技术摘要：Hadamard 空间中的近端点算法与广义费马-托里切利问题

1. 问题陈述与背景

本文研究了寻找一个点以最小化到给定点或集合的距离之和的问题，这是经典的费马-托里切利（Fermat-Torricelli）问题的推广。虽然该问题在欧几里得空间中有着丰富的历史（涉及 Heron、Fermat、Torricelli、Steiner），并已扩展到 Hilbert 空间和黎曼流形，但本研究是在更广泛的 Hadamard 空间（完全 CAT(0) 空间）框架内进行的。

作者旨在将三个不同的凸极小化问题统一到一个框架内：

1. 加权费马-托里切利问题。
2. 凸可行性问题。
3. 最佳逼近问题。

具体的挑战在于 Hadamard 空间中解决这些问题，因为这些空间缺乏 Hilbert 空间那样的全局线性结构。因此，标准的工具（如有界线性算子）必须被 连续测地线保持映射（度量意义上的仿射映射）所取代。本文研究了用于解决这些问题的 不精确循环分裂近端点算法 (SPPA) 的收敛性质，特别关注：

• $\Delta$-收敛（度量意义上的弱收敛）。
• 强收敛速率（线性与超线性）。
• 在特定几何条件下实现 有限终止。

2. 方法论与数学框架

2.1 几何与分析基础

本研究利用 Hadamard 空间的几何特性，依赖于：

• 切锥 (Tangent Cones)： 遵循 Nikolaev 的方法，作者定义了切锥 $T_x X$，以便在没有指数映射的情况下处理单调性，从而使理论能够适用于非流形空间（例如 $\mathbb{R}$-树、Hilbert 球）。
• 拟线性化 (Quasilinearization)： 使用拟内积 $\langle \vec{ab}, \vec{cd} \rangle$ 来推广内积性质。
• 单调算子 (Monotone Operators)： 通过切丛 $TX$ 和条件 $g_x(\eta, \mu_{x,y}) + g_y(\nu, \mu_{y,x}) \leq 0$ 进行定义。论文假设了这些算子的 满射条件，这是 Hadamard 空间中必须具备的假设，而在 Hilbert 空间中该条件是自动满足的。
• 消解算子 (Resolvents)： 算法依赖于单调算子 $A$ 的消解算子 $J_r^A$，该算子通过 Yosida-Moreau 正则化定义。

2.2 算法结构

本文提出并分析了三个层级的非精确循环分裂近端点算法 (SPPA)：

1. 基础非精确 PPA (算法 1.1)：
   $$\lambda_n d(y_n, x_n)\mu_{y_n, x_n} \in A(y_n), \quad d(x_{n+1}, y_n) \leq \epsilon_n$$
   这近似于单个单调算子 $A$ 的奇异点。

2. 单和非精确循环 SPPA (算法 1.2)：
   旨在最小化 $f(x) = \sum_{i=1}^m f_i(x)$。它通过循环使用消解算子进行迭代：
   $$y_n = J_{r_n}^{f_m} \circ \dots \circ J_{r_n}^{f_1}(x_n), \quad d(x_{n+1}, y_n) \leq \epsilon_n$$

3. 双和非精确循环 SPPA (算法 1.3)：
   专为涉及双和结构的广义费马-托里切利问题设计：
   $$f(x) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^{m_i} f_{i,j}(x)$$
   其迭代涉及嵌套的消解算子复合：
   $$x_n^{(i,j)} = J_{r_n}^{f_{i,j}}(x_n^{(i,j-1)}), \quad y_n = x_n^{(m, m_m)}$$
   且满足 $d(x_{n+1}, y_n) \leq \epsilon_n$。

3. 主要贡献

本文做出了三项主要贡献，弥合了分裂算法与定量收敛理论在 Hadamard 空间中的差距：

1. 具有速率理论的双和非精确循环分裂 PPA：
   作者开发了一种针对广义费马-托里切利问题的双和版本循环分裂算法。不同于以往仅建立存在性收敛（如 $\Delta$-收敛）的工作，本文为这些特定的分裂方案建立了 线性与超线性收敛速率 以及 有限终止 结果。

2. 无需线性结构的度量次正则性 (Metric Subregularity)：
   本文直接使用切锥中的距离 ($d_x(0_x, A(x))$) 来表述 度量次正则性，而不是依赖指数映射来使空间线性化。该定义适用于一般的 Hadamard 空间（包括非流形空间），将 Kohlenbach 等人的速率理论从 Hilbert 空间和流形扩展到了通用的 CAT(0) 环境。

3. 通过测地线保持映射实现的广义费马-托里切利问题：
   本文引入了一种涉及测地线保持（仿射）映射和到凸子集距离的新型费马-托里切利问题表述（问题 6.1）。这通过将之前的线性/Hilbert 表述扩展到非线性 Hadamard 环境，实现了加权距离最小化、可行性和最佳逼近的统一。

4. 主要结果

4.1 收敛性分析

• $\Delta$-收敛： 在假设误差序列 $\{\epsilon_n\}$ 是可和的情况下，证明了生成的序列是拟 Fejér 单调的，并且 $\Delta$-收敛到 $A^{-1}(0)$ 或最小化集 $C$ 中的解。
• 强收敛与速率： 通过引入 度量次正则性（定义 4.1），作者证明如果算子是度量次正则的，则算法呈 线性收敛。
  • 超线性收敛： 如果奇异集是单元素集，且正则性模量退化（即模量为零）或近端参数 $\lambda_n$ 趋于零 ($\lim \lambda_n = 0$)，则收敛变为 超线性收敛。

4.2 有限终止

本文引入了一种基于法锥的 弱锐利极小值型条件（定义 5.1）。

• 如果问题满足具有模量 $\alpha$ 的全局弱锐利极小值型条件，且对于每个 $x$ 在解集中，$A(x)$ 是单元素集，则算法将在 有限步内终止。
• 该结果是通过证明弱锐利条件意味着度量次正则性而得出的，这迫使迭代在误差容限和步长满足特定界限时，精确达到解集。

4.3 费马-托里切利的应用

• 存在性： 本文证明了该广义问题的目标函数是凸的且下半连续的。在相干性假设（定理 6.1 中的条件 F1 和 F2）下，极小值存在。
• 次微分性质： 对于加权费马-托里切利问题的特定情况，证明了其次微分是度量次正则的，从而验证了收敛速率定理的应用。

5. 数值验证

通过在特定的 Hadamard 流形（$X = \mathbb{R}_{++}$ 带有特定度量）中的数值实验验证了理论结果。

• 示例 7.1 (超线性收敛)： 求解一个加权费马-托里切利问题。结果证实了初始阶段为线性收敛，随着 $\lambda_n \to 0$ 转化为超线性收敛，这与定理 6.3 一致。
• 示例 7.2 (有限终止)： 求解一个最佳逼近问题。序列显示在有限次迭代后精确到达解集并终止，验证了定理 6.4 和弱锐利极小值条件。

6. 意义与主张

作者将这项工作定位为两个先前独立的研究方向的统一：

1. 分裂算法： 此前 Hadamard 空间中的分裂方案（例如后向-后向方案）侧重于存在性和弱收敛，而未涉及收敛速率或有限终止。
2. 定量理论： 先前的速率分析（如 Kohlenbach 等人）主要局限于 Hilbert 空间中的单算子设置，或需要流形结构。

本文的主张是：

• 它为 Hadamard 空间中的分裂算法（特别是双和循环方案）提供了速率和有限终止理论，填补了这两个研究领域“尚未交汇”的空白。
• 它成功地将费马-托里切利问题扩展到线性算子被测地线保持映射取代的场景，并通过显式的消解公式保持了问题的可处理性。
• 其方法论不要求底层空间是局部紧致或流形，从而扩大了近端点方法在 $\mathbb{R}$-树和 Hilbert 球等空间中的适用性。

作者总结道，虽然框架已经建立，但一个自然的未来研究方向是将该框架扩展到涉及多个输出集的 Hadamard 空间中的分裂可行性问题。