Quantum probability for statisticians; some new ideas

على مدار معظم القرن الماضي، اعتمد علم الإحصاء على إطار عمل واحد جامد لفهم الاحتمالات وعدم اليقين. هذا الإطار، المعروف بالاحتمال الكلاسيكي، يعامل العالم كأنه مكتبة شاسعة من الاحتمالات حيث لكل سؤال إجابة واحدة ثابتة تنتظر الاكتشاف. وهو يعمل بشكل رائع في عد الأصوات، أو التنبؤ بالطقس، أو تحليل التجارب الطبية، بافتراض أن المعلمات التي ندرسها هي مجرد أرقام في مجموعة ليس لها بنية خفية. ومع ذلك، فإن فرعاً منفصلاً من العلم، وهو فيزياء الكم، يعمل منذ فترة طويلة وفق مجموعة مختلفة من القواعد. ففي عالم الكم، يمكن لفعل طرح السؤال أن يغير الإجابة، ويمكن لسؤالين مختلفين حول نفس النظام أن يكونا مرتبطين بعمق لدرجة أن معرفة الإجابة عن أحدهما تجعل الآخر غير مؤكد بشكل جوهري. ولفترة طويلة، نظر الإحصائيون إلى هذه القواعد الكمومية كأدوات غريبة محجوزة فقط لعالم الذرات والجسيمات المجهري، معتقدين أنه لا مكان لها في العالم العياني للبيانات والقرارات البشرية.

لقد خلق هذا الانفصال فجوة في فهمنا. فبينما أحدثت فيزياء الكم ثورة في رؤيتنا للكون، ظلت لغتها الرياضية معزولة إلى حد كبير عن العمل اليومي للإحصائيين. ومع ذلك، تشير التطورات الأخيرة إلى أن السلوك الغريب للجسيمات الكمومية قد لا يكون مجرد سمة غريبة في العالم الصغير جداً، بل هو انعكاس لكيفية جمعنا للمعلومات ومعالجتها كمراقبين. فإذا كانت القواعد التي تحكم دوران الإلكترون هي في الواقع قواعد تتعلق بحدود ما يمكننا معرفته، فإن تلك القواعد نفسها قد تنطبق على كيفية تحليلنا للبيانات في الطب أو الاقتصاد أو الذكاء الاصطناعي. لم يعد السؤال هو ما إذا كانت ميكانيكا الكم حقيقية، بل ما إذا كان منطقها يمكن أن يساعدنا في فهم البيانات المعقدة والضوضائية التي تحدد عالمنا الحديث بشكل أفضل.

في ورقة بحثية جديدة، يقترح إنجي إس. هيلاند من جامعة أوسلو جسراً جريئاً بين هذين العالمين. فهو يجادل بأن الاحتمالات الكمومية ليست مخصصة للذرات فحسب؛ بل يمكنها أن تعمل كأداة جديدة قوية للإحصائيين. يبني هيلاند حجته على أساس جديد للنظرية الكمومية، أساس ينزع عن النظرية الغموض المرتبط بـ "الظواهر الخارقة" ويستبدلها بهيكل منطقي واضح يعتمد على ما يمكن للمراقب قياسه بالفعل. ويقترح أن الكون مليء بـ "المتغيرات النظرية" — وهي كميات موجودة في نموذج ما ولكنها ليست جميعها متاحة لنا في وقت واحد. بعض هذه المتغيرات "متاحة"، بمعنى أنه يمكننا قياسها بدقة عالية، بينما البعض الآخر "غير متاح"، ومخفي عن الرؤية المباشرة. وجوهر حجته هو أنه عندما نحاول قياس متغيرين متاحين مختلفين مرتبطان بعمق، فإنهما يتصرفان بطريقة لا يمكن للإحصاء الكلاسيكي تفسيرها، بينما يتعامل معها الاحتمال الكمومي بشكل طبيعي.

ولجعل هذا الأمر ملموساً، يصف هيلاند تجربة فكرية تتضمن تجربة طبية لأربعة علاجات مختلفة لمرض جلدي. تخيل مريضاً يتلقى علاجاً واحداً على الجانب الأيسى من ظهره، ومزيجاً من العلاجات الثلاثة الأخرى على الجانب الأيمن. الهدف هو معرفة أي جانب يتحسن أكثر. في الرؤية الكلاسيكية، قد نفترض أنه يمكننا حساب الاحتمال الدقيق لتفوق أحد الجانبين بناءً على القوى الخفية للعلاجات الأربعة. ومع ذلك، يوضح هيلاند أنه إذا عاملنا الموقف كمسألة كمومية، حيث يعتمد "السؤال" الذي نطرحه (أي الجانب هو الأفضل) على "سؤال" سابق (كيف تم خلط العلاجات)، فإن الإجابة تتغير. لقد حسب أنه تحت مجموعة محددة من التماثلات، تتحول احتمالية نتيجة معينة من تقدير كلاسيكي يبلغ حوالي 43 بالمائة إلى تقدير كمومي يبلغ بالضبط 33 بالمائة. وهذا ليس مجرد خدعة رياضية؛ بل يشير إلى أنه عندما تكون بياناتنا محدودة أو معلماتنا معقدة، فإن النهج الكمومي يوفر طريقة أكثر قوة لوضع معتقداتنا الأولية، أو "الاحتمالات السابقة"، حتى قبل رؤية النتائج.

تذهب الورقة البحثية إلى أبعد من ذلك بإظهار كيف يمكن لهذه الأفكار أن تبسط مشكلات البيانات المعقدة، لا سيما في مجال التعلم الآلي. ففي الذكاء الاصطناعي الحديث، غالباً ما تعاني الحواسيب عندما تواجه آلاف المتغيرات ولكن مع عدد قليل فقط من نقاط البيانات، وهو موقف يُعرف باسم "لعنة الأبعاد". يوضح هيلاند أن التقنيات الرياضية المستخدمة لحل هذه المشكلة في الفيزياء الكمومية — وتحديداً طريقة تسمى "اختزال النموذج" — يمكن تطبيقها على النماذج الإحصائية. ومن خلال معاملة الطبقات الخفية للشبكة العصبية كما لو كانت أنظمة كمومية، يظهر أنه يمكننا تقليل عدد المتغيرات التي نحتاج إلى تتبعها دون فقدان المعلومات المهمة. هذا النهج، المرتبط ارتباطاً وثيقاً بتقنية إحصائية تسمى "انحدار المربعات الصغرى الجزئية"، يسمح للباحثين بإيجاد الأنماط الأكثر جوهرية في مجموعة البيانات من خلال التركيز على المتغيرات "القصوى" التي تحمل أكبر قدر من المعلومات، مما يؤدي فعلياً إلى تصفية الضوضاء.

أحد أهم النتائج في الورقة البحثية هو اشتقاق "قاعدة بورن"، وهي الصيغة الشهيرة التي يستخدمها الفيزيائيون لحساب احتمال حدث كمومي. عادة، تؤخذ هذه القاعدة كمسلمة أساسية في الطبيعة، شيء يعمل ببساطة. ومع ذلك، يشتق هيلاند هذه القاعدة من مجموعة من المبادئ المنطقية حول ما يمكن للمراقب معرفته. ويجادل بأنه إذا قبلنا أن معرفتنا محدودة بما يمكننا قياسه، وأن قياساتنا تخضع لتماثلات معينة، فإن قاعدة بورن تبرز بشكل طبيعي كالطريقة المنطقية الوحيدة لتخصيص الاحتمالات. وهذا ينقل منظور النظرية الكمومية من وصف كيفية "وجود" العالم إلى وصف لما يمكننا "معرفته" عن العالم. وفي هذا المنظور، فإن الاحتمالات الغريبة لميكانيكا الكم ليست خاصية للجسيمات نفسها، بل هي انعكاس لهيكل استقصائنا.

إن التداعيات على الإحصاء عميقة. يقترح هيلاند أنه من خلال اعتماد هذه الأساليب المستوحاة من الكم، يمكن للإحصائيين التعامل مع المواقف التي تفشل فيها الطرق التقليدية، مثل عندما تكون البيانات نادرة أو عندما تكون المتغيرات مترابطة بعمق. ويقدم قائمة بالتطبيقات المحتملة، تتراوح من تحسين دقة خوارزميات التعلم الآلي إلى صقل كيفية تفسيرنا للتجارب السريرية. لا تدعي الورقة أن العالم بأكွယ်ه هو حاسوب كمومي، ولا تقترح أن الإحصاء الكلاسيكي قد أصبح عتيقاً. بدلاً من ذلك، فهي تقدم عدسة جديدة لرؤية البيانات، عدسة تعترف بحدود المعرفة البشرية وتستخدم الأدوات الرياضية للنظرية الكمومية للإبحار عبر تلك الحدود.

في نهاية المطاف، يعد هذا العمل دعوة لإعادة التفكير في أسس كيفية تعلمنا من البيانات. وكما أدى إدخال هياكل رياضية جديدة في الماضي إلى توسيع آفاق الفيزياء، يجادل هيلاند بأن جلب الاحتمال الكمومي إلى الإحصاء يمكن أن يثري المجال، ويقدم حلولاً لمشكلات بدت مستعصية لفترة طويلة. وتخلص الورقة إلى رؤية لمستقبل لا تكون فيه ثقافات الإحصاء والفيزياء الكمومية منفصلة، بل هي جزء من فهم موحد لكيفية ملاحظتنا وقياسنا وفهمنا للعالم من حولنا. فمن خلال معاملة المراقب ليس كمسجل سلبي للحقائق، بل كمشارك نشط تشكل أسئلته الإجابات، قد نجد طريقة أكثر دقة وقوة لفهم البيانات المعقدة التي تقود مجتمعنا.