Quadrature Formulas Applicable to the Solution of Integral Equations on a Semi-Infinite Interval by the Mechanical Quadrature Method

技术摘要：半无限区间积分方程的求积公式

问题陈述
本文研究了解决定义在半无限区间 $(0, \infty)$ 上的积分方程的数值挑战，这些方程特别常见于弹性力学理论。虽然高斯型求积公式在有限区间上已得到成熟应用，但将其应用于半无限域时，受限于解在无穷远处的行为。基于拉盖尔多项式（Laguerre polynomials）的现有方法对解施加了指数衰减条件（$x^\alpha e^{-x}$），这在弹性力学问题中往往是不符合物理实际的，因为此类问题的解通常表现为幂函数衰减。作者旨在构建一种能够处理具有幂律权重函数的机械求积方法，包括正则积分、柯西型奇异积分以及具有对数核和阶跃函数核的积分。

方法论
其核心方法论涉及构造一类新的有理函数 $R^{(p,q)}_n(x)$，这些函数在射线 $(0, \infty)$ 上关于权重函数 $(1+x)^{-p}x^{-q}$ 是正交的。这些函数是通过线性分式变换将区间 $(-1, 1)$ 映射到 $(0, \infty)$，从而由雅可比多项式 $P^{(p+q-2, -q)}_n$ 推导而出的。

作者通过以下步骤进行研究：

1. 插值： 使用有理函数 $R^{(p,q)}_n(x)$ 对连续且有界的函数 $f(x)$ 进行插值。
2. 求积公式推导：
   • 正则积分： 通过将插值公式代入积分并利用正交条件，推导出具有节点 $z_i$（有理多项式的根）和特定权重 $w_i$ 的求积公式。该公式对于次数最高为 $2n-1$ 的 $\frac{x-1}{x+1}$ 多项式是精确的。
   • 柯西型积分： 利用部分分式恒等式和有理函数的性质，构造了柯西主值积分的求积公式。
   • 第二类奇异算子： 该方法被用于处理第二类奇异积分方程的特征部分。作者根据解在原点附近的有界性以及特定的核结构来确定指数 $p$ 和 $q$，从而实现奇异算子的离散化。
   • 弱奇异性： 利用 Christoffel–Darboux 公式和特定的积分表示，推导了涉及对数核（$\ln|x-y|$）和阶跃函数（$\text{sign}(x-y)$）的积分公式。

应用与验证
为了验证所推导的公式，作者将机械求积法应用于二维弹性问题：弹性半平面（elastic half-plane）的变形。

• 物理设置： 半平面占据 $y \le 0$ 的区域，并在半无限边界 $x > 0$ 处被固定。一个均匀分布的正应力载荷作用在自由边界的一个有限段上。
• 数学简化： 边界条件将问题简化为半无限区间上的第二类奇异积分方程。求解目标是符合所推导权重函数形式的未知接触应力。
• 离散化： 利用提出的求积节点和权重，将积分方程转化为线性代数方程组。通过求解该系统来获得未知的应力系数。
• 后处理： 一旦确定了应力分布，便使用涉及对数和阶跃核的公式来计算位移分量，并重建边界的变形形状。

主要结果

• 收敛性： 数值分析表明该算法具有极佳的收敛性。对于泊松比 $\nu = 0.27$ 且载荷参数 $a=1$ 的情况，解迅速趋于稳定，通常使用 $n=6$ 个节点即可达到高精度。即使对于较小的 $a$ 值（即载荷靠近固定区域时），通过将阶数提高到 $n=20$，也能获得稳定的结果。
• 准确性： 计算出的应力函数 $\phi^*(x)$ 在不同点的值随近似阶数 $n$ 的增加表现出显著的稳定性，证实了所提求积规则具有极高的代数精度。
• 物理洞察： 该方法成功确定了弹性半平面的接触应力和变形边界形状，展示了该方法处理实际弹性问题的有效性。

意义与主张
作者声称，这项工作“显然是首次”提出了专门用于评估半无限区间内具有幂律权重函数积分的求积公式。与以往依赖拉盖尔多项式的方法不同，该方法能够适应弹性力学问题中典型的幂律衰减，而不必强加不切实际的指数衰减。本文建立了一个统一的框架，使得同一组节点和权重可以同时应用于正则积分、柯稍型奇异积分以及具有弱奇异性（对数和阶跃核）的积分。将该方法成功应用于固定弹性半平面的接触问题，是对其理论推导的严谨验证。