The ν-Prime Ideal Sum Graph of a Nearring

技术摘要：近环的 $\nu$-素理想和图

问题陈述
本文旨在研究通过图论构造来研究近环中代数性质与组合性质之间相互作用的需求。虽然零因子图和基于理想的图在环论中已被广泛研究，但近环的理想结构更为微妙，具有不同的素性概念（0-素、3-素、c-素和等素）。现有文献探讨了近环的零因子图和基于特定素理想的图，但缺乏一个统一的框架来分析相对于这些各种素性条件的理想之和。作者旨在为近环 $N$ 定义并刻画 $\nu$-素理想和图 ($\nu$-PSG($N$))，其中 $\nu \in \{0, 3, c, e\}$。

方法论
作者将 $\nu$-PSG($N$) 定义为一个图，其中：

• 顶点： 近环 $N$ 的所有真非平凡理想的集合。
• 邻接性： 两个不同的顶点（理想）$I$ 和 $J$ 相邻，当且仅当它们的和 $I + J$ 是 $N$ 的一个真 $\nu$-素理想。

该方法论涉及建立这些图的基本结构性质。作者推导了关于连通性的充分必要条件，并计算或估计了标准图不变量，包括团数 ($\omega$)、直径、圈长和支配数 ($\gamma$)。分析依赖于近环的代数性质，例如极大理想的存在性、理想在同态下的行为，以及特定的近环性质，如乘积恒等性质 (IFP) 和右置换性。研究包括使用定义在集合 $\mathbb{Z}_2^3$ 和二面体群 $D_8$ 上的近环的具体示例，以阐明理论结果。

主要贡献与结果

1. 定义与基本性质：
   本文正式引入了针对 $\nu \in \{0, 3, c, e\}$ 的 $\nu$-PSG($N$)。它确立了如果一个近环是单环（simple nearring），则该图未定义。如果一个近环不包含非平凡的 $\nu$-素理想，则该图是完全不连通的。

2. 连通性与直径：

   • 连通性： 对于单位近环，本文证明了 $0$-PSG($N$) 是不连通的，当且仅当$N$ 是两个单环的直和。
   • 直径： 对于单位近环中的连通 $0$-PSG($N$)，其直径被限制在 4 以内。
   • 星图： 作者刻画了使该图成为星图的近环情况：这发生当且仅当 $N$ 具有唯一的极小理想，且每一个其他真非平凡、非极小理想都是极大且 $\nu$-素的。

3. 完全图与支配：

   • 完全性： 本文提供了 $\nu$-PSG($N$) 为完全图的条件，具体要求存在唯一的极大 $\nu$-素理想 $M$，使得所有其他理想都是两两平凡相交的。
   • 支配： 对于单位近环，所有极大理想的集合构成了 $0$-PSG($N$) 的极小支配集，这意味着支配数$\gamma(0\text{-PSG}(N)) \le |M|$。

4. 图不变量：

   • 圈长： 如果 $N$ 包含两个相邻的不可比理想，则图的圈长为 3。
   • 团数： 本文确定了由 $\nu$-素理想链诱导的子图构成一个团。此外，对于满射近环同态 $\phi: N \to N'$，团数满足 $\omega(\nu\text{-PSG}(N')) \le \omega(\nu\text{-PSG}(N))$。

5. 变体之间的关系：
   本文阐明了基于素理想层级结构的各种变体图之间的关系。例如，由于每个 c-素理想都是一个 3-素理想，因此 c-PSG($N$) 是 3-PSG($N$) 的一个子图。在特定条件下（如右置换性或 IFP），这些图可以被证明是恒等的。

6. 同态与同构：
   作者证明了满射近环同态会在相应的 $\nu$-素理想和图之间诱导图同态。他们还提供了一个非同构近环产生同构 $\nu$-素理想和图的例子，表明图结构并不能唯一确定近环。

意义
本文声称 $\nu$-素理想和图作为一个统一的框架，用于研究对应于近环中多种素性概念的理想和相互作用。通过将代数性质（如唯一极大理想的存在性或直和分解）转化为图论性质（连通性、直径和支配），这项工作允许反映并区分底层近环的结构特征。这些结果为进一步研究这些结构的附加图不变量提供了基础，将研究领域从环论扩展到了更复杂的近环领域。