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Operator Learning for Robust Discovery of Fractional-Order Dynamical Systems from Noisy Data

本文提出了一种鲁棒的框架，通过集成用于精确分数阶导数估计的深度算子网络（DeepONet）与用于稀疏回归的集成稀疏非线性动力学识别（ensemble SINDy），从噪声数据中发现分数阶动力系统的控制方程，证明了其相比于经典的有限差分法和标准神经网络具有更高的准确性和泛化能力。

原作者： Yones Yousefpur Azar, Hossein Kheiri, Hamidreza Marasi

发布于 2026-09-15

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CC BY 4.0

原作者： Yones Yousefpur Azar, Hossein Kheiri, Hamidreza Marasi

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

科学经常试图为世界的运行编写规则手册，从血管中血液的流动到桥梁的振动。对于许多系统而言，这些规则被写成描述事物如何随时间变化的方程。然而，一些系统具有“记忆”；它们当前的状态不仅取决于正在发生的事情，还取决于之前发生的一切。为了描述这种行为，科学家们使用了一种被称为分数阶微积分（fractional calculus）的特殊数学工具。与关注即时变化的标准方程不同，这些分数阶方程观察的是系统的整个历史。这使得它们在模拟现实世界现象方面极其强大，例如材料的拉伸与松弛，或是疾病在人群中的传播方式。但这种力量也伴随着代价：由于这些方程依赖于整个过去，当数据杂乱无章时，它们在求解上是出了名的困难。在现实世界中，测量永远不会是完美的；它们总是受到微小误差和噪声的影响。当科学家尝试使用标准的数学工具，试图从带有噪声的数据中推导出这些基于记忆的系统的规则时，微小的误差会被放大，往往导致完全错误的结论。

来自大不里士大学的一个研究小组开发了一种解决这一问题的新方法，使其即使在数据不完美的情况下也能发现这些复杂系统的隐藏规则。他们的研究方法结合了两个截然不同的想法：一种旨在理解数据模式的人工智能，以及一种能够找到最符合数据的最简方程的统计方法。研究人员意识到，主要的瓶颈不在于寻找方程本身，而在于如何从带有噪声的数字中准确计算出方程中的“记忆”部分。为了解决这个问题，他们训练了一个神经网络来充当一个专门的“翻译官”。这个网络通过数百万个模拟示例进行学习，学习如何观察一段杂乱、多噪的系统历史，并立即生成一个干净、准确的分数阶变化率估计值。一旦这个翻译官训练完成，它就可以用于处理真实的、带有噪声的测量数据，从而为第二步——识别控制方程——提供所需的干净数据。

研究人员在多个不同的系统上测试了这个两步走的过程，包括简单的线性模型和行为复杂的非线性混沌模型。他们将这种新方法与使用了数十年的传统数学工具以及一种标准的神经网络进行了对比。结果令人瞩目。在对线性系统的测试中，传统方法几乎完全失败，产生的误差巨大到导致所得方程毫无用处。标准神经网络的表现稍好，但当数据发生轻微变化时，它仍然表现挣扎。然而，新方法保持了稳健性。即使输入数据包含显著噪声，它也能以高精度成功识别出正确的方程。研究人员发现，对于较简单的系统，导数估计的准确性是关键；一旦他们使用这种新的翻译官清理了数据，寻找方程的步骤就能完美运行。

然而，当他们转向复杂的非线性系统时，故事变得更加微妙。在这里，即使研究人员提供了完美的、无噪声的导数数据，寻找方程的步骤仍然难以找到正确答案。这揭示了一个关键洞察：对于这些更复杂的系统，问题发生了转移。这不再仅仅是关于清理数据的问题，其难点在于如何在庞大的可能性库中，从带有噪声的数据中挑选出正确的方程这一数学挑战。研究人员指出，虽然他们的新方法有效地解决了数据清理问题，但未来的突破可能来自于改进方程寻找工具本身，而不仅仅是制造更好的数据清洗器。

该研究还探讨了这种方法在面对从未见过的场景（例如系统从完全不同的状态开始，或运行时间比训练数据更长）时的表现。在这些测试中，新方法比标准神经网络表现得更为出色，后者在条件发生变化时往往会失效。这表明，新方法学习的是系统行为的底层结构，而非仅仅是记忆特定的数据点。研究人员指出，这种方法在工程学和生物学领域特别有用，因为在这些领域，科学家通常知道描述某一类系统的方程族，但需要为新的个体实验找到具体的规则。通过在模拟数据上预先训练一次翻译官，它可以被重复用于许多不同的现实世界实验，而无需重新训练，从而节省了时间和计算能力。

最终，这项工作证明了理解基于记忆的系统，最大的障碍并非方程本身的复杂性，而是用于寻找它们的数据的可靠性。通过使用专门的人工智能在数学运算开始之前先对数据进行清洗，研究人员展示了一条通往更准确发现的清晰路径。虽然该方法在面对最复杂的混沌系统时仍面临挑战，但它代表了一个重要的进步。它表明，通过将数据清洗任务与寻找规则的任务分离，科学家可以构建更可靠的世界模型，将嘈杂、不完美的观测转化为清晰、可理解的自然法则。

技术摘要：基于算子学习的噪声数据下分数阶动力系统的鲁棒发现

问题陈述
从含有噪声的实验数据中识别分数阶动力系统的控制方程面临一个关键瓶颈：分数阶导数的估计。与整数阶导数不同，分数阶导数（特别是 Caputo 导数）是非局部算子，依赖于解的整个历史过程。这一特性使得数值微分对测量噪声极其敏感；观测轨迹中即使是微小的扰动，也会在历史数据的累积过程中被放大，导致导数估计不准确。由于诸如 SINDy（稀疏识别非线性动力学）之类的稀疏系统识别方法高度依赖于这些导数输入的质量，噪声引起的导数估计误差会直接传播到发现过程中，从而导致错误的模型结构或不可靠的系数。尽管最近已有尝试将 SINDy 应用于分数阶系统，但这些方法主要依赖于经典的数值近似方法（如分数阶有限差分，FFD），这些方法在噪声环境下仍表现出不稳定性。

方法论
作者提出了一个混合的两阶段框架，将分数阶导数估计与控制方程发现进行解耦。该方法通过将微分算子的学习与稀疏回归任务分离，从而提高鲁棒性和可重用性。

离线算子学习 (DeepONet)：
- 在由已知分数阶系统族生成的合成轨迹上训练深度算子网络 (DeepONet)。
- 该网络学习映射 $G: (x(t), t) \mapsto D^\alpha x(t)$ ，其中输入是带噪声的状态轨迹和时间坐标，监督目标是根据控制方程计算出的精确分数阶导数。
- 其架构包含一个分支网络（处理状态历史）和一个躯干网络（编码时间），并通过内积进行结合。
- 一旦训练完成，该网络即可作为 Caputo 导数的、可重用的数据驱动代理。它可以处理噪声测量值并生成去噪后的导数估计。与具有 $O(N_t^2)$ 复杂度的 FFD 不同，DeepONet 的推理规模为线性 $O(N_t)$ 。
在线稀疏识别 (Ensemble SINDy)：
- 由 DeepONet 生成的去噪导数估计值被输入到集成 SINDy 算法中。
- 从测量的状态构建候选非线性函数库（多项式）。
- 通过在多个自助采样样本上使用顺序阈值最小二乘法 (STLS) 来解决稀疏回归问题 ( $\hat{D}^\alpha X = \Theta(X)\Xi$ )，从而识别控制方程。最终系数根据其被选中的频率进行聚合，以确保稳定性。

核心贡献

混合框架： 本文引入了一种结合预训练 DeepONet 与集成 SINDy 的新颖流水线，用于从噪声数据中鲁棒地发现分数阶方程。
解耦策略： 通过将导数估计与方程发现分离，该方法允许针对噪声鲁棒性专门优化算子学习组件，同时保持最终稀疏模型的可解释性。
全面基准测试： 研究针对线性系统和非线性系统、不同噪声水平以及不同分数阶，与经典的分数阶有限差分 (FFD) 和传统的多层感知器 (MLP) 基准进行了严格对比。
泛化分析： 研究评估了分布外 (OOD) 泛化能力，包括未见的初始条件和时间外推，证明了算子学习架构在这些场景下优于标准的函数逼近器。

结果

线性系统： 在含有 5% 高斯噪声的二维线性分数阶系统中，所提出的 DeepONet-SINDy 框架实现的相对系数误差为 $0.0047 \pm 0.0039$ 。这显著优于 MLP ($0.0411 $) 以及完全失效的经典 FFD 方法（误差$ \approx 9.84$，由于噪声放大效应）。
噪声鲁棒性： DeepONet 方法在高达 5% 的噪声水平下仍能保持高精度。当噪声超过此阈值时，所有方法都会退化，但 DeepONet 始终能提供最可靠的导数估计。
非线性系统： 对于非线性基准（多项式系统和分数阶布鲁塞尔实验器），DeepONet 将识别误差降低了两个数量级以上。值得注意的是，即使使用精确导数输入 (Oracle)，非线性系统在噪声下仍表现出高误差，这表明对于复杂的非线性动力学，限制因素已从导数近似转向了稀疏回归库本身的病态性。
OOD 与时间泛化： 在涉及训练分布之外的初始条件以及时间外推（在 $[0, 5]$ 上训练，在 $[0, 10]$ 上测试）的测试中，DeepONet 展示了比 MLP 更低的误差率，表明算子学习在此背景下具有更优越的泛化能力。
计算效率： 虽然训练需要一次性的投入，但 DeepONet 的推理成本（每条轨迹 $0.41$ ms）低于 FFD（$1.45$ ms）且呈线性缩放，这使得它在同一系统族的重复识别任务中非常高效。

意义与主张
本文声称，分数阶系统识别的主要障碍不是稀疏回归公式本身，而是从噪声观测中获取可靠分数阶导数估计的难度。通过学习一个数据驱动的微分过程代理，该框架有效地缓解了非局部算子固有的噪声敏感性。

作者强调，其结果提供了经验证据，证明对于这一特定任务，算子学习比传统的神经网络 (MLP) 具有更强的鲁棒性。然而，作者也谨慎地指出，这并不构成唯一算子恢复的证明。此外，研究揭示了一个关于非线性系统的关键洞察：一旦导数估计足够精确，主要的误差来源就会转向稀疏回归阶段，这是由于库的病态性导致的。因此，作者建议，未来针对非线性分数阶系统的进展可能更多地取决于鲁棒的稀疏回归技术（例如弱形式表述），而非进一步改进数值微分。

该工作定位为一种实用的解决方案，适用于已知系统族的一般数学结构的情景，允许离线训练的算子在无需重新训练的情况下，被多次复用于不同的实验实例。作者承认了局限性，包括假设分数阶 $\alpha$ 是预先已知的，以及验证过程局限于受控的合成数据，并指出实验验证和连续阶数估计是未来的必要步骤。

技术摘要：基于算子学习的噪声数据下分数阶动力系统的鲁棒发现

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