Quantum probability for statisticians; some new ideas

पिछली सदी के अधिकांश समय में, सांख्यिकी का विज्ञान संयोग और अनिश्चितता को समझने के लिए एक एकल, कठोर ढांचे पर निर्भर रहा है। यह ढांचा, जिसे शास्त्रीय प्रायिकता (क्लासिकल प्रोबेबिलिटी) के रूप में जाना जाता है, दुनिया को संभावनाओं के एक विशाल पुस्तकालय की तरह मानता है जहाँ हर प्रश्न का एक एकल, निश्चित उत्तर खोजा जाना बाकी होता है। यह वोट गिनने, मौसम का पूर्वानुमान लगाने या चिकित्सा परीक्षणों का विश्लेषण करने के लिए खूबसूरती से काम करता है, यह मानते हुए कि हम जिन मापदंडों का अध्ययन कर रहे हैं वे बिना किसी छिपी हुई संरचना वाले एक सेट के केवल अंक हैं। हालाँकि, विज्ञान की एक अलग शाखा, क्वांटम भौतिकी, लंबे समय से नियमों के एक अलग सेट के तहत काम कर रही है। क्वांटम दुनिया में, प्रश्न पूछने की क्रिया उत्तर को बदल सकती है, और एक ही प्रणाली के बारे में दो अलग-अलग प्रश्न इतने गहराई से जुड़े हो सकते हैं कि एक का उत्तर जानने से दूसरा मौलिक रूप से अनिश्चित हो जाता है। लंबे समय तक, सांख्यिकीविदों ने इन क्वांटम नियमों को केवल परमाणुओं और कणों की सूक्ष्म दुनिया के लिए आरक्षित विदेशी उपकरणों के रूप में देखा, यह मानते हुए कि मानव डेटा और निर्णय लेने की स्थूल दुनिया में इनका कोई स्थान नहीं है।

इस अलगाव ने हमारी समझ में एक अंतर पैदा कर दिया है। जबकि क्वांटम भौतिकी ने ब्रह्मांड के प्रति हमारे दृष्टिकोण में क्रांति ला दी है, इसकी गणितीय भाषा सांख्यिकीविदों के दैनिक कार्य से काफी हदियों तक अलग रही है। फिर भी, हालिया विकास सुझाव देते हैं कि क्वांटम कणों का अजीब व्यवहार केवल बहुत छोटी चीजों की एक विचित्रता नहीं है, बल्कि इस बात का प्रतिबिंब है कि हम, पर्यवेक्षक, सूचना कैसे एकत्र करते हैं और संसाधित करते हैं। यदि इलेक्ट्रॉन के स्पिन को नियंत्रित करने वाले नियम वास्तव में उन सीमाओं के नियम हैं जो हम क्या जान सकते हैं, तो वे नियम इस बात पर भी लागू हो सकते हैं कि हम चिकित्सा, अर्थशास्त्र या आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस में डेटा का विश्लेषण कैसे करते हैं। प्रश्न अब यह नहीं है कि क्वांटम यांत्रिकी वास्तविक है या नहीं, बल्कि यह है कि क्या इसका तर्क हमें आधुनिक दुनिया को परिभाषित करने वाले जटिल, शोर वाले डेटा को बेहतर ढंग से समझने में मदद कर सकता है।

एक नए शोध पत्र में, ओस्लो विश्वविद्यालय के इंगे एस. हेलैंड दो दुनियाओं के बीच एक साहसी सेतु का प्रस्ताव करते हैं। उनका तर्क है कि क्वांटम प्रायिकताएं केवल परमाणुओं के लिए नहीं हैं; वे सांख्यिकीविदों के लिए एक शक्तिशाली नया उपकरण भी हो सकती हैं। हेलैंड क्वांटम सिद्धांत के लिए एक नए आधार पर अपना मामला बनाते हैं, जो "स्पूकी" (अजीब) भौतिकी के रहस्य को हटा देता है और इसे एक स्पष्ट, तार्किक संरचना से बदल देता है जो इस पर आधारित है कि एक पर्यवेक्षक वास्तव में क्या माप सकता है। वे सुझाव देते हैं कि ब्रह्मांड "सैद्धांतिक चरों" (थ्योरेटिकल वेरिएबल्स) से भरा है—ऐसी मात्राएं जो एक मॉडल में मौजूद होती हैं लेकिन हम सभी एक साथ सुलभ नहीं होते। इनमें से कुछ "सुलभ" (एक्सेसिबल) हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें उच्च सटीकता के साथ माप सकते हैं, जबकि अन्य "असुुलभ" हैं, जो सीधी दृष्टि से छिपे हुए हैं। उनके तर्क का मूल यह है कि जब हम दो अलग-अलग सुलभ चरों को मापने की कोशिश करते हैं जो गहराई से जुड़े हुए हैं, तो वे इस तरह व्यवहार करते हैं जिसे शास्त्रीय सांख्यिकी स्पष्ट नहीं कर सकती, लेकिन क्वांटम प्रायिकता इसे स्वाभाविक रूप से संभाल लेती है।

इसे ठोस बनाने के लिए, हेलैंड त्वचा के चकत्ते (rash) के लिए चार अलग-अलग उपचारों वाले एक चिकित्सा परीक्षण से जुड़े एक विचार प्रयोग का वर्णन करते हैं। कल्पना कीजिए कि एक रोगी अपनी पीठ के बाईं ओर एक उपचार प्राप्त करता है और दाईं ओर अन्य तीन उपचारों का मिश्रण प्राप्त करता है। लक्ष्य यह देखना है कि कौन सी तरफ अधिक सुधार होता है। एक शास्त्रीय दृष्टिकोण से, हम मान सकते हैं कि हम चार उपचारों की छिपी हुई ताकत के आधार पर एक पक्ष के जीतने की सटीक प्रायिकता की गणना कर सकते हैं। हालाँकि, हेलैंड दिखाते हैं कि यदि हम स्थिति को एक क्वांटम समस्या के रूप में देखते हैं, जहाँ पूछा गया "प्रश्न" (कौन सा पक्ष बेहतर है) पिछले "प्रश्न" (उपचारों को कैसे मिलाया गया) पर निर्भर करता है, तो उत्तर बदल जाता है। वे गणना करते हैं कि एक विशिष्ट समरूपता (सिमेट्री) के तहत, एक निश्चित परिणाम की प्रायिकता शास्त्रीय अनुमान के लगभग 43 प्रतिशत से बदलकर क्वांटम अनुमान के ठीक 33 प्रतिशत हो जाती है। यह केवल एक गणितीय चाल नहीं है; यह सुझाव देता है कि जब हमारा डेटा सीमित होता है या हमारे पैरामीटर जटिल होते हैं, तो क्वांटम दृष्टिकोण हमारे परिणाम देखने से पहले ही हमारी प्रारंभिक मान्यताओं, या "प्रायर्स" (priors), को स्थापित करने का एक अधिक मजबूत तरीका प्रदान करता है।

यह शोध पत्र आगे यह दिखाकर स्पष्ट करता है कि कैसे ये विचार जटिल डेटा समस्याओं, विशेष रूप से मशीन लर्निंग के क्षेत्र में, को सरल बना सकते हैं। आधुनिक आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस में, कंप्यूटर अक्सर तब संघर्ष करते हैं जब उन्हें हजारों चरों का सामना करना पड़ता है लेकिन केवल कुछ ही डेटा बिंदु होते हैं, जिसे "कर्स ऑफ डायमेंशनलिटी" (आयामों का अभिशाप) कहा जाता है। हेलैंड प्रदर्शित करते हैं कि क्वांटम भौतिकी में इस समस्या को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली गणितीय तकनीकें—विशेष रूप से, 'मॉडल रिडक्शन' नामक एक विधि—सांख्यिकीय मॉडलों पर लागू की जा सकती हैं। न्यूरल नेटवर्क की छिपी हुई परतों को क्वांटम सिस्टम की तरह मानकर, वे दिखाते हैं कि हम महत्वपूर्ण जानकारी खोए बिना ट्रैक किए जाने वाले चरों की संख्या को कम कर सकते हैं। यह दृष्टिकोण, जो 'पार्शियल लीस्ट स्क्वायर्स रिग्रेशन' नामक एक सांख्यिकीय तकनीक से निकटता से संबंधित है, शोधकर्ताओं को सबसे आवश्यक पैटर्न खोजने की अनुमति देता है जो सबसे अधिक जानकारी ले जाने वाले "मैक्सिमल" चरों पर ध्यान केंद्रित करके, प्रभावी रूप से शोर को फ़िल्टर करता है।

इस शोध पत्र की सबसे महत्वपूर्ण खोजों में से एक "बॉर्न रूल" (Born rule) का व्युत्पन्न है, वह प्रसिद्ध सूत्र जिसका उपयोग भौतिक विज्ञानी क्वांटम घटना की गणना करने के लिए करते हैं। आमतौर पर, इस नियम को प्रकृति के एक मौलिक सिद्धांत के रूप में लिया जाता है, कुछ ऐसा जो बस काम करता है। हेलैंड, हालांकि, इसे एक पर्यवेक्षक क्या जान सकता है, इसके तार्किक सिद्धांतों से व्युत्पन्न करते हैं। उनका तर्क है कि यदि हम यह स्वीकार करते हैं कि हमारा ज्ञान उन चीजों तक सीमित है जिन्हें हम माप सकते हैं, और हमारे माप कुछ समरूपताओं के अधीन हैं, तो बॉर्न नियम स्वाभाविक रूप से प्रायिकता निर्धारित करने का एकमात्र तार्किक तरीका बनकर उभरता है। यह क्वांटम सिद्धांत के दृष्टिकोण को दुनिया "कैसी है" के विवरण से बदलकर इस बात के विवरण में बदल देता है कि हम दुनिया के बारे में "क्या जान सकते हैं"। इस दृष्टिकोण में, क्वांटम यांत्रिकी की अजीब प्रायिकताएं कणों का गुण नहीं हैं, बल्कि हमारी जांच की संरचना का प्रतिबिंब हैं।

सांख्यिकी के लिए इसके निहितार्थ गहरे हैं। हेलैंड का सुझाव है कि क्वांटम-प्रेरित तरीकों को अपनाकर, सांख्यिकीविद उन स्थितियों को संभाल सकते हैं जहाँ पारंपरिक तरीके विफल हो जाते हैं, जैसे कि जब डेटा दुर्लभ हो या चर गहराई से परस्पर जुड़े हों। वे नैदानिक परीक्षणों की व्याख्या करने के तरीके को परिष्कृत करने से लेकर मशीन लर्निंग एल्गोरिदम की सटीकता में सुधार करने तक, संभावित अनुप्रयोगों की एक सूची प्रदान करते हैं। यह शोध पत्र यह दावा नहीं करता है कि पूरी दुनिया एक क्वांटम कंप्यूटर है, न ही यह सुझाव देता है कि शास्त्रीय सांख्यिकी अप्रचलित हो गई है। इसके बजाय, यह डेटा को देखने के लिए एक नया लेंस प्रदान करता है, जो मानव ज्ञान की सीमाओं को स्वीकार करता है और उन सीमाओं को नेविगेट करने के लिए क्वांटम सिद्धांत के गणितीय उपकरणों का उपयोग करता है।

अंततः, यह कार्य इस बारे में सोचने के लिए एक आमंत्रण है कि हम डेटा से कैसे सीखते हैं। जिस तरह अतीत में नए गणितीय ढांचों के परिचय ने भौतिकी के क्षितिज का विस्तार किया है, हेलैंड का तर्क है कि क्वांटम प्रायिकता को सांख्यिकी में लाने से इस क्षेत्र को समृद्ध किया जा सकता है, जो उन समस्याओं के समाधान प्रदान करता है जो लंबे समय से असाध्य लग रही थीं। शोध पत्र एक ऐसे भविष्य के विजन के साथ समाप्त होता है जहाँ सांख्यिकी और क्वांटम भौतिकी की संस्कृतियाँ अब अलग नहीं हैं, बल्कि एक एकीकृत समझ का हिस्सा हैं कि हम दुनिया को कैसे देखते हैं, मापते हैं और समझते हैं। पर्यवेक्षक को तथ्यों के निष्क्रिय रिकॉर्डर के रूप में नहीं, बल्कि एक सक्रिय भागीदार के रूप में देखते हुए, जिसकी प्रश्न उत्तरों को आकार देते हैं, हम उस जटिल डेटा को समझने के लिए एक अधिक सटीक और शक्तिशाली तरीका पा सकते हैं जो हमारे समाज को संचालित करता है।