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fPINN-DeepONet: A Physics-Informed Operator Learning Framework for Multi-term Time-fractional Mixed Diffusion-wave Equations

यह शोध पत्र fPINN-DeepONet प्रस्तुत करता है, जो एक नवीन भौतिकी-सूचित गहन ऑपरेटर लर्निंग (physics-informed deep operator learning) ढांचा है, जो कैपुटो (Caputo) भिन्नात्मक अवकलजों (fractional derivatives) के लिए $L_2$ सन्निकटन को ऑपरेटर लर्निंग के साथ जोड़ता है ताकि स्थिर और परिवर्तनीय भिन्नात्मक क्रम वाले बहु-पद समय-भिन्नात्मक मिश्रित विसरण-तरंग समीकरणों (multi-term time-fractional mixed diffusion-wave equations) को शोर युक्त डेटा की उपस्थिति में भी सटीक और सुदृढ़ रूप से हल किया जा सके।

मूल लेखक: Binghang Lu, Zhaopeng Hao, Christian Moya, Guang Lin

प्रकाशित 2026-05-19

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Binghang Lu, Zhaopeng Hao, Christian Moya, Guang Lin

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि कांच के गिलास में पानी के माध्यम से स्याही की एक बूंद कैसे फैलती है। वास्तविक दुनिया में, यह हमेशा एक सहज और अनुमानित प्रक्रिया नहीं होती है। कभी-कभी स्याही सूक्ष्म कणों पर फंस जाती है, झटकों (bursts) में चलती है, या अजीब तरह से धीमी हो जाती है जिसे मानक भौतिकी समीकरण पूरी तरह से नहीं पकड़ पाते। वैज्ञानिक इन प्रक्रियाओं को "असामान्य विसरण" (anomalous diffusion) कहते हैं, और वे इन प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए विशेष, जटिल गणित का उपयोग करते हैं जिसे फ्रैक्शनल इक्वेशंस (fractional equations) कहा जाता है।

समस्या यह है कि इन फ्रैक्शनल इक्वेशंस को हल करना अविश्वसनीय रूप से कठिन है। पारंपरिक कंप्यूटर विधियाँ ऐसी हैं जैसे ज्वार-भाटे की भविष्यवाणी करने के लिए समुद्र तट पर रेत के हर एक कण को गिनने की कोशिश करना—इसमें बहुत समय लगता है और इसके लिए भारी कंप्यूटिंग शक्ति की आवश्यकता होती है।

यह शोध पत्र इन समस्याओं को हल करने के लिए एक नया, स्मार्ट तरीका पेश करता है जिसे fPINN-DeepONet प्रकार के आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस का उपयोग करके बनाया गया है। यह कैसे काम करता है, इसे सरल अवधारणाओं में यहाँ समझाया गया है:

1. "अनुवादक" (मूल विचार)

समस्या को एक भाषा की बाधा के रूप में सोचें। आपके पास नियमों का एक सेट है (समीकरण का भौतिक विज्ञान) और एक विशिष्ट परिदृश्य (जैसे कि एक विशिष्ट शुरुआती तापमान या तरल में एक विशिष्ट "घर्षण" स्तर)। आमतौर पर, आपको हर बार परिदृश्य बदलने पर (जैसे कि घर्षण का स्तर बदलना) शून्य से एक भारी गणना करनी पड़ती है।

लेखकों ने एक डीप ऑपरेटर नेटवर्क (DeepONet) बनाया है। इसे एक सुपर-स्मार्ट अनुवादक के रूप में समझें। एक विशिष्ट वाक्य को एक बार में अनुवाद करने के बजाय, यह पूरी भाषा सीखता है। एक बार प्रशिक्षित होने के बाद, यदि आप इसे एक नया परिदृश्य देते हैं (जैसे कि एक अलग "घर्षण" स्तर), तो यह सब कुछ फिर से गणना किए बिना तुरंत परिणाम की भविष्यवाणी कर देता है। यह केवल एक एकल उत्तर को नहीं, बल्कि "ऑपरेटर", या नियम पुस्तिका को सीखता है।

2. "फिजिक्स जीपीएस" (फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड)

आमतौर पर, एआई को लाखों उदाहरणों की आवश्यकता होती है (जैसे बिल्ली को पहचानने के लिए एक मिलियन बार बिल्ली की तस्वीर दिखाना)। लेकिन विज्ञान में, हमारे पास लाखों डेटा पॉइंट्स नहीं होते हैं।

इसे ठीक करने के लिए, लेखकों ने एआई को "फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड" बनाया। उन्होंने केवल एआई को अनुमान लगाने के लिए नहीं छोड़ा; उन्होंने इसे भौतिकी के नियमों पर आधारित एक जीपीएस (GPS) दिया।

मानचित्र (The Map): एआई ब्रह्मांड के नियमों (समीकरणों) को जानता है।
जांच (The Check): यदि एआई का अनुमान भौतिकी के नियमों को तोड़ता है, तो जीपीएस चिल्लाकर कहता है "गलत!" और एआई को खुद को सुधारने के लिए मजबूर करता है।
परिणाम (The Result): एआई बहुत तेज़ी से और अधिक सटीकता से सीखता है क्योंकि इसे केवल रैंडम अनुमान लगाने के बजाय प्रकृति के नियमों द्वारा निर्देशित किया जाता है।

3. "रूलर" (L2 सन्निकटन/Approximation)

इन समीकरणों में सबसे बड़ी बाधाओं में से एक एक पेचीदा गणितीय हिस्सा है जिसे "फ्रैक्शनल डेरिवेटिव" कहा जाता है। यह एक ऐसे रूलर (पैमाने) से मापने की तरह है जिसमें केवल सीधी धारियाँ हैं, जबकि आपको एक वक्र (curve) को मापना है।

लेखकों ने एक नया, सटीक L2 सन्निकटन (एक कस्टम-मेड, लचीले रूलर के रूप में सोचें) का आविष्कार किया है। यह रूलर एआई को इन पेचीदा वक्रों को सटीक रूप से मापने की अनुमति देता है। उन्होंने इस रूलर को सीधे एआई की प्रशिक्षण प्रक्रिया में बनाया है, ताकि एआई को पता हो कि इन जटिल फ्रैक्शनल गणितीय समस्याओं को कैसे संभालना है।

4. उन्होंने क्या परीक्षण किया (प्रयोग)

टीम ने अपने नए "अनुवादक + जीपीएस + रूलर" सिस्टम को कई परीक्षणों के दौर से गुजारा:

निश्चित नियम (Fixed Rules): उन्होंने उन समस्याओं को हल किया जहाँ "घर्षण" (फ्रैक्शनल ऑर्डर) स्थिर रहता है। एआई अविश्वसनीय रूप से सटीक था।
बदलते नियम (Changing Rules): उन्होंने उन परिदृश्यों का परीक्षण किया जहाँ "घर्षण" समय या स्थान के साथ बदलता है (जैसे कि एक तरल जो कुछ स्थानों पर गाढ़ा और कुछ स्थानों पर पतला होता है)। एआई ने इसे सुचारू रूप से संभाला।
"नियम का अनुमान लगाएं" खेल (Inverse Problems): कभी-कभी हम परिणाम जानते हैं (स्याही कैसे फैली) लेकिन नियम नहीं जानते (घर्षण क्या था)। एआई ने छिपे हुए नियमों को खोजने के लिए सफलतापूर्वक पीछे की ओर काम किया।
शोर वाला डेटा (Noisy Data): उन्होंने डेटा में "स्टैटिक" या शोर जोड़ा, जैसे कि शोर भरे कमरे में बातचीत सुनने की कोशिश करना। 80% शोर के बावजूद, एआई ने सही उत्तर निकाल लिया।
विच्छिन्न उछाल (Discontinuous Jumps): उन्होंने एक नियम का परीक्षण किया जो एक मान से दूसरे मान पर अचानक कूद जाता है (जैसे स्विच का चालू होना)। एआई ने इन उछालों को पूरी तरह से पकड़ा।

निचोड़

लेखकों ने एक ऐसा उपकरण बनाया है जो भौतिकी की समस्याओं के एक बहुत ही कठिन वर्ग के लिए यूनिवर्सल सॉल्वर के रूप में कार्य करता है। भौतिकी के नियमों को सीखने वाले एआई के साथ एक नए गणितीय "रूलर" को जोड़कर, वे जटिल प्रसार प्रक्रियाओं (diffusion processes) की तेजी से और सटीक रूप से भविष्यवाणी कर सकते हैं, भले ही डेटा अव्यवस्थित हो या नियम लगातार बदलते हों।

उन्होंने यह दावा नहीं किया कि यह इस शोध पत्र में बीमारियों का इलाज करता है या शेयर बाजार की भविष्यवाणी करता है; उन्होंने केवल यह सिद्ध किया कि यह नया तरीका इन विशिष्ट, जटिल गणितीय समीकरणों को हल करने के लिए असाधारण रूप से अच्छी तरह से काम करता है जो भौतिक दुनिया में चीजों के चलने और फैलने का वर्णन करते हैं।

तकनीकी सारांश: मल्टी-टर्म टाइम-फ्रैक्शनल मिक्स डिफ्यूजन-वेव इक्वेशन्स के लिए fPINN-DeepONet

समस्या विवरण
यह शोध पत्र मल्टी-टर्म टाइम-फ्रैक्शनल मिक्स डिफ्यूजन-वेव इक्वेशन्स (TFMDWEs) को हल करने की चुनौती को संबोधित करता है। ये समीकरण सिंगल-टर्म टाइम-फ्रैक्शनल पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशन्स (TFPDEs) का सामान्यीकरण करते हैं और विसंगत प्रसार (anomalous diffusion) प्रक्रियाओं, विस्कोइलास्टिक डैम्पिंग और वेलोसिटी फील्ड्स में सब-डिफ्यूसिव मोशन को मॉडल करने के लिए महत्वपूर्ण हैं। विशिष्ट समस्या निम्नलिखित रूप के समीकरणों से संबंधित है:
$\sum_{i=1}^s K_i {}_0^C D_t^{\alpha_i} u(x, t) = \Delta u(x, t) + f(x, t)$
जहाँ फ्रैक्शनल ऑर्डर्स $\alpha_i$ का मान 0 और 2 के बीच हो सकता है, और समीकरण में विभिन्न ऑर्डर्स वाले कई पद शामिल हो सकते हैं। पारंपरिक संख्यात्मक विधियाँ (फाइनाइट डिफरेंस, फाइनाइट एलीमेंट, स्पेक्ट्रल मेथड्स) इन समस्याओं को हल करने में संघर्ष करती हैं क्योंकि फ्रैक्शनल डेरिवेटिव्स की प्रकृति नॉन-लोकल होती है और हाई-डायमेंशनल या वेरिएबल-ऑर्डर परिदृश्यों के लिए कम्प्यूटेशनल लागत तेजी से बढ़ती है। इसके अतिरिक्त, मौजूदा डीप लर्निंग दृष्टिकोण अक्सर L1 एप्रोक्सिमेशन पर निर्भर करते हैं या केवल सिंगल-टर्म इक्वेशन्स पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जिससे मल्टी-टर्म और वेरिएबल-ऑर्डर FPDEs को कुशलतापूर्वक संभालने में एक अंतराल रह जाता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक fPINN-DeepONet का प्रस्ताव करते हैं, जो एक फिजिक्स-इंफॉर्म्ड डीप ऑपरेटर लर्निंग फ्रेमवर्क है जो एक नवीन संख्यात्मक सन्निकटन (numerical approximation) को Deep Operator Network (DeepONet) आर्किटेक्चर के साथ एकीकृत करता है।

फ्रैक्शनल डेरिवेटिव्स के लिए L2 एप्रोक्सिमेशन:
मुख्य संख्यात्मक योगदान $\beta \in (1, 2)$ के क्रम के लिए कैपूटो (Caputo) फ्रैक्शनल डेरिवेटिव के लिए एक L2 एप्रोक्सिमेशन का व्युत्पन्न है। यह प्रथम-क्रम की सटीकता प्राप्त करता है। लेखक इसे $\alpha \in (0, 1)$ के ऑर्डर्स के लिए मानक L1 एप्रोक्सिमेशन के साथ जोड़ते हैं। इन एप्रोक्सिमेशंस का उपयोग टाइम-फ्रैक्शनल डेरिवेटिव्स को लॉस फंक्शन के भीतर विविक्त (discretize) करने के लिए किया जाता है, जिससे न्यूरल नेटवर्क को बिना किसी स्पष्ट ग्रिड-आधारित सॉल्वर के भौतिकी-आधारित रेसिड्यूल (residual) की गणना करने की अनुमति मिलती है।
DeepONet आर्किटेक्चर:
यह फ्रेमवर्क एक DeepONet संरचना का उपयोग करता है जिसमें शामिल हैं:

ब्रान्च नेट (Branch Net): इनपुट फंक्शन को एनकोड करता है। समस्या के प्रकार के आधार पर, यह इनपुट सोर्स टर्म $f(x,t)$ , प्रारंभिक स्थितियाँ (initial conditions), या फ्रैक्शनल ऑर्डर फंक्शन $\alpha(x,t)$ (वेरिएबल-ऑर्डर समस्याओं के लिए) हो सकता है। इनपुट को सेंसर पॉइंट्स के एक सेट पर विविक्त किया जाता है।
ट्रंक नेट (Trunk Net): स्पैटियोटेम्पोरल डोमेन के भीतर क्वेरी कोऑर्डिनेट्स $(x, t)$ को प्रोसेस करता है।
आउटपुट: ब्रान्च और ट्रंक आउटपुट्स का डॉट प्रोडक्ट सॉल्यूशन ऑपरेटर $G^\dagger$ को एप्रोक्सिमेट करता है, जो इनपुट फंक्शन्स को सॉल्यूशन $u(x,t)$ से मैप करता है।

लॉस फंक्शन का निर्माण:
प्रशिक्षण उद्देश्य एक कुल लॉस फंक्शन $L = L_{phy} + L_{data}$ को कम करना है:

फिजिकल लॉस ( $L_{phy}$ ): इसमें गवर्निंग FPDE रेसिड्यूल, प्रारंभिक स्थितियाँ और बाउंड्री कंडीशंस शामिल हैं। महत्वपूर्ण रूप से, रेसिड्यूल में फ्रैक्शनल डेरिवेटिव टर्म्स की गणना प्रस्तावित L2/L1 एप्रोक्सिमेशंस का उपयोग करके नेटवर्क के प्रेडिक्टेड आउटपुट पर की जाती है।
डेटा लॉस ( $L_{data}$ ): उपलब्ध ग्राउंड ट्रुथ डेटा (यदि उपलब्ध हो) और प्रेडिक्टेड सॉल्यूशन के बीच मीन स्क्वेर्ड एरर को मापता है।

एल्गोरिदम:
पेपर दो विशिष्ट एल्गोरिदम का विवरण देता है:

एल्गोरिदम 1: फिक्स्ड फ्रैक्शनल-ऑर्डर FPDEs को हल करता है जहाँ ब्रान्च नेट इनपुट सोर्स टर्म या प्रारंभिक स्थितियाँ होती हैं।
एल्गोरिदम 2: वेरिएबल फ्रैक्शनल-ऑर्डर FPDEs को हल करता है जहाँ ब्रान्च नेट इनपुट फ्रैक्शनल ऑर्डर फंक्शन $\alpha(x,t)$ है, जो मॉडल को विभिन्न ऑर्डर कॉन्फ़िगरेशन में सामान्यीकरण (generalize) करने में सक्षम बनाता है।

प्रमुख योगदान

नवीन एप्रोक्सिमेशन स्कीम: $\beta \in (1, 2)$ के क्रम के लिए कैपूटो डेरिवेटिव के लिए L2 एप्रोक्सिमेशन का व्युत्पत्ति और एक फिजिक्स-इंफॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क फ्रेमवर्क में इसका एकीकरण।
मल्टी-टर्म FPDEs के लिए ऑपरेटर लर्निंग: मल्टी-टर्म टाइम-फ्रैक्शनल मिक्स डिफ्यूजन-वेव इक्वेशन्स के लिए DeepONet का पहला अनुप्रयोग, जो एक एकीकृत फ्रेमवर्क के भीतर फिक्स्ड और वेरिएबल फ्रैक्शनल ऑर्डर्स को संभालता है।
समस्या के प्रकारों में बहुमुखी प्रतिभा: फ्रेमवर्क को फॉरवर्ड प्रॉब्लम्स (सॉल्यूशन प्रेडिक्ट करना), इनवर्स प्रॉब्लम्स (फ्रैक्शनल ऑर्डर्स की पहचान करना), और डिस्कंटीन्यूअस फ्रैक्शनल ऑर्डर्स और हाई-डायमेंशनल स्पैटियल डोमेन को संभालने के लिए टेस्ट किया गया है।
मजबूती (Robustness): मॉडल को नॉइजी डेटा स्थितियों के तहत टेस्ट किया गया है, जो 80% तक के गॉसियन नॉइज़ स्तरों के प्रति लचीलापन प्रदर्शित करता है।

प्रायोगिक परिणाम
लेखकों ने PyTorch लाइब्रेरी का उपयोग करके व्यापक संख्यात्मक प्रयोग किए:

फिक्स्ड ऑर्डर प्रॉब्लम्स: मॉडल ने फिक्स्ड ऑर्डर्स (जैसे $\alpha=0.5, \beta=1.5$ ) के साथ FODEs और FPDEs के लिए उच्च सटीकता प्राप्त की, जिसमें TFMDWEs के लिए रिलेटिव $L_2$ एरर $10^{-6}$ जितना कम था।
वेरिएबल ऑर्डर प्रॉब्लम्स: फ्रेमवर्क ने सफलतापूर्वक उन FPDEs के समाधान सीखे जहाँ फ्रैक्शनल ऑर्डर $\alpha$ समय $\alpha(t)$ या स्पेस-टाइम $\alpha(x,t)$ का एक फंक्शन था। इनवर्स प्रॉब्लम्स में, इसने $10^{-5}$ के रिलेटिव एरर के साथ फ्रैक्शनल ऑर्डर फंक्शन को सटीक रूप से रिकवर किया।
डिस्कंटीन्यूअस ऑर्डर्स: मॉडल ने प्रभावी ढंग से डिस्कंटीन्यूअस फ्रैक्शनल ऑर्डर्स (स्टेप फंक्शन्स) को संभाला, जो 0.0014 के $L_2$ रिलेटिव एरर के साथ ऑर्डर फंक्शन के जंप्स को कैप्चर करता है।
हाई डायमेंशन्स: दृष्टिकोण को 2D स्पैटियल डोमेन में विस्तारित किया गया, जो उच्च-आयामी FPDEs के लिए व्यवहार्यता प्रदर्शित करता है।
नॉइज़ रोबस्टनेस: फोर्सिंग टर्म में 20% से 80% गॉसियन नॉइज़ जोड़ने के बावजूद, टेस्टिंग एरर $10^{-2}$ के आसपास स्थिर रहा, जो मॉडल की मजबूती की पुष्टि करता है।
हाइपरपैरामीटर सेंसिटिविटी: प्रयोगों ने दिखाया कि डेटा पॉइंट्स बढ़ने और नेटवर्क विड्थ/डेप्थ को ऑप्टिमाइज़ करने के साथ टेस्ट एरर कम होता गया, जिससे 200x200 डेटा पॉइंट्स और 150 की नेटवर्क विड्थ के साथ $\sim 10^{-5}$ की एरर प्राप्त हुई।

महत्व और दावे
पेपर का दावा है कि fPINN-DeepONet जटिल फ्रैक्शनल PDEs को हल करने के लिए एक वर्सेटाइल और कुशल विकल्प प्रदान करता है। L2 एप्रोक्सिमेशन को ऑपरेटर लर्निंग के साथ एकीकृत करके, यह फ्रेमवर्क फ्रैक्शनल डेरिवेटिव्स की नॉन-लोकल प्रकृति से जुड़ी कम्प्यूटेशनल बाधाओं को दूर करता है। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनका दृष्टिकोण:

अच्छी तरह से सामान्यीकरण करता है: यह फिक्स्ड और वेरिएबल दोनों फ्रैक्शनल ऑर्डर्स, डिस्कंटीन्यूअस मामलों सहित, को बिना पूरे आर्किटेक्चर को फिर से ट्रेन किए संभालता है।
डेटा आवश्यकताओं को कम करता है: एक फिजिक्स-इंफॉर्म्ड मेथड के रूप में, यह सॉल्यूशन स्पेस को कंस्ट्रेंट करने के लिए गवर्निंग इक्वेशन्स का लाभ उठाता है, जिससे शुद्ध डेटा-संचालित दृष्टिकोणों की तुलना में कम लेबल किए गए डेटा पॉइंट्स की आवश्यकता होती है।
मजबूत बना रहता है: यह महत्वपूर्ण शोर (noise) की उपस्थिति में भी सटीकता बनाए रखता है, जिससे यह वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों के लिए उपयुक्त बनता है जहाँ डेटा अपूर्ण हो सकता है।

यह कार्य वैज्ञानिक मशीन लर्निंग के क्षेत्र में एक कदम है, जो विशेष रूप से मल्टी-टर्म और वेरिएबल-ऑर्डर FPDEs के लिए L2 एप्रोक्सिमेशन को डीप ऑपरेटर लर्निंग के साथ जोड़ने के अनछुए क्षेत्र को संबोधित करता है।

1. "अनुवादक" (मूल विचार)

2. "फिजिक्स जीपीएस" (फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड)

3. "रूलर" (L2 सन्निकटन/Approximation)

4. उन्होंने क्या परीक्षण किया (प्रयोग)

निचोड़

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