Residual-adaptive truncation in an arbitrary-order tangent iteration for $\pi$: quadratic growth of the accuracy exponent

技术摘要：用于 $\pi$ 计算的任意阶切线迭代中的残差自适应截断法

问题陈述
$\pi$ 的计算是解析恒等式、非线性迭代与高精度算术之间相互作用的一个基准。虽然基于级数的方法（如 Chudnovsky 法）每项提供线性增长的正确位数，且固定阶数的迭代方法（如 Brent–Salamin 法或 Labelle 的切线迭代）提供代数收敛阶，但目前存在一种方法的空白，即收敛阶本身能够根据当前精度自动进行调整。现有的任意阶构造需要预先设定的整数阶 $p$，从而导致固定的代数收敛速率。本文探讨了是否可以直接从当前的残差中选择切线迭代的截断深度，从而使误差修正指数随着近似值的改进而自动增加。

方法论
所提方法利用了局部恒等式 $\pi = x - \arctan(\tan x)$，该式在 $\pi$ 附近的单位分支内有效。令 $x_n$ 为 $\pi$ 的一个近似值，其误差为 $e_n = x_n - \pi$。切线残差定义为 $t_n = \tan x_n = \tan e_n$。由于 $e_n = \arctan t_n$，误差可以表示为 $\arctan t_n$ 麦克劳林级数的尾项。

核心创新在于残差自适应截断规则：

1. 残差精度指数：定义 $\rho_n = -\log_{10} |t_n|$。
2. 自适应截断指标：设定截断深度 $d_n = \max\{1, \lfloor \rho_n \rfloor\}$。该指标代表了当前残差的十进制数量级。
3. 迭代步骤：通过减去 $\arctan$ 级数的前 $d_n + 1$ 项来计算下一个迭代值：
   $$x_{n+1} = x_n - \sum_{j=0}^{d_n} \frac{(-1)^j t_n^{2j+1}}{2j+1}$$
   新的误差 $e_{n+1}$ 正好对应于从第 $2d_n + 3$ 项开始的交错级数被忽略的尾项。

主要贡献

1. 非平稳迭代方案：本文引入了一种非平稳迭代，其中更新的解析形式保持不变，但截断深度 $d_n$ 根据切线残差的大小在每一步发生变化。
2. 严格误差分析：通过利用交错级数余项定理，作者推导出了新误差的精确尾项表示。这得到了一个统一的渐近余项界限：
   $$|e_{n+1}| \leq \frac{|t_n|^{2d_n+3}}{2d_n+3}$$
3. 精度的平方增长：主要的理论结果是推导了十进制精度指数 $D_n = -\log_{10} |e_n|$ 的递推关系。本文证明，当 $e_n \to 0$ 时：
   $$D_{n+1} = 2D_n^2 + O(D_n)$$
   文中还提供了一个精细的展开式，以解决由向下取整函数引起的线性项和对数修正问题。
4. 超代数收敛：研究表明，对于任何固定的 $r > 0$，比值 $|e_{n+1}|/|e_n|^r \to 0$。这意味着该方法的收敛速度快于任何固定的代数阶，尽管作者将这种数学上的收敛与计算复杂度进行了区分。
5. 分支不变性：本文证明，一旦迭代值进入区间 $|x_n - \pi| < \pi/4$，后续所有迭代值都将保持在同一个反正切分支上，从而确保了整个过程中主分支恒等式的有效性。

结果
该方法通过从一个一项 Chudnovsky 近似值 ($x_0$) 开始进行了数值验证。观察到的收敛情况与理论预测高度吻合：

• 迭代 0 到 1：精度从 $\approx 13$ 位增长到 $\approx 385$ 位。
• 迭代 1 到 2：精度从 $\approx 385$ 位增长到 $\approx 297,686$ 位。
• 迭代 2 到 3：理论预测表明精度指数约为 $\approx 1.77 \times 10^{11}$。计算出的迭代值 $x_3$ 被证实与独立参考数据（Trueb 的 22.4 万亿位数据集）在至少 1,000,000 位小数上保持一致。
  数值数据确认了平方增长律 $D_{n+1} \approx 2D_n^2$ 以及自适应截断规则的有效性。

意义与主张
本文的意义在于确立了一个闭式递推关系，该关系源于将截断深度与残差大小耦合而自然产生的精度指数。

• 数学收敛性：一旦进入渐近区域，该方法达到精度指数 $N$ 所需的外层迭代次数为 $O(\log \log N)$，优于固定阶方法所需的 $O(\log N)$。
• 与复杂度的区别：作者明确指出，这一结果涉及的是数学收敛性，而非计算复杂度。他们并未声称在实际运行时间上优于经过优化的 Chudnovsky 法或基于 AGM 的方法，并指出高精度评估超越函数残差以及求和大量项本身也带有其自身的算术成本。
• 一般原理：这项工作展示了一个一般性原理：当在单个解析展开中可以使用任意阶修正时，当前的残差不仅可以用于估计误差，还可以用于确定截断深度，从而将一个固定阶族转化为具有平方精度增长的非平稳方案。

本文结论指出，虽然平方律是由于特定的线性调度 $d_n \sim \rho_n$ 而产生的，但显式的残差控制截断规则及其严格的误差分析代表了对 $\pi$ 非线性求根理论的新颖贡献。