Variance gamma approximation to sums of triplewise independent random variables

技术摘要：三元独立随机变量之和的方差伽马（Variance Gamma）近似

问题陈述
中心极限定理（CLT）阐明了相互独立且同分布（i.i.d.）的随机变量的标准部分和收敛于标准正态分布。然而，这种收敛高度依赖于相互独立性。众所周知，相互独立性不能被放宽为成对独立，甚至不能放宽为三元独立，否则可能会失去正态性。具体而言，可以构造出三元独立的随机变量序列，使其标准部分和收敛于一个非正态分布。

先前的研究（特别是 Beaulieu 等人的研究）表明，对于一种基于完全二部图的特定构造，三元独立随机变量的标准部分和收敛于方差伽马（VG）分布而非正态分布。虽然这种极限行为已知，但目前仍缺乏衡量此类近似误差率的定量误差界。本文旨在解决利用方差伽马分布来近似三元独立随机变量的部分和，并推导该近似的显式误差界的问题。

方法论
作者采用了 Stein 方法（一种用于界定两个概率分布之间距离的概率技术），并结合了广义零偏差变换（generalized zero-bias transformation）。

1. 图论构造： 研究利用了一个具有 $m$ 个顶点在每个划分中的完全二部图 $G_m$。随机变量被分配到顶点上，并根据这些顶点变量的相等性来定义边。这种构造生成了一个三元独立的随机变量序列。
2. 针对 VG 分布的 Stein 方法： 作者利用了针对方差伽马分布的特定 Stein 方程。对于目标变量 $Z \sim VG(1, 0, 1, 0)$，其 Stein 算子定义为 $A_2f(x) = xf''(x) + f'(x) - xf(x)$。通过分析该方程的解 $f_h$ 来建立其导数的界。
3. 广义零偏差变换： 作者应用了 $n$ 阶零偏差分布的概念（在此背景下为 2 阶）。他们构造了随机变量之和 $W_l$ 与其对应的零偏差版本 $W_l^{*(2)}$ 之间的耦合。
4. 界定距离： 通过结合 Stein 方程解的性质与零偏差变换的性质，作者界定了部分和与极限 VG 分布之间的 Wasserstein 距离和有界 Wasserstein 距离。

主要贡献与结果

• 首次得出关于三元独立的误差界： 本文声称是第一篇针对三元独立随机变量之和的近似，推导出关于概率度量（Wasserstein 和有界 Wasserstein 距离）的显式误差界的著作。
• 推导边界：
  • 作者建立，对于 $W_l$（标准化和）和 $Z \sim VG(1, 0, 1, 0)$，有界 Wasserstein 距离满足：
    $$d_{bW}(W_l, Z) \leq \frac{5}{4\sqrt{l}m} \left( \|h'\| + \frac{9}{2}\|\tilde{h}(x)\| \right)$$
  • 因此，Wasserstein 距离由下式界定：
    $$d_W(W_l, Z) \leq \frac{495}{32\sqrt{l}m}$$
  • 这些结果被扩展到极限为 $Z \sim VG(l-1, 0, 1, 0)$ 的情况，其界与 $\frac{\sqrt{l(l-1)}}{m}$ 成比例。
• 收敛速率： 分析表明，该极限结果的收敛阶为 $O(m^{-1})$（或者等价于 $O(n^{-1/2})$，其中 $n=m^2$ 是边的数量）。

意义与主张
作者将这项工作定位为依赖随机变量极限定理文献中的一项创新贡献。虽然 Beaulieu 等人此前已经确立了三元独立和向方差伽马分布收敛的存在性，但本文提供了该收敛的定量速率。

文中明确指出，获得 $O(m^{-1})$ 的收敛阶是一个新颖的结果。通过提供这些界，这项工作超越了 CLT 的定性反例，提供了一个严谨的框架来衡量三元独立变量之和近似方差伽马分布的紧密程度。其方法论依赖于三元独立性与完全二部图之间的特定联系，并利用广义零偏差变换来处理该构造中固有的依赖关系。