Lattice Boltzmann modeling for conduction heat transfer based on the Qadyan method

技术摘要：基于 Qadyan 方法的导热传热格点玻尔兹曼建模

问题陈述
本文探讨了使用格点玻尔兹曼方法（LBM）进行导热传热模拟的问题。虽然 LBM 在流体动力学领域表现出色，但其在热传导应用中面临着网格均匀性和数值稳定性方面的限制。标准的 LBM 方案，特别是基于 Bhatnagar–Gross–Krook (BGK) 近似法的方案，通常受限于具有相等空间步长的均匀网格。此外，标准的空间离散化方法（如二阶有限差分格式）可能会在解中引起数值振荡。本研究旨在评估替代性的空间离散化策略，以在不引入标准 LBM 框架额外复杂性或转向非均匀网格的情况下，提高精度和稳定性。

研究方法
本研究实现并对比了三种不同的求解热传导格点玻尔兹曼方程（LBE）的方法：

1. 标准 LBM： 利用传统的格点模型（D2Q9、D2Q8 和 D2Q5）以及标准的碰撞-迁移过程。研究指出，对于纯扩散问题，由于热扩散缺乏方向性偏好，较少速度集的模型（如 D2Q8 和 D2Q5）已足够使用。
2. 有限差分格点玻尔兹曼法 (FDLBM)： 该方法使用有限差分格式对 LBE 的对流项进行离散化。具体而言，它采用一阶前向差分处理时间导数，并采用一阶上风格式处理空间导数以避免振荡，尽管这使得边界附近的空间精度被限制在第一阶。
3. Qadyan 方法： 由 Ghadyani 等人提出的一种新颖方法，该方法将半离散格式与微分求角法 (DQM) 相结合。在该方法中，LBE 中的空间导数使用 DQM 加权系数进行离散化。为了复制平流-扩散问题中固有的上风效应，该方法通过修改加权系数，使权重向游向上游的节点倾斜，而非下游节点。这使得 LBE 可以作为常微分方程组进行求解，而不受特定离散速度模型类型的限制。

研究通过平板在 Dirichlet（恒温）和 Neumann（绝热/零通量）边界条件下的单维瞬态热传导对上述方法进行了验证。由热方程推导出的解析解作为基准。研究通过计算误差范数（$L_1$、$L_2$ 和 $L_\infty$）来评估准确性，并解决了一个二维板扩散问题，以证明该方法在多维情形下的适用性。

主要贡献与结果

• 精度与稳定性： 结果表明，虽然传统的 LBM 具有高精度，但所提出的 Qadyan 方法提供了一种稳健的替代方案，特别是在 Neumann 边界条件下，其精度优于 FDLBM。对于 Dirichlet 条件，标准 D2Q5 LBM 显示出最低的误差范数，但 Qadyan 方法的表现显著优于 FDLBM 格式。
• 网格独立性： Qadyan 方法成功扩大了解的精度和稳定性范围，在不引入标准格点玻尔兹曼法额外复杂性或采用非均匀网格的情况下提高了精度。
• 计算成本： 一个关键发现是精度与效率之间的权衡。由于需要增加 DQM 加权系数的计算操作次数，Qadyan 方法相比于标准 LBM 和 FDLBM 具有更高的计算成本和更长的模拟时间。
• 参数敏感性： 研究确定，对于标准 LBM 和 FDLBM，格点速度的参考值取决于边界条件的类型（温度 vs 通量）。相比之下，Qadyan 方法无论边界条件类型如何，均使用一致的格点速度值（$c=0.015$），从而简化了参数选择。
• 二维验证： 在二维正方形板模拟中，Qadyan 方法生成的等温线轮廓和中心线温度分布与有限差分法的结果表现出良好的一致性，证明了其处理多维热传导问题的能力。

意义与主张
本文主张 Qadyan 方法是适用于广泛导热传热问题的有效途径。其主要意义在于能够在不引入非均匀网格复杂性或放弃 LBM 框架的前提下，提高数值精度。作者断言该方法稳健且易于实现。然而，论文对效率持谨慎态度，承认该方法比传统方法计算开销更大。研究结论认为，尽管 Qadyan 方法需要更长的计算时间，但其针对特定边界条件所提升的精度和稳定性证明了其应用的价值，为导热传热模拟中的标准 LBM 格式提供了一个具有竞争力的替代方案。