Phase-field modeling of cyclic behavior in quasi-brittle materials: a micromechanics-based approach

Résumé technique : Modélisation par champ de phase du comportement cyclique des matériaux quasi-fragiles : une approche basée sur la micromécanique

Énoncé du problème
Les matériaux quasi-fragiles, tels que le béton, la maçonnerie et la roche, présentent des mécanismes de rupture complexes sous chargement cyclique. Bien que les modèles de fatigue traditionnels traitent l'accumulation de dommages, ils échouent souvent à capturer l'accumulation progressive des déformations inélastiques, connue sous le nom de ratissage (ratcheting), ce qui est critique dans les scénarios de fatigue à faible nombre de cycles. De plus, les modèles de champ de phase standards reposent souvent sur des décompositions d'énergie phénoménologiques (par exemple, spectrale ou volumétrique-déviatorique) pour distinguer la traction de la compression, ce qui peut ne pas refléter pleinement les mécanismes micromécaniques sous-jacents d'ouverture et de fermeture des microfissures. Le défi consiste à développer un cadre thermodynamiquement cohérent qui intègre la plasticité cyclique et les effets de ratissage dans un modèle de champ de phase pour les matériaux quasi-fragiles, en tenant compte explicitement des caractéristiques microstructurales telles que le glissement frictionnel et l'évolution des microfissures.

Méthodologie
Les auteurs proposent une extension d'un cadre de champ de phase basé sur la micromécanique. Le cœur de la méthodologie implique :

1. Énergie libre basée sur la micromécanique : Le modèle distingue les états de microfissures ouvertes et fermées au sein d'un Élément Représentatif de Volume (RVE).

   • État ouvert : Les microfissures ne transmettent pas de contraintes ; le matériau se comporte de manière fragile sans contribution plastique à l'énergie de déformation.
   • État fermé : Les microfissures subissent un glissement frictionnel. L'énergie libre comprend des contributions de la déformation élastique, de la déformation plastique et d'une déformation de ratissage ($\varepsilon_r$) nouvellement introduite. La déformation de ratissage représente un décalage irréversible de l'état de référence élastique dû aux réarrangements microstructuraux.
   • La formulation capture naturellement le comportement asymétrique (traction vs compression) sans décomposition explicite de l'énergie, en s'appuyant plutôt sur l'état des microfissures.

2. Plasticité non associée avec ratissage :

   • Le modèle de plasticité utilise un critère de plasticité de Drucker–Prager non associé pour capturer le comportement frictionnel-dilatant, évitant ainsi la dilatation excessive et irréaliste prédite par les modèles associés.
   • Un tenseur de déformation de ratissage est introduit comme une variable interne qui évolue via une règle de flux non associée. L'évolution est pilotée par le taux de déformation plastique mais s'accumule progressivement au fil des cycles.
   • Le potentiel plastique est formulé pour permettre un contrôle indépendant des composantes de ratissage déviatorique et volumétrique via les paramètres $\beta_\mu$ et $\beta_K$.

3. Dégradation par fatigue :

   • La fatigue est modélisée via une variable d'historique de fatigue ($F$) et une fonction de dégradation ($h(F)$).
   • Deux fonctions de dégradation sont implémentées : une fonction asymptotique et une fonction logarithmique. La dégradation réduit l'énergie de fracture ($G_c$) une fois qu'un seuil ($F_0$) est dépassé.
   • Le modèle distingue les énergies de fracture de Mode I (traction) et de Mode II (cisaillement/compression), en utilisant une fonction smoothstep pour régulariser la transition entre elles.

4. Implémentation numérique :

   • Un schéma de résolution décalé à trois champs est employé pour découpler le système d'équations aux dérivées partielles.
   • L'algorithme résout de manière itérative : (1) le champ de déplacement (équilibre mécanique), (2) le champ de phase de la fissure (évolution des dommages via une approche de champ d'historique), et (3) les déformations plastiques et de ratissage (en utilisant un algorithme de retour de type mapping implicite).

Principales contributions

• Intégration du ratissage : La principale contribution est l'incorporation thermodynamiquement cohérente de la déformation de ratissage dans un modèle de champ de phase basé sur la micromécanique. Cela permet de simuler l'accumulation progressive de déformations inélastiques sous chargement cyclique asymétrique.
• Base micromécanique : Le modèle conserve une structure variationnelle ancrée dans le comportement des microfissures (ouverture vs glissement), fournissant une alternative physique aux décompositions d'énergie purement phénoménologiques.
• Contrôle indépendant des modes de ratissage : La formulation introduit des paramètres spécifiques pour contrôler indépendamment les composantes de ratissage volumétrique et déviatorique, offrant une flexibilité pour modéliser des réponses cycliques complexes.
• Cadre unifié : Le modèle capture simultanément l'évolution des dommages par fatigue, la plasticité cyclique et le ratissage au sein d'un cadre continu unique.

Résultats
Des simulations numériques ont été menées pour valider le modèle sous diverses conditions :

• Flexion trois points monotone et cyclique : Le modèle a reproduit avec succès les courbes force-déplacement expérimentales pour des poutres en béton. Sous chargement cyclique, il a capturé l'initiation des fissures, la propagation stable et la rupture soudaine après un nombre spécifique de cycles (755 cycles dans l'exemple), s'alignant sur le comportement de fatigue observé.
• Fatigue à grand nombre de cycles (élément unique) : Des courbes S-N ont été générées en utilisant des fonctions de dégradation asymptotique et logarithmique. L'étude a mis en évidence la sensibilité de la durée de vie en fatigue prédite à la forme mathématique de la fonction de dégradation, notant particulièrement des comportements inattendus de la formulation logarithmique à des niveaux de déformation élevés.
• Ratissage au point matériel : Des simulations sous chargement cyclique contrôlé en contrainte et contrôlé en déformation ont démontré la capacité du modèle à capturer :
  • La relaxation de contrainte : Sous contrôle de déformation, où l'amplitude de la contrainte diminue au fil des cycles.
  • Le ratissage : Sous contrôle de contrainte, où la déformation s'accumule progressivement à chaque cycle.
  • Le modèle a montré une sensibilité aux paramètres de ratissage ($\beta_K, \beta_\mu$), des valeurs plus élevées entraînant une plus grande accumulation de déformation.
• Éprouvette perforée (fatigue à faible nombre de cycles) : Une éprouvette carrée avec un trou central soumis à des cycles de traction-compression contrôlés en force a démontré la capacité du modèle à simuler les dommages localisés et l'accumulation de déformations inélastiques autour des concentrations de contraintes. Les résultats ont montré une dégradation de la rigidité et une accumulation significative de la déformation de ratissage sur 1000 cycles.

Signification et affirmations
L'article affirme que le cadre proposé offre un outil robuste pour étudier le comportement cyclique des matériaux quasi-fragiles, particulièrement dans les régimes de fatigue à faible nombre de cycles où l'accumulation de déformation inélastique est un mécanisme de rupture dominant. En fondant le modèle sur la micromécanique, il fournit une description plus physiquement motivée des modes de rupture (traction vs cisaillement) par rapport aux approches phénoménologiques conventionnelles. Les auteurs soulignent que le modèle capture efficacement l'interaction entre les dommages par fatigue et la plasticité cyclique, incluant le phénomène critique du ratissage, sans recourir à des décompositions d'énergie heuristiques. Ce travail suggère que de tels modèles peuvent compléter les études expérimentales, réduisant potentiellement le besoin de tests extensifs en fournissant des prédictions précises de la dégradation et de la défaillance des matériaux sous des chemins de chargement complexes. L'étude conclut que le contrôle indépendant des composantes de ratissage et la cohérence thermodynamique de la formulation sont essentiels pour modéliser avec précision la détérioration à long terme des structures quasi-fragiles.