Boundary-Aware Stability of Nonlocal Proximity Sublevel Sets under C¹ Perturbations

技术摘要：非局部邻近亚层集在 $C^1$ 扰动下的边界感知稳定性

问题陈述
本文研究了在仅给定有限个精确样本的情况下，可靠确定曲线 $\gamma \subset \mathbb{R}^3$ 的非局部邻近集合拓扑结构的问题。具体而言，它研究了距离函数 $d_\gamma(s, t) = \|\gamma(s) - \gamma(t)\|$ 在非局部定义域 $\Omega_\delta = \{(s, t) : |s - t| \ge \delta\}$ 上的亚层集（sublevel sets）。集合 $E_r = \{d_\gamma < r\} \cap \Omega_\delta$ 记录了尺度为 $r$ 的邻近事件，其路径连通分支将这些事件分组为连通族（例如自交或发卡弯）。

核心难点在于两个领域：

1. 拓扑敏感性： 插值器与真实曲线之间的上确界范数（sup-norm）接近并不保证其诱导的距离函数具有相同的亚层集拓扑。需要梯度控制来防止产生伪分量或破坏现有分量。
2. 边界复杂度： 参数定义域是带有角点和边的三角形集合。距离函数的临界点可能位于这些边界上，而在这些位置，标准的非退化条件会失效。分析需要一种涉及切锥（tangent cones）的“边界感知”方法来处理约束。

方法论
本文开发了一个结合微分拓扑、逼近理论和验证计算的严谨框架：

1. 边界感知稳定性定理： 作者证明了一个在三角形定义域 $\Delta$ 上的定量 $C^1$ 稳定性定理。该定理规定，如果两个 $C^1$ 函数 $f$ 和 $g$ 在上确界范数（$\|f-g\|_\infty < \eta/2$）和梯度范数（$\|\nabla f - \nabla g\|_\infty < \lambda/2$）上都足够接近，且 $f$ 满足“边界感知正则性”条件（即在水平集附近，投影到切锥上的梯度模长大于零且不小于 $\lambda$），则亚层集 $\{f < r\}$ 和 $\{g < r\}$ 可形变收缩到一个共同的核心。这意味着它们是同伦等价的，且它们的路径连通分支具有双射关系。

   • 关键技术创新： 为了处理角点处切锥投影的不连续性，作者通过将负梯度投影到“松弛锥” $K_\alpha(x) = \alpha(\Delta - x)$ 上，构造了一个 Lipschitz 向量场。该向量场对于两个函数都是严格递减的，并且与边界相切，从而实现了同步的形变收缩。

2. 插值与误差界限： 真实曲线 $\gamma$ 由基于有限差分斜率构建的三次 Hermite 插值器 $S_N$ 近似，其中使用了精确样本 $(s_i, \gamma(s_i))$。论文推导了该插值器的显式误差界限：

   • 位置误差：$\|S_N - \gamma\|_\infty \le \frac{3}{16}\kappa h_N^2$
   • 梯度误差：$\|S'_N - \gamma'\|_\infty \le 0.7515 \kappa h_N$
     其中 $\kappa$ 是已知的曲率上界，$h_N$ 是最大采样间距。这些误差界限被传播到距离函数 $d_{S_N}$ 及其梯度中。

3. 充分采样条件： 通过结合稳定性定理与插值误差，作者推导出了一个充分的采样密度 $h^*$。如果采样间距 $h_N < h^*$，则可以保证真实曲线与插值器的邻近亚层集具有相同的拓扑结构。该条件取决于曲率上界、邻近阈值 $r$、领圈宽度 $\eta$ 以及正则性裕量 $\lambda$。

4. 验证计算： 由于正则性裕量 $\lambda$ 和最小距离 $d_{\min}$ 是真实曲线中未知的属性，本文提出了一种基于区间算术的可靠程序，用于从采样数据中验证假设。该程序：

   • 在网格上计算 $d_{\min}$ 和投影梯度裕量的认证下界。
   • 使用向外舍入（outward rounding）以确保严谨的误差包含。
   • 区分了“验证稳定性条件”（这是可以实现的）与“枚举全局分量”（这是一个单独的、更难的问题，本文未解决）这两者。

主要贡献

1. 定量稳定性定理： 一个针对带角点的三角形区域的 $C^1$ 形变定理，提供了显式的微小性条件（$\epsilon_d < \eta/2, \epsilon_g < \lambda/2$），以保证同伦等价和分量对应。
2. 显式插值界限： 针对任意网格上使用有限差分斜率的三次 Hermite 插值的严谨 $C^0$ 和 $C^1$ 误差界限，专门针对非局部距离函数进行了定制。
3. 边界感知正则性： 一种考虑了通过切锥投影处理边缘和顶点约束的正则性定义，防止了当水平集接触定义域边界时稳定性失效的情况。
4. 可靠验证程序： 一种利用区间算术从采样数据中验证稳定性假设的算法方法，将稳定性认证与全局分量枚举问题分离。

结果

• 理论层面： 论文证明，在所推导的采样条件下，插值器 $S_N$ 的非局部邻近亚层集的路径连通分支与真实曲线 $\gamma$ 的路径连通分支是一一对应的。
• 实验层面： 通过在具有“发卡弯”的正弦生成曲线上进行的数值实验展示了该框架。
  • 对于内部水平集（$r=0.6$），测试在采样密度约为 Oracle 估计值的一半时通过。
  • 对于触及边界的水平集（$r=0.9$），边界感知条件被证明至关重要；若仅使用内部条件，则会高估边际因子达 2.3 倍。
  • 实测误差与理论上的 $O(h_N^2)$ 和 $O(h_N)$ 速率一致。
  • 论文指出，虽然在成功案例中，基于网格的分量计数与真实拓扑匹配，但“结论不明”的验证结果（由于网格过粗或裕量过紧）并不意味着拓扑失败，而仅表示缺乏证明。

意义与声明
本文声称提供了一个确定性的、经过认证的框架，用于从采样曲线中恢复非局部邻近关系的拓扑结构。它明确限定了其适用范围：

• 它并不声称解决了全局枚举插值器亚层集所有连通分量的问题；它仅证明插值器的分量与真实曲线的分量相对应。
• 它并不处理噪声数据或未知参数化；它假设是精确的弧长参数化且无噪声样本。
• 它并不声称其采样界限 $h^*$ 是最优的，仅说明它是充分的。
• 其意义在于弥合了几何采样理论与严谨拓扑推断之间的鸿沟，提供了一种只要预先已知曲率上界，就可以通过数据本身算法化地验证其拓扑结论有效性的方法。