More mutually unbiased bases

Nel strano e controintuitivo mondo della fisica quantistica, l'informazione è spesso memorizzata nell'orientamento di una particella, molto simile a una trottola che può puntare in qualsiasi direzione. Per leggere questa informazione, gli scienziati devono scegliere un modo specifico per osservarla, una scelta nota come base di misurazione. Immaginate di cercare di descrivere la direzione di un ago di una bussola; potreste scegliere di misurarlo rispetto a una linea nord-sud o a una linea est-ovest. Nel regno quantistico, queste scelte non sono solo angoli diversi, ma modi fondamentalmente distinti di vedere la stessa realtà. Un insieme particolarmente potente di queste scelte è chiamato basi mutuamente non correlate (mutually unbiased bases). In un tale insieme, se siete assolutamente certi del risultato di una misurazione in una direzione, non ottenete assolutamente alcuna informazione su quale sarebbe il risultato se misuraste in qualsiasi altra direzione. Gli esiti diventano completamente casuali, come il lancio di una moneta, indipendentemente da quanto foste sicuri in precedenza. Questa totale mancanza di trasferimento di informazioni non è un difetto ma una caratteristica, che costituisce la base della crittografia quantistica sicura e permette agli scienziati di ricostruire lo stato completo di un sistema quantistico con alta efficienza.

Per decenni, i fisici hanno saputo come trovare il numero massimo di questi speciali insiemi di misurazione quando la dimensione del sistema è una potenza di un numero primo, come quattro, otto o nove. Tuttavia, per le dimensioni che non seguono questo schema, come sei o dodici, la risposta è rimasta un ostinato mistero. La regola generale suggerisce che il numero di questi insiemi dovrebbe essere limitato dal più piccolo fattore primo della dimensione del sistema, ma i ricercatori sospettavano da tempo che questo limite potesse essere superato in certi casi. La questione di quanti tali insiemi esistano in queste dimensioni "difficili" è uno dei problemi più significanti e aperti nella scienza dell'informazione quantistica, con il caso della dimensione sei che rappresenta il puzzle irrisolto più famoso.

Un nuovo studio di Mateo Cárdenes Wuttig e Joseph Tindall offre un approccio fresco a questo problema, costruendo più di questi insiemi di misurazione di quanti ne fossero noti in una vasta gamma di dimensioni. I ricercatori hanno sviluppato un metodo che tratta il problema come una ricerca di specifici schemi di numeri, o fasi, che possono essere stratificati su una struttura matematica fissa. Invece di cercare di costruire questi insiemi da zero, sono partiti da un quadro rigido e noto fatto di matrici di Fourier, che sono strumenti per analizzare le onde, e poi hanno applicato uno strato flessibile di aggiustamenti di fase. Hanno scoperto che, regolando attentamente questi aggiustamenti, potevano generare nuovi insiemi validi di basi mutuamente non correlate che erano stati trascurati dai metodi precedenti.

I risultati sono concreti e immediati. Nella dimensione dodici, una dimensione che ha a lungo resistito a soluzioni semplici, il team ha costruito un insieme di cinque basi mutuamente non correlate, superando il limite precedente di quattro. Hanno riscontrato guadagni ancora maggiori in altre dimensioni, costruendo sei insiemi nelle dimensioni quarantaotto, novantasei e centonovantadue, e sette insiemi nelle dimensioni trentasei e centodeciotto. Nella dimensione particolarmente grande di seicentoquarantotto, sono riusciti a costruire dieci insiemi. Questi numeri non sono solo possibilità teoriche; gli autori hanno fornito le descrizioni matematiche esplicite per questi insiemi, provando che esistono e funzionano come previsto.

La potenza di questo metodo si estende oltre questi numeri specifici. I ricercatori hanno dimostrato che il loro approccio può essere combinato con un tipo speciale di griglia noto come matrice di Hadamard reale, che agisce come un modello perfettamente bilanciato di segni più e meno. Integrando queste griglie, hanno scoperto un modo per costruire un numero di basi che cresce con la radice quadrata della dimensione. In un caso specifico che coinvolge una dimensione di settecentocinquantasei, il loro metodo ha prodotto ventotto insiemi, superando di gran lunga il limite standard di cinque. Questo schema di crescita è significativo perché non può essere ottenuto semplicemente combinando insiemi più piccoli di basi note, una tecnica che è stata lo strumento principale per espandere questi numeri in passato.

Le implicazioni di queste scoperte raggiungono il laboratorio. La capacità di certificare l'entanglement quantistico, dove le particelle rimangono legate attraverso vaste distanze, dipende spesso dall'avere abbastanza diverse direzioni di misurazione per testare la connessione. Nella dimensione dodici, che può essere realizzata fisicamente utilizzando fotoni che viaggiano attraverso chip di silicio, la scoperta di cinque basi mutuamente non correlate significa che gli sperimentali possono ora eseguire test di entanglement più robusti rispetto al passato. Questa non è un'esercitazione teorica, ma un aggiornamento pratico per l'hardware esistente, consentendo comunicazioni più sicure e sensori quantistici più affidabili.

Sebbene lo studio non risolva il problema aperto più famoso riguardante la dimensione sei, dimostra che i limiti noti per molte altre dimensioni non erano così rigidi come si pensava. Gli autori non si sono limitati a suggerire che questi insiemi potrebbero esistere; li hanno costruiti esplicitamente, fornendo le formule matematiche esatte necessarie per generarli. Mostrando che questi insiemi possono essere trovati in diciotto diverse dimensioni per ogni grande numero, il lavoro suggerisce che il panorama delle misurazioni quantistiche è più ricco e vario di quanto previsto dalle vecchie regole. Lo studio conferma che usando un approccio semplice e strutturato per stratificare schemi su fondamenta matematiche note, gli scienziati possono scoprire nuovi modi per misurare e comprendere il mondo quantistico, spingendo i confini di ciò che è possibile nella tecnologia quantistica.