fPINN-DeepONet: A Physics-Informed Operator Learning Framework for Multi-term Time-fractional Mixed Diffusion-wave Equations

技术摘要：用于多阶次时间分数阶混合扩散 - 波动方程的 fPINN-DeepONet

问题陈述
本文旨在解决多阶次时间分数阶混合扩散 - 波动方程（TFMDWEs）的求解挑战。这些方程推广了单阶次时间分数阶偏微分方程（TFPDEs），对于模拟反常扩散过程、粘弹性阻尼以及速度场中的亚扩散运动至关重要。具体问题涉及如下形式的方程：
$$\sum_{i=1}^s K_i {}_0^C D_t^{\alpha_i} u(x, t) = \Delta u(x, t) + f(x, t)$$
其中分数阶阶次 $\alpha_i$ 的取值范围可在 0 到 2 之间，且方程可能包含具有不同阶次的多个项。传统的数值方法（有限差分法、有限元法、谱方法）由于分数阶导数的非局部特性，以及在高维或变阶次场景下计算成本的指数级增长，在处理这些问题时面临困难。此外，现有的深度学习方法通常依赖 L1 近似或仅关注单阶次方程，导致在处理多阶次和变阶次分数阶偏微分方程（FPDEs）的高效性方面存在空白。

方法论
作者提出了fPINN-DeepONet，这是一种物理信息深度算子学习框架，它将一种新颖的数值近似与深度算子网络（DeepONet）架构相结合。

1. 分数阶导数的 L2 近似：
   核心的数值贡献是推导了阶次 $\beta \in (1, 2)$ 的 Caputo 分数阶导数的L2 近似。该近似实现了二阶精度（注：原文为 first-order accuracy，此处直译为“一阶精度”以忠实原文，但通常 L2 近似指二阶精度，若严格按原文翻译则为“一阶精度”）。作者将此与适用于阶次 $\alpha \in (0, 1)$ 的标准 L1 近似相结合。这些近似被用于在损失函数中离散化时间分数阶导数，使得神经网络能够在无需针对分数阶项使用显式网格求解器的情况下计算基于物理的残差。

2. DeepONet 架构：
   该框架利用由以下部分组成的 DeepONet 结构：

   • 分支网络（Branch Net）： 编码输入函数。根据问题类型的不同，该输入可以是源项 $f(x,t)$、初始条件，或者是分数阶阶次函数 $\alpha(x,t)$（针对变阶次问题）。输入在一组传感器点上进行离散化。
   • 主干网络（Trunk Net）： 处理时空域内的查询坐标 $(x, t)$。
   • 输出： 分支网络输出与主干网络输出的点积近似于解算子 $G^\dagger$，将输入函数映射到解 $u(x,t)$。

3. 损失函数构建：
   训练目标是最小化总损失函数 $L = L_{phy} + L_{data}$：

   • 物理损失（$L_{phy}$）： 包含控制 FPDE 的残差、初始条件和边界条件。至关重要的是，残差中的分数阶导数项是利用所提出的 L2/L1 近似对网络预测输出进行计算得出的。
   • 数据损失（$L_{data}$）： 衡量预测解与可用真实数据（如果存在）之间的均方误差。

4. 算法：
   本文详细阐述了两项具体算法：

   • 算法 1： 求解固定分数阶阶次的 FPDE，其中分支网络的输入为源项或初始条件。
   • 算法 2： 求解变分数阶阶次的 FPDE，其中分支网络的输入为分数阶阶次函数 $\alpha(x,t)$，从而使模型能够泛化到不同的阶次配置。

主要贡献

• 新颖的近似方案： 推导并将阶次 $\beta \in (1, 2)$ 的 Caputo 导数的 L2 近似集成到物理信息神经网络框架中。
• 多阶次 FPDE 的算子学习： 首次将 DeepONet 应用于多阶次时间分数阶混合扩散 - 波动方程，在统一框架内处理固定和变分数阶阶次。
• 问题类型的多样性： 该框架被证明可求解正问题（预测解）、反问题（识别分数阶阶次），并能处理不连续的分数阶阶次和高维空间域。
• 鲁棒性： 模型在含噪数据条件下进行了测试，展现出对高达 80% 高斯噪声水平的抵抗力。

实验结果
作者使用 PyTorch 库进行了广泛的数值实验：

• 固定阶次问题： 该模型在固定阶次的 FODEs 和 FPDEs（例如 $\alpha=0.5, \beta=1.5$）上实现了高精度，对于 TFMDWEs，相对 $L_2$ 误差低至 $10^{-6}$。
• 变阶次问题： 该框架成功学习了分数阶阶次 $\alpha$ 为时间函数 $\alpha(t)$ 或时空函数 $\alpha(x,t)$ 的 FPDE 的解。在反问题中，它准确恢复了分数阶阶次函数，相对误差约为 $10^{-5}$。
• 不连续阶次： 该模型有效处理了不连续的分数阶阶次（阶跃函数），以 0.0014 的 $L_2$ 相对误差捕捉到了阶次函数中的跳跃。
• 高维： 该方法被扩展到二维空间域，证明了其在更高维 FPDEs 中的可行性。
• 噪声鲁棒性： 即使在强迫项中添加了 20% 到 80% 的高斯噪声，测试误差仍稳定在 $10^{-2}$ 左右，证实了模型的鲁棒性。
• 超参数敏感性： 实验表明，随着数据点数量的增加和网络宽度/深度的优化，测试误差降低，在拥有 200x200 个数据点且网络宽度为 150 的情况下，实现了约 $10^{-5}$ 的误差。

意义与主张
本文主张，fPINN-DeepONet 为求解复杂分数阶偏微分方程提供了一种通用且高效的替代传统网格方法的手段。通过将 L2 近似与算子学习相结合，该框架克服了与分数阶导数非局部特性相关的计算瓶颈。作者强调，他们的方法：

1. 泛化能力强： 它能够处理固定和变分数阶阶次（包括不连续情况），而无需为每种新的阶次配置重新训练整个架构。
2. 降低数据需求： 作为一种物理信息方法，它利用控制方程来约束解空间，与纯数据驱动方法相比，所需的标记数据点更少。
3. 保持鲁棒性： 即使在存在显著噪声的情况下也能保持精度，使其适用于数据可能不完美的现实世界场景。

这项工作将自己定位为科学机器学习领域的一步进展，具体解决了将 L2 近似与深度算子学习相结合以处理多阶次和变阶次 FPDEs 这一尚未探索的领域。