Quantum probability for statisticians; some new ideas

Den Großteil des letzten Jahrhunderts stützte sich die Wissenschaft der Statistik auf ein einziges, starres Rahmenwerk zum Verständnis von Zufall und Unsicherheit. Dieses Rahmenwerk, bekannt als klassische Wahrscheinlichkeit, betrachtet die Welt wie eine riesige Bibliothek der Möglichkeiten, in der jede Frage eine einzige, feste Antwort besitzt, die darauf wartet, entdeckt zu werden. Es funktioniert hervorragend beim Zählen von Stimmen, beim Vorhersagen des Wetters oder bei der Analyse medizinischer Studien, unter der Annahme, dass die untersuchten Parameter lediglich Zahlen in einer Menge ohne verborgene Struktur sind. Eine andere Teildisziplin der Wissenschaft, die Quantenphysik, operiert jedoch schon seit langem nach einem anderen Regelwerk. In der Quantenwelt kann der Akt des Fragens die Antwort verändern, und zwei verschiedene Fragen zu demselben System können so tief miteinander verknüpft sein, dass das Wissen um die Antwort auf die eine die andere grundlegend unsicher macht. Lange Zeit betrachteten Statistiker diese Quantenregeln als exotische Werkzeuge, die ausschließlich der mikroskopischen Welt der Atome und Teilchen vorbehalten waren, in der Überzeugung, dass sie in der makroskopischen Welt menschlicher Daten und Entscheidungsfindung keinen Platz hätten.

Diese Trennung hat eine Lücke in unserem Verständnis geschaffen. Während die Quantenphysik unsere Sicht auf das Universum revolutioniert hat, blieb ihre mathematische Sprache weitgehend isoliert von der täglichen Arbeit der Statistiker. Jüngste Entwicklungen deuten jedoch darauf an, dass das seltsame Verhalten von Quantenteilchen nicht bloß eine Eigenart der winzigen Welt ist, sondern vielmehr ein Spiegelbild dessen, wie wir als Beobachter Informationen sammeln und verarbeiten. Wenn die Regeln, die das Spin eines Elektrons bestimmen, tatsächlich Regeln über die Grenzen dessen sind, was wir wissen können, dann könnten dieselben Regeln auch dafür gelten, wie wir Daten in der Medizin, Wirtschaft oder künstlichen Intelligenz analysieren. Die Frage ist nicht länger, ob die Quantenmechanik real ist, sondern ob ihre Logik uns helfen kann, die komplexen, verrauschten Daten unserer modernen Welt besser zu verstehen.

In einem neuen Paper schlägt Inge S. Helland von der Universität Oslo eine mutige Brücke zwischen diesen beiden Welten. Er argumentiert, dass Quantenwahrscheinlichkeiten nicht nur für Atome gedacht sind; sie können als ein mächtiges neues Werkzeug für Statistiker dienen. Helland baut seinen Fall auf einem frischen Fundament für die Quantentheorie auf, das die Mystik der „spukhaften“ Physik entfernt und sie durch eine klare, logische Struktur ersetzt, die auf dem basiert, was ein Beobachter tatsächlich messen kann. Er legt nahe, dass das Universum mit „theoretischen Variablen“ gefüllt ist – Größen, die in einem Modell existieren, aber nicht alle gleichzeitig für uns zugänglich sind. Einige dieser Variablen sind „zugänglich“, was bedeutet, dass wir sie mit hoher Präzision messen können, während andere „unzugänglich“ sind, also verborgen bleiben. Der Kern seines Arguments ist, dass wenn wir versuchen, zwei verschiedene zugängliche Variablen zu messen, die tief miteinander verbunden sind, sie sich auf eine Weise verhalten, die die klassische Statistik nicht erklären kann, die Quantenwahrscheinlichkeit jedoch natürlich handhabt.

Um dies konkret zu machen, beschreibt Helland ein Gedankenexperiment mit einer medizinischen Studie über vier verschiedene Behandlungen für einen Ausschlag. Stellen Sie sich einen Patienten vor, der eine Behandlung auf der linken Seite seines Rückens erhält und eine Mischung der anderen drei auf der rechten Seite. Das Ziel ist es zu sehen, welche Seite sich mehr verbessert. Aus einer klassischen Sicht könnten wir annehmen, dass wir die exakte Wahrscheinlichkeit berechnen können, mit der eine Seite gewinnt, basierend auf den verborgenen Stärken der vier Behandlungen. Helland zeigt jedoch, dass sich die Antwort ändert, wenn wir die Situation als ein Quantenproblem behandeln, bei dem die „Frage“, die wir stellen (welche Seite besser ist), von einer vorherigen „Frage“ (wie die Behandlungen gemischt wurden) abhängt. Er berechnet, dass sich unter einem spezifischen Satz von Symmetrien die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses von einer klassischen Schätzung von etwa 43 Prozent zu einer Quantenschätzung von exakt 33 Prozent verschiebt. Dies ist kein bloßer mathematischer Trick; es deutet darauf hin, dass der Quantenansatz, wenn unsere Daten begrenzt oder unsere Parameter komplex sind, ein robusterer Weg ist, um unsere ursprünglichen Überzeugungen, oder „Priors“, festzulegen, noch bevor wir die Ergebnisse sehen.

Das Paper geht darüber hinaus und zeigt, wie diese Ideen komplexe Datenprobleme vereinfachen können, insbesondere im Bereich des maschinellen Lernens. In der modernen künstlichen Intelligenz kämpfen Computer oft, wenn sie mit tausenden von Variablen, aber nur wenigen Datenpunkten konfrontiert werden – eine Situation, die als „Fluch der Dimensionalität“ bekannt ist. Helland demonstriert, dass die mathematischen Techniken, die zur Lösung dieses Problems in der Quantenphysik verwendet werden – speziell eine Methode namens Modellreduktion –, auf statistische Modelle angewendet werden können. Indem er die verborgenen Schichten eines neuronalen Netzes so behandelt, als wären sie Quantensysteme, zeigt er, dass wir die Anzahl der Variablen, die wir verfolgen müssen, reduzieren können, ohne wichtige Informationen zu verlieren. Dieser Ansatz, der eng mit der statistischen Technik der partiellen kleinsten Quadrate (Partial Least Squares Regression) verwandt ist, ermöglicht es Forschern, die wesentlichsten Muster in einem Datensatz zu finden, indem sie sich auf die „maximalen“ Variablen konzentrieren, die die meisten Informationen tragen, und so das Rauschen effektiv herausfiltern.

Eines der bedeutendsten Ergebnisse des Papers ist die Ableitung der „Bornschen Regel“, der berühmten Formel, mit der Physiker die Wahrscheinlichkeit eines Quantenereignisses berechnen. Normalerweise wird diese Regel als ein fundamentales Postulat der Natur betrachtet, etwas, das einfach funktioniert. Helland hingegen leitet sie aus einem Satz logischer Prinzipien darüber ab, was ein Beobachter wissen kann. Er argumentt, dass wenn wir akzeptieren, dass unser Wissen auf das beschränkt ist, was wir messen können, und dass unsere Messungen bestimmten Symmetrien unterliegen, die Bornsche Regel als der einzig logische Weg zur Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten natürlich hervorgeht. Dies verschiebt die Perspektive der Quantentheorie von einer Beschreibung dessen, wie die Welt „ist“, zu einer Beschreibung dessen, was wir über die Welt „wissen“ können. In dieser Sichtweise sind die seltsamen Wahrscheinlichkeiten der Quantenmechanik keine Eigenschaft der Teilchen selbst, sondern ein Spiegelbild der Struktur unserer eigenen Untersuchung.

Die Auswirkungen für die Statistik sind tiefgreifend. Helland legt nahe, dass Statistiker durch die Übernahme dieser quanteninspirierten Methoden Situationen bewältigen können, in denen traditionelle Methoden versagen, wie etwa wenn Daten knapp sind oder die Variablen tief miteinander verknüpft sind. Er liefert eine Liste potenzieller Anwendungen, die von der Verbesserung der Genauigkeit von Algorithmen des maschinellen Lernens bis hin zur Verfeinerung der Interpretation klinischer Studien reichen. Das Paper behauptet nicht, dass die gesamte Welt ein Quantencomputer ist, noch deutet es darauf hin, dass die klassische Statistik obsolet sei. Stattdessen bietet es eine neue Linse an, durch die wir Daten betrachten können – eine Linse, die die Grenzen menschlichen Wissens anerkennt und die mathematischen Werkzeuge der Quantentheorie nutzt, um diese Grenzen zu navigieren.

Letztlich ist dieses Werk eine Einladung, das Fundament dessen, wie wir aus Daten lernen, neu zu überdenken. So wie die Einführung neuer mathematischer Strukturen in der Vergangenheit die Horizonte der Physik erweitert hat, argumentiert Helland, dass die Einbeziehung der Quantenwahrscheinlichkeit in die Statistik das Feld bereichern kann, indem sie Lösungen für Probleme bietet, die lange Zeit als unlösbar galten. Das Paper schließt mit einer Vision einer Zukunft, in der die Kulturen der Statistik und der Quantenphysik nicht länger getrennt sind, sondern Teil eines einheitlichen Verständnisses davon sind, wie wir die Welt beobachten, messen und verstehen. Indem wir den Beobachter nicht als passiven Aufzeichner von Fakten betrachten, sondern als aktiven Teilnehmer, dessen Fragen die Antworten formen, können wir einen genaueren und kraftvolleren Weg finden, um die komplexen Daten zu verstehen, die unsere Gesellschaft antreiben.