中心线上施加对称条件。
• 网格生成： 通过射线投射（ray-cast projection）结合调和平滑，从笛卡尔背景网格生成保形网格。该方法无需坐标变换或浸入边界插值即可精确解析弯曲的圆柱边界。
• 数值方案： 使用显式分数步（投影）算法，并对对流扩散项采用二阶 Adams-Bashforth 处理。压力泊松方程使用经过热启动的共轭梯度法求解，并利用元素逐个（EbE）无矩阵乘积来高效处理非结构化网格。
• 验证与网格无关性： 求解器通过了 De Vahl Davis 基准测试（$Ra = 10^6$）的验证。网格收敛指数（GCI）研究确认了网格无关性，其圆柱 Nusselt 数的细网格不确定度为 0.84%。
• 模拟范围： 模拟了八个瑞利数，范围从 $10^4$ 到 $5 \times 10^7$。记录了圆柱平均 Nusselt 数（$Nu_{cyl}$）的时间历程，并利用分布在腔体内的 11 个探针点生成了能量谱密度（ESD）和庞卡莱映射（Poincaré maps）。

主要结果
研究识别了三种不同的流态，并表征了它们之间的转变过程：

1. 稳态机制 ($10^4 \le Ra \le 5 \times 10^6$)：

   • 流场保持稳态且关于垂直中心线对称，其特征是两个镜像回流池和一个从圆柱升向顶壁的单一热羽流。
   • 在 $Ra = 5 \times 10^6$ 时，出现了第一个物理对称性破缺的迹象：负流函数核心的量级（$|\psi_{min}|$）超过正核心（$\psi_{max}$）约 3.6%，尽管流场在视觉上仍保持对称。
   • 热传递由顶壁主导（吸收了约 55% 的总壁面热量），而底壁由于下部腔体的热分层作用，贡献不足 2%。

2. 不稳定性起始 ($5 \times 10^6 < Ra_c < 7.5 \times 10^6$)：

   • 不稳定性发生的临界瑞利数被限定在 $5 \times 10^6$ 与 $7.5 \times 10^6$ 之间。这是通过 $Nu_{cyl}$ 标准差的剧烈跳跃（超过三个数量级）来确定的。
   • 该临界值高于此前强制执行对称性的稳态研究所暗示的值，证实了抑制非对称模态会人为地延迟转变过程。

3. 非定常机制 ($Ra \ge 7.5 \times 10^6$)：

   • 极限环 ($Ra = 7.5 \times 10^6$)： 流场表现出单频周期性振荡（极限环）。紊乱源自圆柱上方的羽流。
   • 拟周期 ($Ra = 10^7$)： 出现了第二个不相干频率，使流场处于二维环面（two-torus）状态。庞卡莱截面显示为一条闭合曲线，且下部的分层池开始感应到次级频率。
   • 混沌 ($Ra = 5 \times 10^7$)： 流场向宽带奇异吸引子转变。庞卡莱截面呈现出散乱的点云，能量谱密度变为连续分布。紊乱从羽流向下传播至侧壁，最终到达下部分层池，使其在较宽的时间尺度范围内变得活跃。
   • 平均值的对称性： 尽管瞬时快照表现出强烈的非对称性，但时间平均场恢复了双侧对称性。这是一种统计效应，即系统在时间上频繁且均衡地访问镜像状态。

热传递关联式

• 一个单一幂律公式 $Nu_{cyl} = 0.764 Ra^{0.226}$ 能够拟合整个范围（$10^4 \le Ra \le 5 \times 10^7$）内的圆柱时间平均 Nusselt 数，偏差小于 6%。
• 稳态分支的指数 $n \approx 0.224$，而非定常分支的指数 $n \approx 0.243$。这两个数值均介于经典层流边界层预测（$n=0.25$）与 Castaing 软湍流标度（$n \approx 0.286$）之间，表明该流场并非完全湍流，而是受到波动场的影响。
• 底壁 Nusselt 数（$Nu_{bot}$）随 $Ra$ 增加而降低，这一反直觉的趋势归因于热分层的增强以及冷射流被困在底部角区涡流中。

意义与主张
本文声称提供了首次对中心加热圆柱配置下，在不施加人工对称性约束的情况下，从稳态到混沌自然对流完整转变序列的全面数值表征。主要贡献包括：

• 临界瑞利数： 通过允许非对称模态发展，建立了一个更准确的 $Ra_c$ 范围，纠正了因对称性约束导致的先前高估。
• 通向混沌之路： 证实了转变遵循 Ruelle-Takens-Newhouse 路径（极限环 $\to$ 二维环面 $\to$ 奇异吸引子），而非倍周期分叉级联。
• 紊乱的空间传播： 证明了混沌始于热羽流并向下传播，而下部分层池在极高瑞利数下才表现出活跃性。
• 参考数据： 为内部几何形状与非定常动力学相互作用的配置，提供了可靠的关于临界瑞利数、机制转变及全局热传递关联性的基准数据。

作者指出，本研究受限于二维、单一圆柱半径（$R=0.2L$）以及 $Pr=0.71$，并建议未来可向三维、偏心位置以及变化普朗特数方向进行扩展。