Phase-field modeling of cyclic behavior in quasi-brittle materials: a micromechanics-based approach

ملخص تقني: نمذجة الحقل الطوري للسلوك الدوري في المواد شبه الهشة: نهج قائم على الميكانيكا الدقيقة

بيان المشكلة
تُظهر المواد شبه الهشة، مثل الخرسانة والبناء والصخور، آليات فشل معقدة تحت التحميل الدوري. وبينما تعالج نماذج الكلال التقليدية تراكم الأضرار، فإنها غالباً ما تخفق في رصد التراكم التدريجي لللانضياع غير المرن المعروف باسم "التدرج" (ratcheting)، وهو أمر بالغ الأهمية في سيناريوهات الكلال منخفض الدورات. علاوة على ذلك، تعتمد نماذج الحقل الطوري القياسية غالباً على تقسيمات طاقة ظواهرية (مثل التقسيم الطيفي أو الحجمي-الانحرافي) للتمييز بين الشد والضغط، وهو ما قد لا يعكس بشكل كامل الآليات المجهرية لفتح وإغلاق الشقوق الدقيقة. ويكمن التحدي في تطوير إطار عمل متسق ثرموديناميكياً يدمج اللدونة الدورية مع تأثيرات التدرج في نموذج حقل طوري للمواد شبه الهشة، مع مراعاة السمات المجهرية مثل الانزلاق الاحتكاكي وتطور الشقوق الدقيقة بشكل صريح.

المنهجية
يقترح المؤلفون امتداداً لإطار عمل حقل طوري قائم على الميكانيكا الدقيقة. ويتضمن جوهر المنهجية ما يلي:

1. الطاقة الحرة القائمة على الميكانيكا الدقيقة: يميز النموذج بين حالات الشقوق الدقيقة المفتوحة والمغلقة داخل عنصر حجم تمثيلي (RVE).

   • الحالة المفتوحة: لا تنقل الشقوق الدقيقة الإجهاد؛ حيث تسلك المادة سلوكاً هشاً دون مساهمة بلاستيكية في طاقة الانفعال.
   • الحالة المغلقة: تتعرض الشقوق الدقيقة للانزلاق الاحتكاكي. تتضمن الطاقة الحرة مساهمات من الانفعال المرن، والانفعال البلاستيكي، وانفعال التدرج ($\varepsilon_r$) المستحدث حديثاً. يمثل انفعال التدرج إزاحة غير عكسية في الحالة المرجعية المرنة نتيجة لإعادة الترتيبات المجهرية.
   • يلتقط الصياغة بشكل طبيعي السلوك غير المتماثل (الشد مقابل الضغط) دون الحاجة لتقسيم صريح للطاقة، اعتماداً بدلاً من ذلك على حالة الشقوق الدقيقة.

2. اللدونة غير الترابطية مع التدرج:

   • يستخدم نموذج اللدونة معيار خضوع "دراكر-براغر" غير الترابطي لالتقاط السلوك الاحتكاكي-التمددي، مما يتجنب التمدد المفرط غير الواقعي الذي تتنبأ به النماذج الترابطية.
   • يتم إدخال موتر انفعال التدرج كمتغير داخلي يتطور عبر قاعدة تدفق غير ترابطية. ويتم دفع هذا التطور بواسطة معدل الانفعال البلاستيكي، لكنه يتراكم تدريجياً عبر الدورات.
   • تمت صياغة الجهد البلاستيكي للسماح بالتحكم المستقل في مكونات التدرج الانحرافية والحجمية من خلال المعاملات $\beta_\mu$ و $\beta_K$.

3. تدهور الكلال:

   • يتم نمذجة الكلال عبر متغير تاريخ الكلال ($F$) ودالة التدهور ($h(F)$).
   • تم تنفيذ دالتين للتدهور: دالة تقاربية ودالة لوغاريتمية. تعمل هذه الدوال على تقليل طاقة الكسر ($G_c$) بمجرد تجاوز عتبة ($F_0$).
   • يميز النموذج بين طاقات الكسر من النوع الأول (Mode I - شد) والنوع الثاني (Mode II - قص/ضغط)، باستخدام دالة (smoothstep) لتنظيم الانتقال بينهما.

4. التنفيذ العددي:

   • يتم استخدام مخطط حل متدرج ثلاثي المجالات لفصل نظام المعادلات التفاضلية الجزئية.
   • يقوم الخوارزمي بحل (1) مجال الإزاحة (التوازن الميكانيكي)، (2) حقل طور الشق (تطور الضرر باستخدام نهج حقل التاريخ)، (3) الانفعالات البلاستيكية وانفعالات التدرج (باستخدام خوارزمية استعادة ضمنية).

المساهمات الرئيسية

• دمج التدرج: المساهمة الرئيسية هي الدمج المتسق ثرموديناميكياً لانفعال التدرج في نموذج حقل طوري قائم على الميكانيكا الدقيقة. وهذا يسمح بمحاكاة التراكم التدريجي للانفعال غير المرن تحت التحميل الدوري غير المتماثل.
• الأساس المجهري: يحتفظ النموذج ببنية تباينية متجذرة في سلوك الشقوق الدقيقة (الفتح مقابل الانزلاق)، مما يوفر بديلاً فيزيائياً للتقسيمات الطاقية الظواهرية البحتة.
• التحكم المستقل في أنماط التدرج: تقدم الصياغة معاملات محددة للتحكم بشكل مستقل في التدرج الحجمي والانحرافي، مما يوفر مرونة في نمذجة الاستجابات الدورية المعقدة.
• إطار عمل موحد: يجمع النموذج في آن واحد بين تطور ضرر الكلال، واللدونة الدورية، والتدرج ضمن إطار مستمر واحد.

النتائج
أُجريت عمليات محاكاة عددية للتحقق من صحة النموذج تحت ظروف مختلفة:

• ثني النقاط الثلاث الأحادي والدوري: نجح النموذج في إعادة إنتاج منحنيات القوة-الإزاحة التجريبية لعوارض الخرسانة. وتحت التحميل الدوري، نجح في رصد بدء الشقوق، والانتشار المستقر، والفشل المفاجئ بعد عدد معين من الدورات (755 دورة في المثال)، بما يتماشى مع سلوك الكلال الملحوظ.
• الكلال عالي الدورات (عنصر منفرد): تم إنشاء منحنيات (S-N) باستخدام كل من دوال التدهور التقاربية واللوغاريتمية. وسلطت الدراسة الضوء على حساسية عمر الكلال المتوقع للشكل الرياضي لدالة التدهور، مع ملاحظة سلوكيات غير متوقعة في الصيغة اللوغاريتمية عند مستويات الإجهاد العالية.
• تدرج نقطة المادة: أظهرت المحاكاة تحت التحميل الدوري المتحكم فيه بالإجهاد والمتحكم فيه بالانفعال قدرة النموذج على رصد:
  • الاسترخاء الإجهادي: تحت التحكم في الانفعال، حيث يتناقص سعة الإجهاد عبر الدورات.
  • التدرج (Ratcheting): تحت التحكم في الإجهاد، حيث يتراكم الانفعال تدريجياً مع كل دورة.
  • أظهر النموذج حساسية لمعاملات التدرج ($\beta_K, \beta_\mu$)، حيث تؤدي القيم الأعلى إلى تراكم أكبر للانفعال.
• العينة المثقوبة (الكلال منخفض الدورات): أظهرت محاكاة لعينة مربعة ذات ثقب مركزي خضعت لدورات شد-ضغط متحكم فيها بالقوة، قدرة النموذج على محاكاة الضرر الموضعي وتراكم الانفعال غير المرن حول تركيزات الإجهاد. وأظهرت النتائج تدهور الصلابة وتراكم كبير لانفعال التدرج على مدار 1000 دورة.

الأهمية والادعاءات
يزعم البحث أن إطار العمل المقترح يقدم أداة قوية لاستقصاء السلوك الدوري للمواد شبه الهشة، لا سيالما في أنظمة الكلال منخفض الدورات حيث يعد تراكم الانفعال غير المرن آلية فشل مهيمنة. ومن خلال تأسيس النموذج على الميكانيكا الدقيقة، فإنه يوفر وصفاً أكثر تعليلاً فيزيائياً لأنماط الفشل (الشد مقابل القص) مقارنة بالنهجات الظواهرية التقليدية. ويؤكد المؤلفون أن النموذج ينجح بفعالية في رصد التداخل بين ضرر الكلال واللدونة الدورية، بما في ذلك الظاهرة الحرجة للتدرج، دون الاعتماد على تقسيمات طاقية تجريبية. ويشير العمل إلى أن هذه النماذج يمكن أن تكمل الدراسات التجريبية، مما قد يقلل من الحاجة إلى الاختبارات المكثفة من خلال توفير تنبؤات دقيقة لتدهور المادة والانهيار تحت مسارات تحميل معقدة. وتخلص الدراسة إلى أن التحكم المستقل في مكونات التدرج والاتساق الثرموديناميكي للصياغة هما أمران ضروريان لنمذجة التدهور طويل الأمد للهياكل شبه الهشة.