More mutually unbiased bases

क्वांटम भौतिकी की विचित्र और प्रति-सहज दुनिया में, सूचना अक्सर एक कण के ओरिएंटेशन (अभिविन्यास) में संग्रहीत होती है, ठीक वैसे ही जैसे एक घूमता हुआ लट्टू जो किसी भी दिशा में संकेत कर सकता है। इस सूचना को पढ़ने के लिए, वैज्ञानिकों को इसे देखने का एक विशिष्ट तरीका चुनना होता है, जिसे 'मेजरमेंट बेसिस' (मापन आधार) के रूप में जाना जाता है। कल्पना कीजिए कि आप एक दिशा-सूचक यंत्र (कम्पास) की सुई की दिशा का वर्णन करने का प्रयास कर रहे हैं; आप इसे उत्तर-दक्षिण रेखा के विरुद्ध या पूर्व-पश्चिम रेखा के विरुद्ध मापने का विकल्प चुन सकते हैं। क्वांटम क्षेत्र में, ये विकल्प केवल अलग-अलग कोण नहीं हैं, बल्कि एक ही वास्तविकता को देखने के मौलिक रूप से भिन्न तरीके हैं। इन विकल्पों के एक विशेष शक्तिशाली समूह को 'म्यूचुअली अनबायस्ड बेसिस' (परस्पर निष्पक्ष आधार) कहा जाता है। ऐसे सेट में, यदि आप एक दिशा में माप के परिणाम के बारे में पूरी तरह से आश्वस्त हैं, तो आपको उस बारे में कोई जानकारी प्राप्त नहीं होगी कि यदि आप अन्य दिशाओं में से किसी एक में माप करते तो परिणाम क्या होता। परिणाम पूरी तरह से यादृच्छिक (रैंडम) हो जाते हैं, जैसे कि एक सिक्के का उछाल, चाहे आप पहले कितने भी आश्वस्त क्यों न रहे हों। सूचना का यह पूर्ण अभाव कोई दोष नहीं बल्कि एक विशेषता है, जो सुरक्षित क्वांटम क्रिप्टोग्राफी का आधार बनाती है और वैज्ञानिकों को उच्च दक्षता के साथ एक क्वांटम प्रणाली की पूर्ण अवस्था को पुनर्गठित करने की अनुमति देती है।

दशकों से, भौतिकविदों को यह पता है कि जब सिस्टम का आकार एक अभाज्य संख्या (प्राइम नंबर) की घात होता है, जैसे कि चार, आठ, या नौ, तो इन विशेष मापन सेटों की अधिकतम संख्या कैसे ज्ञात की जाए। हालाँकि, उन आकारों के लिए जो इस पैटर्न में फिट नहीं होते, जैसे कि छह या बारह, उत्तर एक जिद्दी रहस्य बना हुआ है। सामान्य नियम बताता है कि इन सेटों की संख्या सिस्टम के आकार के सबसे छोटे अभाज्य कारक द्वारा सीमित होनी चाहिए, लेकिन शोधकर्ताओं को लंबे समय से संदेह था कि यह सीमा कुछ मामलों में टूट सकती है। इन "कठिन" आयामों में कितने ऐसे सेट मौजूद हैं, यह प्रश्न क्वांटम सूचना विज्ञान के सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझे प्रश्नों में से एक है, जिसमें आयाम छह वाला मामला सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी पहेली है।

माटेओ कार्डेनेस वुटिग और जोसेफ टिंडल का एक नया अध्ययन इस समस्या के लिए एक नया दृष्टिकोण प्रस्तुत करता है, जो विभिन्न आयामों में पहले से ज्ञात तुलना में अधिक मापन सेटों का निर्माण करता है। शोधकर्ताओं ने एक ऐसी विधि विकसित की जो इस समस्या को संख्याओं के विशिष्ट पैटर्न, या 'फेज' (कला) की खोज के रूप में देखती है, जिन्हें एक निश्चित गणितीय संरचना पर परत के रूप में लगाया जा सकता है। इन सेटों को शून्य से बनाने के बजाय, उन्होंने फूरियर मैट्रिसेस (वेव विश्लेषण के उपकरण) से बने एक ज्ञात, कठोर ढांचे से शुरुआत की और फिर फेज समायोजन की एक लचीली परत लागू की। उन्होंने पाया कि इन समायोजनों को सावधानीपूर्वक ट्यून करके, वे नए, वैध 'म्यूचुअली अनबायस्ड बेसिस' उत्पन्न कर सकते थे जिन्हें पिछली विधियों द्वारा छोड़ दिया गया था।

परिणाम ठोस और तत्काल हैं। बारह के आयाम में, एक ऐसा आकार जिसने लंबे समय तक सरल समाधानों का विरोध किया है, टीम ने पांच परस्पर निष्पक्ष आधारों का एक सेट बनाया, जो पिछले चार की सीमा से अधिक है। उन्होंने अन्य आयामों में भी बड़े लाभ देखे, आयाम 48, 96 और 192 में छह सेटों का निर्माण किया, और आयाम 36 और 108 में सात सेटों का निर्माण किया। विशेष रूप से बड़े आयाम 648 में, वे दस सेट बनाने में सफल रहे। ये संख्याएँ केवल सैद्धांतिक संभावनाएँ नहीं हैं; लेखकों ने इन सेटों के स्पष्ट गणितीय विवरण प्रदान किए हैं, जो यह सिद्ध करते हैं कि वे अस्तित्व में हैं और इच्छित रूप से कार्य करते हैं।

इस पद्धति की शक्ति इन विशिष्ट संख्याओं से परे तक विस्तृत है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि उनके दृष्टिकोण को एक विशेष प्रकार के ग्रिड के साथ जोड़ा जा सकता है जिसे 'रियल हैडामार्ड मैट्रिक्स' कहा जाता है, जो प्लस और माइनस के एक पूर्णतः संतुलित पैटर्न की तरह कार्य करता है। इन ग्रिडों को एकीकृत करके, उन्होंने ऐसे आधारों की संख्या निर्मित करने का एक तरीका खोजा जो आयाम के वर्गमूल के साथ बढ़ती है। सात सौ छह के एक विशिष्ट मामले में, उनकी विधि ने अट्ठाईस सेटों का उत्पादन किया, जो मानक सीमा पाँच से कहीं अधिक है। यह विकास पैटर्न महत्वपूर्ण है क्योंकि इसे छोटे, ज्ञात बेसिस सेटों को जोड़ने की प्रक्रिया से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, जो अतीत में इन संख्याओं के विस्तार के लिए प्राथमिक उपकरण था।

इन निष्कर्षों के निहितार्थ प्रयोगशाला तक पहुँचते हैं। क्वांटम एंटैंगलमेंट (उलझाव) को प्रमाणित करने की क्षमता, जहाँ कण विशाल दूरियों तक जुड़े रहते हैं, अक्सर कनेक्शन का परीक्षण करने के लिए पर्याप्त अलग-अलग मापन दिशाओं के होने पर निर्भर करती है। बारह के आयाम में, जो सिलिकॉन चिप्स के माध्यम से यात्रा करने वाले फोटोन का उपयोग करके भौतिक रूप से साकार किया जा सकता है, पांच परस्पर निष्पक्ष आधारों की खोज का अर्थ है कि अब प्रयोगकर्ता पहले की तुलना में अधिक मजबूत एंटैंगलमेंट परीक्षण कर सकते हैं। यह केवल एक सैद्धांतिक अभ्यास नहीं है बल्कि मौजूदा हार्डवेयर के लिए एक व्यावहारिक अपग्रेड है, जो अधिक सुरक्षित संचार और अधिक विश्वसनीय क्वांटम सेंसिंग की अनुमति देता है।

हालाँकि यह अध्ययन छह के आयाम से संबंधित सबसे प्रसिद्ध अनसुलझे प्रश्न को हल नहीं करता है, लेकिन यह प्रदर्शित करता है कि कई अन्य आयामों के लिए ज्ञात सीमाएँ उतनी कठोर नहीं थीं जितनी पहले मानी जाती थीं। लेखकों ने केवल यह सुझाव नहीं दिया कि ये सेट मौजूद हो सकते हैं; उन्होंने उन्हें स्पष्ट रूप से निर्मित किया, जिससे इन सेटों को उत्पन्न करने के लिए आवश्यक सटीक गणितीय सूत्र प्राप्त हुए। यह दिखाकर कि इन सेटों को प्रत्येक बड़ी संख्या के लिए अठारह विभिन्न आयामों में पाया जा सकता है, यह कार्य सुझाव देता है कि क्वांटम मापन का परिदृश्य पुराने नियमों की तुलना में अधिक समृद्ध और विविध है। अध्ययन पुष्टि करता है कि ज्ञात गणितीय आधारों पर पैटर्न की परतों के लिए एक सरल, संरचित दृष्टिकोण का उपयोग करके, वैज्ञानिक क्वांटम दुनिया को मापने और समझने के नए तरीके खोज सकते हैं, जिससे क्वांटम तकनीक की संभावनाओं की सीमाओं को आगे बढ़ाया जा सके।