Weibull-MBUR {Y} A New Family of Generalized Unit Distributions with Correlated Parameters: Is the Correlation, Distribution or Data Driven or Interaction Between Them

技术摘要：Weibull-MBUR {Y} —— 一类具有相关参数的新型广义单位分布族

问题陈述
本文旨在解决对能够容纳多样化形状（偏态、浴缸型、J型等）的灵活统计模型的需求，这些模型适用于定义在单位区间 $(0, 1)$ 上的数据，如比例、率和百分比。虽然现有的广义化方法如 Beta 生成（BG）和 Kumaraswamy 生成（Kw-G）族已经存在，但作者发现文献中存在一个空白，即关于使用 Weibull 生成器与各种连接分布来处理中值基于单位 Rayleigh（MBUR）基准分布的具体组合。此外，本文还研究了一个在广义分布中经常被忽视的关键问题：估计参数之间的相关性质。作者质疑观察到的参数估计中的高相关性，究竟是由特定数据集、分布族的数学结构，还是两者之间的相互作用所驱动的。

研究方法
本研究采用了 T-X{Y} 族 方法，这是对 Aljarrah 等人（2014）引入的 T-X 方法的一种扩展。该框架通过利用 $Y$ 的分位数函数，将基准分布（$X$）、生成器分布（$T$）和连接分布进行关联，从而构建出一个新的分布族。

1. 组成部分：

   • 基准 ($X$): 中值基于单位 Rayleigh (MBUR) 分布，定义在 $(0, 1)$ 上，具有形状参数 $b$。
   • 生成器 ($T$): Weibull 分布，定义在 $(0, \infty)$ 上，具有形状参数（$c$）和尺度参数（$\xi$）。选择 Weibull 是因为其具有闭式累积分布函数（CDF）和易处理的原始矩。
   • 连接 ($Y$): 使用了五种不同的分布作为连接（分位数）函数，以生成五个新的子模型：
     • Lomax
     • Dagum
     • Exponential（指数分布）
     • Exponentiated-Exponential（指数化指数分布）
     • Log-Logistic（对数逻辑分布）

2. 推导过程：

   • 新家族的累积分布函数 $G_{X_g}(x)$ 的推导过程是：将 MBUR 的累积分布函数代入连接分布 $Y$ 的分位数函数中，然后再将所得结果代入 Weibull 生成器的累积分布函数中。
   • 为每一种新的分布推导出了概率密度函数（PDF）、风险函数（Hazard Function）和分位数函数。
   • 矩的推导： 文中使用了两种方法来推导其 $r$ 阶原始矩：
     • 使用广义二项式定理和 Pochhammer 下降阶乘对 PDF 进行级数线性展开。
     • 一种隔离变量 $x$ 并将其表示为 Weibull 生成器原始矩的方法。

主要贡献

• 新分布族： 本文引入了 Weibull-MBUR{Y} 家族，包含五个特定的分布（Lomax、Dagum、Exponential、Exponentiated-Exponential 和 Log-Logistic 变体）。据作者所知，这些特定的组合此前从未在文献中被讨论过。
• 解析性质： 本文为所有五个模型提供了 PDF、CDF、分位数和风险函数的闭式表达式。同时，本文还推导了复杂的原始矩级数展开式，在某些情况下无需特殊函数即可实现计算统计。
• 相关性分析： 本文的一个重要贡献是对估计参数的相关结构进行了实证研究。作者分析了拟合实际数据后新模型的方差-协方差矩阵和相关系数。

结果与实际数据分析
所提出的分布被应用于一组包含 66 个观测值的样本，该数据代表了西班牙 COVID-19 患者的康复率。该数据表现出负偏态（-0.7214）。

• 模型比较： 将新的 Weibull-MBUR{Y} 分布与基准 MBUR、Beta、Kumaraswamy、Topp-Leone 以及广义奇数中值基于单位 Rayleigh（GOMBUR-I 和 II）分布进行了比较。
• 性能指标：
  • 基准 MBUR、Topp-Leone 和 Unit Lindley 分布未能充分拟合数据（对数似然值较低，KS 统计量较高）。
  • 在新的模型中，Weibull-MBUR{Lomax} 分布提供了最佳拟合，表现为最高的对数似然值 (64.4163) 以及最低的 AIC、CAIC、BIC 和 HQIC 值。
  • Weibull-MBUR{Dagum} 和 Weibull-MBUR{Log-Logistic} 也表现出强劲的性能，在多个指标上优于标准的 Beta 和 Kumaraswamy 分布。
• 参数相关性发现：
  • Weibull-MBUR{Lomax} 模型在其参数（$b, c, \xi, \psi, \lambda$）之间表现出极高的正相关性（接近 1.0），导致其方差-协方差矩阵行列式接近于零（$5.6073 \times 10^{-13}$）。
  • Weibull-MBUR{Dagum} 模型在若干参数（$c, \xi, a, \psi$）之间显示出完全相关，并在 $b$ 与 $\gamma$ 之间显示出负相关。
  • Weibull-MBUR{Exponential} 和 Exponentiated-Exponential 模型也显示出高相关性，特别是在尺度参数和形状参数之间。
  • Weibull-MBUR{Log-Logistic} 模型显示出中度到高度的相关性，特别是在 $\xi$ 和 $\psi$ 之间。

意义与主张
本文声称，使用 T-X{Y} 技术对 MBUR 分布进行的广义化成功增强了模型容纳现实世界单位数据偏度和形状的能力，而基准分布无法实现这一点。通过引入来自生成器和连接分布的参数，使得 PDF 能够进行“扭转”以拟合复杂的数据形状。

然而，作者对于观察到的参数相关性的来源保持了审慎的态度。虽然新分布能很好地拟合数据，但参数之间的高相关性（导致在某些情况下置信区间变宽）引发了一个问题：这些相关性是：

1. 分布驱动的： 继承自 T-X{Y} 数学结构的构造。
2. 数据驱动的： 特属于 COVID-19 康复数据集的特征。
3. 一种相互作用： 两者的结合。

论文得出结论，虽然该新家族在建模方面是有效的，但参数相关性问题仍需进一步研究。作者明确指出，需要通过模拟研究来确定这些相关性是 T-X{Y} 构造固有的，还是特定于数据的，并评估它们如何影响置信区间。本文并未对相关性的起源做出明确的因果性主张。