An Explicit Formulation for Mobility Analysis and Dynamics of General Multibody Systems

技术摘要：一种用于通用多体系统运动学分析与动力学研究的显式公式化方法

问题陈述
开发新型机器人机构（特别是涉及复杂串联、并联或混合构型的机构）时，通常需要投入大量精力来推导特定的运动学分析、运动学和动力学算法。现有的方法往往侧重于特定类型的机构，或者依赖于具有不同物理意义的约束（例如转动副与移动副），这导致了缺乏灵活性，且无法将算法直接应用于不同的机构类别。此外，虽然存在如 Grubler-Kutzach 准则等运动学分析方法，但它们在处理复杂机构（如 Delta 机器人）时往往会失效，并且对于用户定义的通用机构，获取显式的运动学和动力学算法仍然是一个挑战。

方法论
本文提出了一个基于“标记点”（marker-point）表示法的统一框架，用以处理任意多体系统。该方法论由三个主要层级组成：

1. 刚体的统一描述与约束：

   • 标记点表示法： 刚体局部坐标系的位姿不再使用传统的齐次变换矩阵或旋量（twist vectors）直接定义，而是通过四个固定的标记点来定义。这使得位移、速度、质量特性和约束都可以使用同一组变量来表达。
   • 位姿矩阵： 坐标系的位姿由一个包含四个标记点坐标的 $3 \times 4$ 矩阵表示。该矩阵与标准的齐次变换矩阵具有双射关系，但在结构上经过优化，便于构建统一的速度矩阵和约束矩阵。
   • 统一约束： 引入了一种通用的约束标准格式，由一个运动学矩阵（描述允许的相对速度）和一个带有其梯度的误差向量（描述位置层级的约束）组成。这使得各种约束（如点-面约束或面-面约束）都能集成到相同的算法框架中，而无需为每种特定机构推导专门的公式。

2. 显式运动学分析：

   • 推导出用于描述整个机构可行运动空间的运动学矩阵（$A$）。
   • 该算法从一组自由体（不包括固定在地面上的物体）开始，通过迭代添加约束。
   • 对于每一个添加的约束，算法都会计算相对于当前运动基底的约束矩阵的零空间（null space）。这一过程会消除不相容的运动方向，不断更新运动学矩阵，直到应用完所有约束。最终的矩阵列代表了机构的独立运动方向。
   • 文中还推导出了运动学矩阵时间导数（$\dot{A}$）的显式公式，这对于动力学仿真至关重要。

3. 拉格朗日动力学仿真：

   • 利用拉格朗日法构建动力学方程，并使用相同的标记点变量。
   • 质量表示： 刚体的质量特性由附着在物体上的四个等效质量点表示。这使得动能可以表示为标记点速度的二次型。
   • 运动方程： 通过将关系式 $\dot{x} = A\dot{q}$（其中 $x$ 为标记点速度，$q$ 为广义位移）代入拉格朗日方程，作者推导出了广义动力学方程。该方程包含了广义质量矩阵（$A^T M_{ref} A$）、由 $\dot{A}$ 导出的科里奥利力/离心力项以及外力。
   • 纠偏（Rectification）： 为了解决数值积分误差可能导致的违反刚体形状或关节约束的问题，采用了位移纠偏算法。该步骤利用伪逆法，将数值积分后的位姿投影回由刚体形状约束和关节约束定义的流形上。

核心贡献

• 统一表示法： 引入了四标记点系统，统一了刚体位姿、速度、质量和约束的描述，实现了对串联、并联及混合机构的单一算法处理。
• 显式公式化： 推导出了机构运动学矩阵及其时间导数的显式公式，在许多情况下避免了迭代数值微分的需求。
• 通用动力学算法： 开发了一种基于拉格朗日公式并利用标记点表示法及所求运动学矩阵的通用动力学仿真算法。
• 软件实现： 开发了一款基于 Python 的多体动力学仿真软件，实现了上述算法，并具备用于模型构建、约束定义和可视化的图形用户界面。

结果
通过双摆系统的仿真验证了所提方法的有效性。通过作者开发的自定义软件获得的仿真结果与开源动力学仿真库 Exudyn（具有 Python 接口）的结果进行了对比。研究表明，该工具生成的双摆末端轨迹与开源软件包的结果高度一致，证明了该公式化的准确性。

意义与主张
本文声称为用户定义的任意机器人机构的运动学分析与动力学研究提供了解决方案。通过建立描述通用约束的统一格式并推导显式算法，该方法旨在减少为开发新型机器人机构而进行的重复性工作。作者强调，其方法能够分析可能不满足传统准则（如 Grubler-Kutzach）的机构，并支持对复杂、用户定义的系统进行仿真，而无需进行针对特定机构的推导。研究结论指出，尽管目前的实现已具备功能性，但未来的工作重点将放在提高计算效率上，特别是降低重复进行零空间计算的成本。