fPINN-DeepONet: A Physics-Informed Operator Learning Framework for Multi-term Time-fractional Mixed Diffusion-wave Equations

ملخص تقني: fPINN-DeepONet لمعادلات الانتشار-الموجة المختلطة متعددة الحدود الزمنية الكسرية

بيان المشكلة
تتناول هذه الورقة البحثية تحدي حل معادلات الانتشار-الموجة المختلطة متعددة الحدود الزمنية الكسرية (TFMDWEs). وتُعد هذه المعادلات تعميماً لمعادلات المعادلات التفاضلية الجزئية ذات الحد الواحد والزمن الكسري (TFPDEs)، وهي ضرورية لنمذجة عمليات الانتشار الشاذ، والتخميد اللزوجي المرن، والحركة تحت الانتشارية في مجالات السرعة. تتضمن المشكلة المحددة معادلات على النحو التالي:
$$\sum_{i=1}^s K_i {}_0^C D_t^{\alpha_i} u(x, t) = \Delta u(x, t) + f(x, t)$$
حيث يمكن أن تتراوح الرتب الكسرية $\alpha_i$ بين 0 و 2، وقد تتضمن المعادلة حدوداً متعددة برتب مختلفة. تواجه الطرق العددية التقليدية (الفروق المحدودة، العناصر المحدودة، الطرق الطيفية) صعوبة في حل هذه المشكلات بسبب الطبيعة غير الموضعية للمشتقات الكسرية، والنمو الأسي في التكلفة الحسابية في السيناريوهات عالية الأبعاد أو متغيرة الرتبة. علاوة على ذلك، تعتمد نهج التعلم العميق الحالية غالباً على تقريبات L1 أو تركز على معادلات أحادية الحد، مما يترك فجوة في التعامل مع المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية (FPDEs) متعددة الحدود ومتغيرة الرتبة بكفاءة.

المنهجية
يقترح المؤلفون إطار عمل fPINN-DeepONet، وهو إطار تعلم عامل فيزيائي مستند إلى الفيزياء يدمج تقريباً عددياً مبتكراً مع بنية شبكة DeepONet.

1. تقريب L2 للمشتقات الكسرية:
   المساهمة العددية الجوهرية هي اشتقاق تقريب L2 للمشتقة الكسرية كابوتو (Caputo) من الرتبة $\beta \in (1, 2)$. يحقق هذا التقريب دقة من الدرجة الأولى. وقد قام المؤلفون بدمج هذا مع تقريب L1 القياسي للرتب $\alpha \in (0, 1)$. تُستخدم هذه التقريبات لتقطيع المشتقات الزمنية الكسرية ضمن دالة الخسارة، مما يسمح للشبكة العصبية بحساب البواقي القائمة على الفيزياء دون الحاجة إلى حلول صريحة قائمة على الشبكات (grid-based solvers) للمصطلحات الكسرية.

2. بنية DeepONet:
   يستخدم إطار العمل بنية DeepONet تتكون من:

• شبكة الفرع (Branch Net): تقوم بتشفير الدالة المدخلة. اعتماداً على نوع المشكلة، يمكن أن يكون هذا المدخل هو حد المصدر $f(x,t)$، أو الشروط الابتدائية، أو دالة الرتبة الكسرية $\alpha(x,t)$ (للمشكلات متغيرة الرتبة). يتم تقطيع هذا المدخل عند مجموعة من نقاط الاستشعار.
• شبكة الجذع (Trunk Net): تعالج الإحداثيات الاستعلامية $(x, t)$ ضمن النطاق الزماني والمكاني.
• المخرج (Output): يقوم الضرب النقطي لمخرجات الفرع والجذع بتقريب عامل الحل $G^\dagger$، الذي يربط الدوال المدخلة بالحل $u(x,t)$.

3. بناء دالة الخسارة:
   هدف التدريب هو تقليل دالة خسارة إجمالية $L = L_{phy} + L_{data}$:

• الخسارة الفيزيائية ($L_{phy}$): تدمج بقايا الـ FPDE الحاكمة، والشروط الابتدائية، والشروط الحدية. ومن الأهمية بمكان أن مصطلحات المشتقة الكسرية في البقايا يتم حسابها باستخدام تقريبات L2/L1 المقترحة المطبقة على مخرجات الشبكة المتوقعة.
• خسارة البيانات ($L_{data}$): تقيس متوسط مربع الخطأ بين الحل المتوقع وبيانات الحقيقة الأرضية المتاحة (إن وجدت).

4. الخوارزميات:
   تفصل الورقة خوارزميتين محددتين:

• الخوارزمية 1: تحل معادلات FPDE ذات الرتب الكسرية الثابتة حيث يكون مدخل شبكة الفرع هو حد المصدر أو الشروط الابتدائية.
• الخوارزمية 2: تحل معادلات FPDE ذات الرتب الكسرية المتغيرة حيث يكون مدخل شبكة الفرع هو دالة الرتبة الكسرية $\alpha(x,t)$، مما يمكّن النموذج من التعميم عبر تكوينات الرتب المختلفة.

المساهمات الرئيسية

• مخطط تقريب مبتكر: اشتقاق ودمج تقريب L2 لمشتقات كابوتو من الرتبة $\beta \in (1, 2)$ في إطار عمل للشبكات العصبية المستندة إلى الفيزياء.
• تعلم العامل لمعادلات FPDE متعددة الحدود: أول تطبيق لـ DeepONet على معادلات الانتشار-الموجة المختلطة متعددة الحدود الزمنية الكسرية، والتي تتعامل مع الرتب الكسرية الثابتة والمتغيرة ضمن إطار عمل موحد.
• تعدد الاستخدامات في أنواع المشكلات: تم إثبات قدرة الإطار على حل المشكلات الأمامية (التنبؤ بالحلول)، والمشكلات العكسية (تحديد الرتب الكسرية)، والتعامل مع الرتب الكسرية غير المستمرة والنطاقات المكانية عالية الأبعاد.
• المتانة: تم اختبار النموذج تحت ظروف البيانات المشوشة، مما أظهر صموداً أمام ضوضاء غاوسية تصل مستوياتها إلى 80%.

النتائج التجريبية
أجرى المؤلفون تجارب عددية مكثفة باستخدام مكتبة PyTorch:

• مشكلات الرتب الثابتة: حقق النموذج دقة عالية لـ FODEs و FPDEs ذات الرتب الثابتة (مثل $\alpha=0.5, \beta=1.5$)، مع أخطاء $L_2$ نسبية منخفضة تصل إلى $10^{-6}$ لمعادلات TFMDWEs.
• مشكلات الرتب المتغيرة: نجح الإطار في تعلم الحلول لمعادلات FPDE حيث تكون الرتبة الكسرية $\alpha$ دالة في الزمن $\alpha(t)$ أو في الزمان والمكان $\alpha(x,t)$. وفي المشكلات العكسية، استعاد بدقة دالة الرتبة الكسرية بأخطاء نسبية حول $10^{-5}$.
• الرتب غير المستمرة: تعامل النموذج بفعالية مع الرتب الكسرية غير المستمرة (دوال الدرجة)، حيث التقط القفزات في دالة الرتبة بخطأ $L_2$ نسبي قدره 0.0014.
• الأبعاد العالية: تم توسيع النهج ليشمل نطاقات مكانية ثنائية الأبعاد (2D)، مما أثبت جدوى التطبيق في معادلات FPDE ذات الأبعاد الأعلى.
• المتانة تجاه الضوضاء: حتى مع إضافة ضوضاء غاوسية بنسبة 20% إلى 80% إلى حد الإثارة، ظل خطأ الاختبار مستقراً حول $10^{-2}$، مما يؤكد متانة النموذج.
• الحساسية للمعلمات الفائقة: أظهرت التجارب أن أخطاء الاختبار تنخفض مع زيادة نقاط البيانات وتحسين عرض وعمق الشبكة، محققة أخطاء تقارب $\sim 10^{-5}$ مع 200×200 نقطة بيانات وعرض شبكة قدره 150.

الأهمية والادعاءات
تدعي الورقة أن fPINN-DeepONet يوفر بديلاً متنوعاً وفعالاً للطرق التقليدية القائمة على الشبكات لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية المعقدة. ومن خلال دمج تقريب L2 مع تعلم العامل، يتغلب الإطار على الاختناقات الحسابية المرتبطة بالطبيعة غير الموضعية للمشتقات الكسرية. ويؤكد المؤلفون أن نهجهم:

1. يتعمم بشكل جيد: يتعامل مع كل من الرتب الكسرية الثابتة والمتغيرة، بما في ذلك الحالات غير المستمرة، دون الحاجة لإعادة تدريب الهيكل بالكامل لكل تكوين رتبة جديد.
2. يقلل من متطلبات البيانات: كمنهج مستند إلى الفيزياء، فإنه يستفيد من المعادلات الحاكمة لتقييد حيز الحل، مما يتطلب نقاط بيانات موسومة أقل مقارنة بالنهج المعتمدة على البيانات فقط.
3. يظل متيناً: يحافظ على الدقة في وجود ضوضاء كبيرة، مما يجعله مناسباً للسيناريوهات الواقعية حيث قد تكون البيانات غير مثالية.

يضع هذا العمل نفسه كخطوة للأمام في التعلم الآلي العلمي، حيث يعالج تحديداً المنطقة غير المستكشفة لدمج تقريبات L2 مع تعلم العامل العميق لمعادلات FPDE متعددة الحدود ومتغيرة الرتبة.