Quantum probability for statisticians; some new ideas

過去1世紀の大部分において、統計学という科学は、偶然と不確実性を理解するための単一で硬直した枠組みに依存してきました。古典的確率として知られるこの枠組みは、世界を、あらゆる問いに対して発見されるのを待っている唯一の固定された答えが存在する、膨大な可能性の図書館のように扱います。これは、調査対象となるパラメータが隠れた構造を持たない集合内の単なる数値であると仮定することで、投票数の集計、天候予測、あるいは医学的治験の分析において見事に機能します。しかし、量子物理学という別の科学分野は、長らく異なるルールに基づいて運用されてきました。量子の世界では、問いを発すること自体が答えを変えてしまうことがあり、同じシステムに対する2つの異なる問いは、一方の答えを知ることが他方を根本的に不確実にするほど深く結びついていることがあります。長い間、統計学者はこれらの量子のルールを、原子や粒子といった微視的な世界のためのエキゾチックな道具として見ており、人間によるデータや意思決定という巨視的な世界には関係のないものと考えてきました。

この分離は、私たちの理解に空白を生み出しました。量子物理学が宇宙の観点を変革してきた一方で、その数学的言語は、統計学者の日常的な業務からは概して隔離されたままでした。しかし、近年の進展は、量子の奇妙な振る舞いが、極めて小さな世界特有の癖ではなく、むしろ私たち観察者がどのように情報を収集し、処理するかを反映している可能性を示唆しています。もし電子のスピンを支配するルールが、実は「私たちが知り得る限界」に関するルールであるならば、それと同じルールが、医学、経済学、あるいは人工知能におけるデータの分析にも適用できるかもしれません。問題はもはや、量子力学が現実かどうかではなく、その論理が、現代社会を定義する複雑でノイズの多いデータをより良く理解するために役立つかどうかです。

オスロ大学のインゲ・S・ヘルランドは、新しい論文の中で、これら二つの世界を結ぶ大胆な架け橋を提案しています。彼は、量子確率は原子のためだけのものではなく、統計学者にとって強力な新しいツールになり得ると主張しています。ヘルランドは、量子理論の新鮮な基礎の上に自説を構築しており、それは「不気味な」物理学の神秘性を剥ぎ取り、観察者が実際に測定できることに基づく明確で論理的な構造へと置き換えるものです。彼は、宇宙は「理論的変数」――モデル内に存在するが、すべてが同時にアクセス可能ではない量――に満ちていると示唆しています。これらの変数のうち、いくつかは「アクセス可能」であり、高い精度で測定できますが、他のものは「アクセス不能」であり、直接見ることはできません。彼の議論の核心は、深く結びついた2つの異なるアクセス可能な変数を測定しようとすると、古典的な統計学では説明できない挙動を示すが、量子確率はそれを自然に扱うことができる、という点にあります。

これを具体化するために、ヘルランドは4種類の湿疹治療薬を用いた臨床試験に関する思考実験を説明しています。患者の背中の左側に一つの治療薬を、右側に残りの3つの混合物を投与すると想像してください。目的は、どちらの側がより改善するかを見ることです。古典的な視点では、4つの治療薬の隠れた強さに基づいて、どちらの側が勝つかの正確な確率を計算できると想定するかもしれません。しかし、ヘルランドは、もし状況を量子的な問題（つまり、「どちらが良いか」という問いが、以前の「どのように混合されたか」という問いに依存する場合）として扱うと、答えが変わることを示しています。彼は、特定の対称性の条件下において、ある結果の確率が、古典的な推定値である約43パーセントから、量子的な推定値である正確に33パーセントへと変化することを算出しました。これは単なる数学的なトリックではありません。これは、データが限られていたり、パラメータが複雑であったりする場合、量子的なアプローチが、結果を見る前における初期の信念、すなわち「事前分布（プライア）」を設定するためのより堅牢な方法を提供することを示唆しています。

さらに、この論文は、これらのアイデアがいかに複雑なデータ問題を簡素化できるか、特に機械学習の分野において、という点についても示しています。現代の人工知能において、コンピュータは、数千の変数に直面しながらもデータポイントがわずかしかない状況、いわゆる「次元の呪い」に苦しむことがよくあります。ヘルランドは、量子物理学においてこれを解決するために用いられる数学的手法、具体的には「モデル簡約」と呼ばれる手法が、統計モデルにも適用できることを示しています。ニューラルネットワークの隠れた層を量子系として扱うことで、重要な情報を失うことなく、追跡すべき変数の数を減らせることを彼は証明しています。このアプローチは、偏最小二乗回帰と呼ばれる統計的手法とも密接に関連しており、最も多くの情報を運ぶ「最大」の変数に焦点を当てることで、データセットから最も本質的なパターンを見つけ出し、効果的にノイズをフィルタリングすることを可能にします。

この論文における最も重要な発見の一つは、「ボルンの法則」の導出です。これは、物理学者が量子事象の確率を計算するために用いる有名な公式です。通常、この法則は自然の根本的な公理、つまり「ただ成立するもの」として受け取られています。しかし、ヘルランドは、観察者が何を知ることができるかという論理的原理から、この法則を導き出しています。彼は、私たちの知識が測定可能なものに限定されており、かつ私たちの測定が特定の対称性に従っているということを受け入れるならば、ボルンの法則は論理的な唯一の方法として自然に現れると主張しています。これにより、量子理論の視点は、世界が「どうあるか」の記述から、私たちが世界について「何を知ることができるか」の記述へとシフトします。この観点では、量子力学の奇妙な確率は粒子自体の特性ではなく、私たちの探究の構造を反映したものなのです。

統計学への影響は甚大です。ヘルランドは、量子に着想を得たこれらの手法を採用することで、統計学者が従来のメソッドが通用しない場面、例えばデータが乏しい場合や変数が深く相互に関連している場合に対処できることを示唆しています。彼は、機械学習アルゴリズムの精度の向上から、臨床試験の解釈の洗練に至るまで、潜在的な応用例を列挙しています。この論文は、世界全体が量子コンピュータであると主張しているわけでも、古典的な統計学が時代遅れであると言っているわけでもありません。そうではなく、データの捉え方に対する新しいレンズを提供しており、人間の知識の限界を認めつつ、その限界をナビゲートするために量子理論の数学的ツールを用いることを提案しています。

結局のところ、この研究は、データからどのように学ぶかという基礎を再考するよう私たちに促す招待状です。過去に新しい数学的構造の導入が物理学の地平を広げたように、量子確率を統計学に取り入れることは、統計学を豊かにし、長らく解決困難と思われてきた問題への解決策を提供するとヘルランドは主張しています。論文は、統計学と量子物理学の文化がもはや別個のものではなく、私たちが周囲の世界をどのように観察し、測定し、理解するかについての統一された理解の一部となる未来のビジョンで締めくくられています。観察者を、事実の受動的な記録者としてではなく、問いによって答えを形作る能動的な参加者として扱うことで、私たちは、現代社会を動かす複雑なデータを理解するための、より正確で強力な方法を見出すことができるのかもしれません。