More mutually unbiased bases

In de vreemde en contra-intuïtieve wereld van de kwantumfysica wordt informatie vaak opgeslagen in de oriëntatie van een deeltje, vergelijkbaar met een tol die in elke willekeurige richting kan wijzen. Om deze informatie te lezen, moeten wetenschappers een specifieke manier kiezen om ernaar te kijken, een keuze die bekend staat als een meetbasis. Stel je voor dat je probeert de richting van een kompasnaald te beschrijven; je zou de naald kunnen meten tegen een noord-zuidlijn of tegen een oost-westlijn. In de kwantumwereld zijn deze keuzes niet alleen verschillende hoeken, maar fundamenteel verschillende manieren om dezelfde realiteit te zien. Een bijzonder krachtige set van deze keuzes wordt onderling onafhankelijke basisen (mutually unbiased bases) genoemd. In een dergelijke set, als je absoluut zeker bent over het resultaat van een meting in één richting, verkrijg je absoluut geen informatie over wat het resultaat zou zijn als je in een andere richting zou meten. De uitkomsten worden volledig willekeurig, zoals een muntworp, ongeacht hoe zeker je daarvoor ook was. Dit totale gebrek aan informatieoverdracht is geen gebrek maar een kenmerk, dat het fundament vormt van veilige kwantumcryptografie en wetenschappers in staat stelt om de volledige toestand van een kwantumsysteem met hoge efficiëntie te reconstrueren.

Decennialang wisten natuurkundigen hoe ze het maximale aantal van deze speciale meetsets konden vinden wanneer de grootte van het systeem een macht van een priemgetal is, zoals vier, acht of negen. Echter, voor grootten die niet aan dit patroon voldoen, zoals zes of twaalf, bleef het antwoord een hardnekkig mysterie. De algemene regel suggereert dat het aantal van deze sets beperkt zou moeten worden door de kleinste priemfactor van de grootte van het systeem, maar onderzoekers vermoedden al lang dat deze limiet in bepaalde gevallen doorbroken zou kunnen worden. De vraag hoeveel van dergelijke sets er bestaan in deze "moeilijke" dimensies is een van de meest significante openstaande problemen in de kwantuminformatiewetenschap, waarbij het geval van dimensie zes het bekendste onopgeloste vraagstuk is.

Een nieuwe studie door Mateo Cárdenes Wuttig en Joseph Tindall biedt een frisse aanpak voor dit probleem, door meer van deze meetsets te construeren dan voorheen bekend waren in een breed scala aan dimensies. De onderzoekers ontwikkelden een methode die het probleem behandelt als een zoektocht naar specifieke patronen van getallen, of fasen, die op een vaste wiskundige structuur kunnen worden toegepast. In plaats van te proberen deze sets vanaf nul op te bouwen, begonnen ze met een bekende, rigide structuur gemaakt van Fourier-matrices, die instrumenten zijn voor het analyseren van golven, en pasten ze vervolgens een flexibele laag van fase-aanpassingen toe. Ze ontdekten dat ze door deze aanpassingen zorgvuldig af te stemmen, nieuwe, geldige sets van onderling onafhankelijke basisen konden genereren die door eerdere methoden waren gemist.

De resultaten zijn concreet en onmiddellijk. In de dimensie twaalf, een grootte die lang weerstand heeft geboden aan eenvoudige oplossingen, construeerde het team een set van vijf onderling onafhankelijke basisen, waarmee zij de vorige limiet van vier overtroffen. Ze vonden zelfs grotere winsten in andere dimensies, waarbij ze zes sets construeerden in dimensies veertig-acht, negen-zes en honderd tweeën-negentig, en zeven sets in dimensies zesendertig en honderd acht. In de bijzonder grote dimensie zeshonderd achtenveertig slaagden ze erin tien sets te construeren. Deze getallen zijn niet slechts theoretische mogelijkheden; de auteurs leverden de expliciete wiskundige beschrijvingen voor deze sets, waarmee ze bewezen dat ze bestaan en werken zoals bedoeld.

De kracht van deze methode strekt zich uit voorbij deze specifieke getallen. De onderzoekers toonden aan dat hun aanpak gecombineerd kan worden met een speciaal type rooster dat bekend staat als een reële Hadamard-matrix, die fungeert als een perfect gebalanceerd patroon van plusjes en minnetjes. Door deze roosters te integreren, ontdekten ze een manier om een aantal basisen te construeren dat groeit met de vierkantswortel van de dimensie. In één specifiek geval met een dimensie van zevenhonderd zesentachtig, produceerde hun methode achtentwintig sets, wat de standaardlimiet van vijf ver overstijgt. Dit groeipatroon is significant omdat het niet bereikt kan worden door simpelweg kleinere, bekende sets van basisen te combineren, een techniek die in het verleden de primaire tool was om deze aantallen uit te breiden.

De implicaties van deze bevindingen bereiken het laboratorium. Het vermogen om kwantumverstrengeling te certificeren, waarbij deeltjes verbonden blijven over grote afstanden, rust vaak op het hebben van genoeg verschillende meetrichtingen om de verbinding te testen. In de dimensie twaalf, die fysiek gerealiseerd kan worden met fotonen die door siliciumchips reizen, betekent de ontdekking van vijf onderling onafhankelijke basisen dat experimentatoren nu robuustere tests van verstrengeling kunnen uitvoeren dan voorheen. Dit is geen theoretische oefening, maar een praktische upgrade voor bestaande hardware, wat zorgt voor veiligere communicatie en meer betrouwbare kwantumsensoren.

Hoewel de studie het beroemdste openstaande probleem met betrekking tot dimensie zes niet oplost, demonstreert het dat de bekende limieten voor veel andere dimensies niet zo rigide waren als voorheen werd aangenomen. De auteurs suggereerden niet enkel dat deze sets zouden kunnen bestaan; ze construeerden ze expliciet, waarbij ze de exacte wiskundige formules leverden die nodig zijn om ze te genereren. Door aan te tonen dat deze sets in achttien verschillende dimensies voor elk groot getal gevonden kunnen worden, suggereert het werk dat het landschap van kwantummetingen rijker en gevarieerder is dan de oude regels voorspelden. De studie bevestigt dat door een eenvoudige, gestructureerde aanpak te gebruiken om patronen op bekende wiskundige fundamenten te leggen, wetenschappers nieuwe manieren kunnen ontdekken om de kwantumwereld te meten en te begrijpen, waardoor de grenzen van wat mogelijk is in kwantumtechnologie worden verlegd.