More mutually unbiased bases

في عالم فيزياء الكم الغريب والمنافي للبديهة، تُخزن المعلومات غالباً في اتجاه جسيم ما، تماماً مثل لعبة "البلبل" (spinning top) التي يمكن أن تشير إلى أي اتجاه. وللقراءة هذه المعلومات، يجب على العلماء اختيار طريقة محددة للنظر إليها، وهو خيار يُعرف باسم "أساس القياس". تخيل محاولة وصف اتجاه إبرة البوصلة؛ يمكنك اختيار قياسها مقابل خط شمال-جنوب أو خط شرق-غرب. في عالم الكم، لا تقتست هذه الخيارات مجرد زوايا مختلفة، بل هي طرق متميزة جوهرياً لرؤية الحقيقة ذاتها. وتُسمى مجموعة قوية بشكل خاص من هذه الخيارات بـ "القواعد المتبادلة غير المنحازة" (mutually unbiased bases). وفي مثل هذه المجموعة، إذا كنت متأكداً تماماً من نتيجة قياس في اتجاه ما، فإنك لا تحصل على أي معلومات على الإطلاق حول ما ستكون عليه النتيجة إذا قمت بالقياس في أي من الاتجاهات الأخرى. تصبح النتائج عشوائية تماماً، مثل رمي العملة المعدنية، بغض النظر عن مدى تأكدك من قبل. وهذا النقص التام في انتقال المعلومات ليس خللاً بل هو ميزة، حيث يشكل حجر الزاويد للأمن في التشفير الكمي ويسمح للعلماء بإعادة بناء الحالة الكاملة للنظام الكمي بكفاءة عالية.

لعقود من الزمن، عرف الفيزيائيون كيفية إيجاد الحد الأقصى لعدد مجموعات القياس الخاصة هذه عندما يكون حجم النظام قوة لعدد أولي، مثل أربعة، ثمانية، أو تسعة. ومع ذلك، بالنسبة للأحجام التي لا تتناسب مع هذا النمط، مثل ستة أو اثني عشر، ظل الجواب لغزاً مستعصياً. تشير القاعدة العامة إلى أن عدد هذه المجموعات يجب أن يكون محدوداً بأصغر عامل أولي لحجم النظام، لكن الباحثين اشتبهوا لفترة طويلة في أن هذا الحد قد يُكسر في حالات معينة. إن مسألة معرفة عدد هذه المجموعات في هذه الأبعاد "الصعبة" هي واحدة من أهم المشكلات المفتوحة في علم المعلومات الكمية، وتعتبر حالة البعد ستة هي اللغز الأكثر شهرة غير المحلول.

تقدم دراسة جديدة أجراها ماتيو كاردينيس ووتيج وجوزيف تيندال نهجاً جديداً لهذه المشكلة، حيث قامت ببناء المزيد من مجموعات القياس هذه في مجموعة واسعة من الأبعاد. طور الباحثون طريقة تعامل مع المشكلة كبحث عن أنماط محددة من الأرقام، أو "الأطوار" (phases)، التي يمكن وضع طبقات منها فوق بنية رياضية ثابتة. وبدلاً من محاولة بناء هذه المجموعات من الصفر، بدأوا بإطار عمل صلب معروف مكون من "مصفوفات فوريه" (Fourier matrices)، وهي أدوات لتحليل الموجات، ثم طبقوا طبقة مرنة من تعديلات الطور. ووجدوا أنه من خلال ضبط هذه التعديلات بعناية، استطاعوا توليد مجموعات جديدة وصحيحة من القواعد المتبادلة غير المنحازة كانت قد غابت عن الطرق السابقة.

النتائج ملموسة وفورية. ففي البعد اثني عشر، وهو حجم طالما قاوم الحلول البسيطة، تمكن الفريق من بناء مجموعة من خمس قواعد متبادلة غير منحازة، متجاوزين الحد السابق البالغ أربعة. كما وجدوا مكاسب أكبر في أبعاد أخرى، حيث بنوا ست مجموعات في أبعاد 48 و96 و192، وسبع مجموعات في أبعاد 36 و108. وفي البعد الكبير بشكل خاص 648، تمكنوا من بناء عشر مجموعات. هذه الأرقام ليست مجرد احتمالات نظرية؛ فقد قدم المؤلفون الوصف الرياضي الصريح لهذه المجموعات، مما يثبت وجودها وعملها كما هو مخطط لها.

إن قوة هذا المنهج تمتد إلى ما وراء هذه الأرقات المحددة. فقد أظهر الباحثون أن نهجهم يمكن دمجه مع نوع خاص من الشبكات يُعرف باسم "مصفوفة هادامارد الحقيقية" (real Hadamard matrix)، والتي تعمل كنمط متوازن تماماً من الإشارات الموجبة والسالبة. ومن خلال دمج هذه الشبكات، اكتشفوا طريقة لبناء عدد من القواعد ينمو مع الجذر التربيعي للبعد. وفي حالة محددة تتعلق ببعد قدره 756، أنتج منهجهم ثمانية وعشرين مجموعة، وهو ما يتجاوز بكثير الحد القياسي البالغ خمسة. هذا النمط من النمو مهم لأن هذا لا يمكن تحقيقه ببساطة عن طريق دمج مجموعات أصغر معروفة من القواعد، وهي التقنية التي كانت الأداة الرئيسية لتوسيع هذه الأعداد في الماضي.

تصل تداعيات هذه النتائج إلى المختبر. إن القدرة على إثبات "التشابك الكمي" (quantum entanglement)، حيث تظل الجسيمات مرتبطة عبر مسافات شاسعة، تعتمد غالباً على امتلاك اتجاهات قياس مختلفة بما يكفي لاختبار هذا الارتباط. وفي البعد اثني عشر، الذي يمكن تحقيقه مادياً باستخدام الفوتونات التي تنتقل عبر رقائق السيليكون، يعني اكتشاف خمس قواعد متبادلة غير منحازة أن التجريبيين يمكنهم الآن إجراء اختبارات أكثر قوة للتشابك مما كان ممكناً من قبل. هذا ليس تمريناً نظرياً بل هو ترقية عملية للأجهزة الموجودة، مما يسمح باتصالات أكثر أماناً واستشعار كمي أكثر موثوقية.

على الرغم من أن الدراسة لا تحل المشكلة الأكثر شهرة المتعلقة بالبعد ستة، إلا أنها تثبت أن الحدود المعروفة للعديد من الأبعاد الأخرى لم تكن صارمة كما كان يُعتقد سابقاً. لم يكتفِ المؤلفون باقتراح أن هذه المجموعات قد توجد، بل قاموا ببنائها صراحةً، مقدمين الصيغ الرياضية الدقيقة اللازمة لتوليدها. ومن خلال إظهار أنه يمكن العثور على هذه المجموعات في ثمانية عشر بعداً لكل رقم كبير، يشير العمل إلى أن مشهد القياسات الكمية أغنى وأكثر تنوعاً مما توقعت القواعد القديمة. وتؤكد الدراسة أنه باستخدام نهج بسيط ومنظم لوضع طبقات من الأنماط فوق الأسس الرياضية المعروفة، يمكن للعلماء الكشف عن طرق جديدة لقياس وفهم العالم الكمي، ودفع حدود الممكن في التكنولوجيا الكمية.