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Fractional Order Filters with √f Characteristic

本文通过对麦克斯韦方程组中模拟趋肤效应的偏微分方程进行空间离散化，推导出了具有 $\sqrt{f}$ 和 $1/\sqrt{f}$ 传递函数的分数阶滤波器，并提出了通过双线性变换实现的相应数字实现方案，且该方案已针对 Oustaloup 递归滤波器进行了基准测试。

原作者： Hans Georg Brachtendorf

发布于 2026-09-14

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CC BY 4.0

原作者： Hans Georg Brachtendorf

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

在金属中电流流动的隐秘世界里，存在着一种奇特的现象，它会根据信号的速度改变其行为方式。当电流通过导体时，它并不总是均匀地充满整个导线。在高流速下，电流会被推向外表面，这种行为被称为趋肤效应（skin effect）。这种效应不仅仅是一个好奇的现象；它从根本上改变了电信号如何被过滤和处理。工程师们长期以来一直寻求创造能够模拟特定数学关系的电子元件，即信号强度随频率平方根变化的比例关系。这类元件对于消除敏感测量中的噪声、控制复杂的机械系统以及模拟生物组织与电磁波的相互作用至关重要。几十年来，实现这一目标的最佳工具是复杂的近似法，这些方法仅在有限范围内有效，通常需要复杂的极点和零点排列来平坦化相位响应。

奥地利应用科学大学的一位研究人员现在提出了一条不同的路径，这条路径并非始于电路近似，而是始于物理学本身的基本定律。通过将描述电场和磁场在金属棒内部如何相互作用的方程进行分解，将其转化为细小且易于处理的步骤，作者推导出了构建这些特殊滤波器的新方法。该方法并非强迫标准电路去模拟平方根滤波器，而是通过构建一个直接作为物理趋肤效应数字表示的模型，使其自然地表现出那种行为。这项工作表明，通过仔细安排这些计算步骤——将它们更紧密地放置在靠近棒材表面的地方（即发生作用的地方）——可以创建一个高度精确的模型，其适用的频率范围比以往的方法要宽得多。

旅程始于一个简单的物理图景：一根长方形的金属棒。研究人员假设材料是均匀的，且其内部的电场和磁场遵循标准的电磁学规则，特别是麦克斯韦方程组。在趋肤效应显著的机制下，电流渗透进金属的深度相对于金属棒的厚度而言非常微小。这种物理现实决定了频率与信号损耗之间的特定关系。为了将这种连续的物理定律转化为计算机可用的形式，研究人员将金属棒分割成一系列微小的切片。这个过程被称为空间离散化（spatial discretization），它将平滑流动的物理方程转化为一系列常微分方程链。这些方程随后可以直接映射到一个由电阻器和电容器组成的电路中，从而创建一个能够模拟金属棒对输入信号响应的行为模型。

这项工作的一个关键洞察在于这些切片是如何排列的。如果切片的大小完全相同，该模型将需要极其大量的切片才能捕捉到金属表面发生的剧烈变化。相反，研究人员使用了一种非均匀网格，即随着向表面的靠近，切片变得越来越小。这种计算点的聚集反映了物理现实，即最显著的变化发生在导体的最薄层中。研究发现，相邻切片之间的尺寸比例至关重要。如果切片在远离表面时增长得过快，模型会变得不稳定并产生不希望出现的振铃效应。模拟表明，相邻间距的比值应保持在某个特定的数学常数之下，其中约 2.5 的数值在准确性和覆盖频率范围之间提供了最佳平衡。

一旦建立了模拟模型，下一步就是将其转化为可以在现代处理器上运行的数字格式。研究人员测试了几种将连续时间系统转换为离散时间系统的标准方法。一种被称为双线性变换（bilinear transformation）的流行方法脱颖而出，成为了明显的优胜者。与其他引入人工阻尼或需要复杂硬件实现的更高阶计算的技术不同，双线性变换保留了原始物理模型的稳定性和准确性。由此产生的数字滤波器表现得完全像模拟趋肤效应模型一样，在宽广的光谱内维持了所需的平方根关系。在模拟中，这种新方法优于广泛使用的 Oustaloup 递归滤波器（一种用于近似分数阶系统的标准技术）。虽然 Oustaloup 方法在对数尺度上布置极点和零点以平坦化相位响应，但此处推导出的趋肤效应模型能自然地实现更高的相位精度，并且其有效的频率范围比 Oustaloup 模型更大。

模拟结果令人瞩目。对于一个仅使用 8 个网格点的模型，新滤波器能在约起始频率的 6,500 倍跨度内保持其特性行为。这相比于现有方法有了显著提升，因为现有方法往往难以在如此宽的频带内保持准确性。研究证实，趋肤效应背后的物理直觉为设计这些滤波器提供了稳健的基础，绕过了对复杂优化算法的需求。作者指出，虽然目前的工作侧重于频率平方根的具体情况，但这种对偏微分方程进行离散化的底层方法未来有可能扩展到其他分数阶领域。目前，这项工作为需要精确控制信号处理的工程师提供了一个清晰的、具有物理依据的替代方案，证明了有时解决数字问题的最佳方式是密切观察现实世界的物理规律。

技术摘要：具有 $\sqrt{f}$ 特性的分数阶滤波器

问题陈述

本文研究了具有特征传递函数正比于 $s^{\alpha}$ （其中 $\alpha = \pm 1/2$ ，对应于 $\sqrt{f}$ 和 $1/\sqrt{f}$ 频率行为）的分数阶滤波器的设计与分析。这些滤波器在诸如预加重/去加重、 $1/f$ （闪烁）噪声功率谱建模、分数阶控制以及模拟生物组织等介质的弥散特性等应用中至关重要。

虽然现有的近似技术（如 Oustaloup 递归滤波器和 Charef 方法）被广泛使用，但它们依赖于在对数尺度上布置极点和零点，以使相位或幅度响应趋于平坦。本文寻求一种根植于物理定律而非纯数学近似的替代推导方法，旨在通过麦克斯韦方程组的离散化，推导出一种能够自然展现所需分数阶特性的行为模型。

研究方法

1. 基于麦克斯韦方程组的物理推导

核心方法论始于对线性、各向同性且均匀的导电棒进行麦克斯韦方程组建模。在假设位移电流可以忽略不计（ $J \gg \partial D/\partial t$ ）并利用长 $l \gg$ 宽 $b$ 及厚度 $d$ 的矩形棒的拟静态方法下，方程组简化为描述电场 ( $E_z$ ) 和磁场 ( $H_x$ ) 的偏微分方程 (PDE) 系统。

本文利用了已知的物理现象：在强趋肤效应机制下（即趋肤深度相对于几何尺寸较小时），导电材料的趋肤深度 ( $\Delta x$ ) 遵循 $1/\sqrt{f}$ 定律。目标是通过离散化这些 PDE 来构建一个能够模拟此行为的滤波器。

2. 空间离散化与电路建模

使用有限差分 (FD) 方案对 PDE 进行离散化。

均匀网格： 最初考虑等间距网格，这会导致一个常微分-代数方程 (DAE) 系统。该系统被映射为由电感器和电阻器 (LR) 或电容器和导体 (GC) 组成的被动行为电路模型（梯形网络）。
非均匀网格： 考虑到均匀网格需要极大量的点才能捕捉高频下的趋肤效应，本文提出了一种非均匀网格。网格间距在表面 ( $y = d/2$ ) 处最小，因为此处趋肤效应最为显著。相邻间距的比值由参数 $c$ 定义。
电路实现： 将离散化后的方程实现为等效被动电路。文中指出，虽然 LR 模型很自然，但 GC 模型（使用电容器和导体）更适合类 SPICE 仿真器，因为它减少了修正节点分析 (MNA) 中的未知数数量。

3. 数字变换

为了获得数字等效形式，使用双线性变换（梯形法则）将模拟滤波器进行转换，并将其与后向差分公式 (BDF) 进行对比。

双线性变换： 优选此方法是因为它将虚轴映射到单位圆，且不会引入数值阻尼（这是 BDF 方法观察到的副作用）。此外，与高阶 BDF 方法 ( $p \ge 2$ ) 相比，它产生的滤波器阶数较低。
实现： 本文讨论了所得差分方程的高效实现策略，包括引入辅助向量以避免在特定递归步骤中使用乘法器。

主要贡献

分数阶滤波器的物理推导： 本文通过对导电棒麦克斯韦方程组的离散化，直接推导出 $\sqrt{f}$ 和 $1/\sqrt{f}$ 滤波器，为分数阶行为提供了物理基础，而非仅仅依赖于极点-零点放置的启发式方法。
非均匀网格优化： 本文证明了使用具有特定间距比 ( $c$ ) 的非均匀网格可以显著降低系统阶数，同时保持精度。文中确定，相邻网格间距的比值应小于欧拉常数，发现 $c=2$ 到 $c=2.5$ 为最优值。
行为电路模型： 推导出的被动梯形电路模型（既有 LR 也有 GC）本质上是稳定的，因为欧姆损耗确保了极点保持在左半平面。
数字实现： 本文通过双线性变换提供了一条清晰的数字实现路径，并提供了一种稳定且高效的数字滤波器结构。

结果

与 Oustaloup 的比较： 对于阶数 $K=11$ 的滤波器，仿真结果显示，本文推导的趋肤深度模型与 Oustaloup 递归滤波器相比，具有更大的近似有效频率范围和更高的相位精度。
频率范围： 对于使用 $K=8$ 个点且 $c=2$ 的非均匀网格，该模型在约四个数量级的频率范围内表现出预期的 $\sqrt{f}$ 行为（在阻抗的双对数图中斜率为 0.5）。虽然理论估计认为范围会更宽，但仿真表明其实际有效范围约为 $f_1/10$ 。
参数敏感性： 测试确认，在 $c$ 值介于 2 和欧拉常数 ( $\approx 2.718$ ) 之间的网格间距比下，能在系统阶数、有效范围和精确度之间取得最佳平衡。当 $c$ 值超过欧拉常数时，会出现不理想的振铃效应。
数字性能： 通过双线性变换实现的数字对应物在约四个数量级的归一化角频率内保持了平方根行为，证实了变换的有效性。

意义与主张

本文声称，所提出的方法为现有的递归近似方法（如 Oustaloup）提供了一个更优的替代方案，特别是在有效范围和相位精度方面。通过将滤波器设计建立在导体的物理趋肤效应之上，所得模型不仅在数学上是严谨的，而且在物理上可解释为被动网络。

作者强调，非均匀离散化策略允许使用显著更少的网格点（从而降低计算成本）来精确模拟趋肤效应。选择双线性变换的原因在于其能够保持稳定性并避免数值阻尼，使其适用于硬件实现。

最后，本文将这项工作定位为分数阶滤波（ $\alpha = \pm 1/2$ ）的一个特例，并指出离散化偏微分方程的底层方法论可以在未来的工作中推广到 $\pm 1/2$ 之外的任意阶 $\alpha$ 的分数阶滤波器。

技术摘要：具有 f\sqrt{f}f​ 特性的分数阶滤波器