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Lyapunov exponents of fractional-order systems: definition from the diffusive representation, ageing of memory and effect of memory truncation

本文通过利用扩散表示将分数阶 Caputo 系统转化为希尔伯特空间上的自治方程，为其中的李雅普诺夫指数建立了一个严格的定义，从而解决了与非不变性和记忆老化相关的问题，并证明了正指数对于记忆截断具有鲁棒性，而错误的截断方法会人为地抑制混沌并引入伪负指数。

原作者： Stefano Fazzino

发布于 2026-10-21

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CC BY 4.0

原作者： Stefano Fazzino

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

在复杂系统的研究中，从变幻莫测的天气模式到神经元的放电，科学家们经常寻找混沌的特征。这种特征是衡量两个近乎相同的起始点随时间推移而相互分离速度的一种度量。如果它们迅速分离，则该系统是混沌且长期不可预测的；如果它们保持接近，则系统是稳定的。几十年来，研究人员一直使用一种被称为李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）的特定数学工具来计算这种分离速率。这个工具对于表现得像标准时钟一样的系统运作得非常完美，即未来的状态仅取决于当前的时刻。然而，许多现实世界的材料和过程，例如橡胶的拉伸方式或电流通过某些电池的方式，并不遵循这些简单的规则。它们拥有“记忆”，这意味着它们当前的状态受到过去发生的一切情况的影响。当科学家试图将标准工具应用于这些具有丰富记忆的系统时，结果往往是令人困惑且相互矛盾的。

独立研究员斯特凡诺·法齐诺（Stefano Fazzino）的一项新研究通过重新定义我们衡量具有记忆系统的混沌方式，解决了这一困惑。该论文专注于一种被称为分数阶系统（fractional-order system）的特定数学模型，这种模型被用于描述那些过去对现在有着沉重影响的过程。与标准系统不同，这些模型不仅观察当前的变化速度，还观察系统的整个历史，一直追溯到开始之初。法齐诺认为，由于这种与过去的深层联系，计算混沌的标准方法失效了。他提出了一种新方法，将系统的记忆视为一个庞大的隐藏内部状态集合，每个状态都以自己的速度进行弛豫，而不仅仅是将记忆视为一种模糊的背景影响。通过这种扩展的视角，他能够应用此前在这些系统中无法使用的严谨混沌理论数学规则。

这项工作的核心发现是，我们计算这些基于记忆系统的混沌方式存在根本性的缺陷。当研究人员使用标准计算机代码来估算这些系统变得混沌的速度时，他们经常得到负数的分离率，这表明系统正在收缩或趋于稳定。法齐诺的分析表明，这些负数并不是衡量系统长期稳定性的真实指标。相反，它们代表了可观测量在短时间尺度上的收缩率，或者是由于记忆被截断而产生的伪影。实际上，对于这些分数阶系统，真实的的分离率谱由表示混沌的正值、与流相关的零指数以及所有其他指数消失的本质带组成。现有软件报告的负值并不反映系统的内在稳定性；它们仅仅是计算方法遗忘其本应保留的历史的速度。

为了得出这一结论，法齐诺将问题转化到了一个不同的数学空间中。他没有尝试追踪一个随时间移动的点，而是将系统想象成一个连续的内部滤波器（或称“模态”）流，这些滤波器存储着关于过去的信息。其中一些滤波器保留信息的时间很短，而另一些则能保留极长的时间。这种方法揭示了一种被称为“老化”（ageing）的现象。由于系统从未真正忘记其起始点，初始条件的记忆会随着时间的推移而增强，即使系统的可见行为看起来是稳定的。这意味着系统不是不变的；它会随着年龄的增长而改变其特性。研究证明，要正确定义混沌，必须观察系统进入稳定节奏后的行为，而不是试图从它开始运行的第一刻起进行测量。

论文还测试了不同的简化记忆方式如何影响结果。在计算机模拟中，为了节省计算能力，通常需要在一定时间后切断记忆。法齐诺发现，在哪里进行这种切断至关重要。如果你在描述变化率的方程部分切断记忆，结果将保持准确，系统也会按预期运行。然而，如果你在汇总历史的部分切断记忆，系统将会完全改变。在这种情况下，混沌行为可能会完全消失，或者系统会被迫进入一个在现实中永远不会达到的稳定状态。研究显示，仅一百个时间单位的记忆窗口就可能摧毁一个本应是混沌的系统的混沌特性，而五百个单位的窗口则会将测得的混沌程度降低一半。这表明，许多以往使用这些快捷方式的研究，其研究的对象可能与他们原本想要建模的系统并非同一个，而是更不具混沌性的系统。

此外，这项研究阐明了为什么在之前的计算中缺失了通常表示系统沿着稳定路径移动的标准“零”指数。在一个具有记忆的系统中，时间本身的方向就是一个特殊的路径，它既不增长也不收缩。新方法捕捉到了这一点，表明只要正确处理记忆，系统确实拥有一个零指数。研究还指出，在这些系统的线性版本中，可见部分并不会像在标准系统中那样呈指数级快速衰减；相反，它们是以幂律（power law）的方式非常缓慢地消逝。这种缓慢的消逝解释了为什么旧版计算机代码中的负指数实际上只是这种缓慢消逝的短期测量，而非真正的稳定性指标。

这些发现对于任何建模复杂材料或设备的人来说都具有重要意义。该研究提供了一种计算这些系统李雅普诺夫指数的新型可靠方法，证实了正指数是真实且稳健的，而负指数在很大程度上是数学伪影或短期收缩率。它警告说，在某些类型的计算中使用固定的记忆窗口会导致错误的结论，关于系统是混沌的还是稳定的。作者建议使用一种特定的方法，即保持变化率的记忆完整，或者使用基于内部模态的新方法，以确保准确性。虽然关于这些混沌系统存在稳定长期状态的数学证明仍是一个假设，但数值证据有力地支持了新的定义。这项工作不仅提供了一种新的计算方法，更提供了一种对记忆如何塑造我们周围世界之不可预测性的修正理解。

技术摘要：分数阶系统的李雅普诺夫指数

问题陈述
李雅普诺夫指数是衡量混沌的标准定量指标，传统上通过奥莱德茨克（Oseledets）乘性遍历定理（MET）来定义。然而，该定理要求系统是在有限维空间上的流，且具有不变测度，其线性化演化构成一个协循环（cocycle）。分数阶系统（特别是由 Caputo 导数定义的系统）违反了这些假设。Caputo 导数是非局部的，这意味着系统在时刻 $t$ 的状态取决于整个过去的轨迹，而非仅仅取决于 $\mathbb{R}^n$ 中的一个点。因此，系统在时间平移下是不变的（它会“老化”），且其线性化演化算子在有限维流上并不构成协循环。尽管数值计算代码经常用于计算分数阶混沌系统（如 Chen、Rössler 系统）的指数，但目前在 Caputo 框架下尚不存在关于这些指数的严谨数学定义，且数值观察到的现象（例如零指数的缺失或“伪指数”的存在）仍未得到解释。

方法论
本文采用 Caputo 算子的扩散表示（diffusive representation）来重新表述该问题。将 $\nu \in (0,1)$ 阶的 Caputo 导数表示为与幂律核（它是正测度的拉普拉斯变换）的卷积。这使得分数阶系统可以被改写为一个在无限维记忆模态希尔伯特空间上的自治半线性演化方程。

增广状态空间： 系统被提升到一个乘积空间 $X = \mathbb{R}^n \times H$ ，其中 $H = L^2(\mathbb{R}^+, \rho_\nu d\omega)$ 代表一组以速率 $\omega$ 衰减的连续一阶记忆模态。该状态包括可观测变量 $x$ 和记忆剖面 $z(\omega, t)$ 。
协循环结构： 在该增广空间上，系统变为自治的。沿轨迹的线性化定义了一个在增广系统流上的协循环 $M(t,s)$ ，该协循环满足由 Ruelle、Mañé 和 Thieullen 针对希尔伯特空间中渐近紧致协循环所扩展的 MET 条件。
数值实现： 作者使用指数和求积法（sum-of-exponentials quadrature）对记忆连续体进行离散化，并在该增广系统上实现了 Benettin 算法。该方法通过线性系统的 Mittag-Leffler 函数精确解得到了验证。
截断分析： 研究比较了三种处理记忆的方法：
- 全记忆（Full memory）：解析直到极小 $\omega_{min}$ 的连续体。
- 应用于导数的截断（Grünwald-Letnikov 形式，“短记忆原理”）。
- 应用于积分形式的截断（固定记忆窗口或有限模态实现）。

核心贡献与结果

指数的定义： 本文通过将李雅普诺夫指数定义为增广希尔伯特空间上协循环在不变切子空间 $\{\delta a = 0\}$ 上的限制，为 Caputo 系统的指数提供了严谨定义。
记忆老化： 文中证明了对于有界的 Caputo 轨迹，希尔伯特空间中的记忆范数随 $t^{(1-\nu)/2}$ 增长。系统不会忘记其初始条件；它在“老化”。因此，指数必须定义在平稳动力学（定义在 $(-\infty, \infty)$ 上的解）上，而 Caputo 轨道以 $t^{-\nu}$ 的速度趋向于此。
谱结构：
- 正指数： 这些是定义良好的，构成离散集，且与记忆截断无关。
- 本质指数（Essential exponent）： 该协循环的本质指数为零。
- 零指数： 增广系统的自治特性保证了与时间平移方向相关的零指数。这解释了为什么标准的分数阶代码（通过重置记忆或限制为零初始记忆）无法检测到它。
- 非正指数： 在线性情况下，可观测变量不会呈指数收缩；扰动是以代数方式衰减的。作者推测，对于非线性混沌系统，所有的非正指数均为零。现有文献中报告的负指数被解释为可观测变量的有限时间收缩率，或是记忆截断产生的伪影，而非系统真实的李雅普诺夫指数。
记忆截断的影响：
- 导数截断（Grünwald-Letnikov）： 将短记忆原理应用于导数（如 Podlubny 所述）即使在短窗口下，也能保持最大指数和吸引子几何形状不变。
- 积分截断： 对积分形式应用固定记忆窗口（或有限模态实现）会从根本上改变系统。它会使吸引子变形，降低最大指数 20–50%，甚至可能抑制混沌。在有限模态实现中，它会引入数量级为 $-1/\tau_m$ （其中 $\tau_m$ 为记忆窗口）的伪负指数。
收敛速率： 文中推测，从零记忆开始计算的有限时间指数，其收敛至真实指数的过程包含一个与 $t^{-\nu}$ 成比例的修正项，此外还有标准的 $1/t$ 遍历波动。

意义与主张
本文声称通过在无限维状态空间上基于乘性遍历定理提供一种定义，解决了分数阶系统中李雅普诺夫指数的理论模糊性。它阐明了分数阶系统的“混沌”仅由正指数表征，而整数阶对应系统中的负指数在分数阶情况（当 $\nu < 1$ 时）下并不存在（就全状态空间的指数收缩而言）。

作者强调了其发现对数值建模的实际意义：

正指数的可靠性： 只有在正确处理记忆（全记忆或导数截断）时，正指数才是鲁棒的。
负指数的误读： 标准代码报告的负指数是数值方法（记忆重置或积分截断）的伪影，并不代表系统的真实收缩率。
模型完整性： 截断方程的积分形式会改变底层的动力学系统，可能导致分岔阈值和混沌边界的偏移。作者建议使用 Grünwald-Letnikov 导数的短记忆原理或增广系统算法，以保持系统的动力学特性。

文章总结道，尽管分数阶混沌系统是否存在紧致不变集仍是一个假设，但所提出的框架成功解释了数值异常，并提供了一种不依赖于任意记忆窗口的一致计算指数的方法。

技术摘要：分数阶系统的李雅普诺夫指数

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