Fixed Point Results in Non-Linear (Θ, ℜm)-Rational type Contractive Mappings with Application in Fractional Differential Equations

غالبًا ما تبدو الرياضيات كأنها بحث عن النظام في عالم فوضوي، وسيلة للتنبؤ بمكان استقرار الأشياء عندما تتعرض للدفع أو السحب أو التغيير. وفي قلب هذا البحث تكمن فكرة قوية تُعرف باسم "النقطة الثابتة". تخيل خريطة لمدينة موضوعة على الأرض الفعلية التي تمثلها؛ فمهما قمت بتجعيد الورقة أو تحريكها قليلاً، ستظل هناك دائمًا نقطة واحدة على الأقل في الخريطة تقع مباشرة فوق الموقع الدقيق الذي تصفه. هذه النقطة هي النقطة الثابتة. في العالم الحقيقي، تساعد هذه الفكرة العلماء في فهم كل شيء، بدءًا من استقرار الجسور وصولاً إلى سلوك الاقتصادات. ومع ذلك، فإن العديد من مشكلات العالم الحقيقي، لا سيما تلك التي تنطوي على تغيير بمرور الوقت لا يكون سلسًا أو خطيًا تمامًا، هي أكثر تعقيدًا من الأدوات الرياضية القياسية المستخدمة لإيجاد هذه النقاط؛ إذ تعتمد هذه الأدوات غالبًا على قواعد صارمة حول المسافة والشكل، وهي قواعد تنهار عندما يصبح الموقف فوضويًا أو غير منتظم.

ولمعالجة هذه المشكلات الصعبة، أمضى الباحثون عقودًا في ابتكار أنواع جديدة من الفضاءات الرياضية—وهي بيئات تجريدية لها قواعدها الفريدة لقياس المسافة والاتصال. أحد هذه الابتكارات هو "الفضاء المتري" (metric space)، وهو إطار يعمم كيفية قياس الفجوة بين شيئين. وفي الآونة الأخيرة، طور الرياضيون نسخًا أكثر مرونة، مثل "فضاءات م-المتري" (m-metric spaces)، التي تسمح بهامش أكبر من الحرية في حساب المسافة، و"الفضاءات القائمة على العلاقات" (relation-based spaces)، التي تركز على ما إذا كان شيئان متصلين بطريقة معينة بدلاً من مجرد مدى بعدهما عن بعضهما البعض. هذه الأطر المتقدمة ضرورية لنمذجة الأنظمة المعقدة حيث لا تنطبق القواعد الهندسية المعتادة، كما هو الحال في دراسة المعادلات التفاضلية الكسرية. تصف هذه المعادلات عمليات تتطور بطريقة "كسرية"، مما يعني أن تغيرها ليس لحظيًا تمامًا ولا تدريجيًا تمامًا، بل شيء بينهما، مثل الطريقة التي تنتشر بها الحرارة عبر مادة ما أو كيف يمكن لفيروس أن ينتشر عبر مجموعة سكانية.

في دراسة حديثة، سعى فريق من الرياضيين من جامعات في باكستان وجنوب أفريقيا والسعودية إلى توسيع مجموعة الأدوات المتاحة لحل هذه المعادلات المعقدة. يركز عملهم على نوع محدد من التعيينات الرياضية يسمى "التعيين الانكماشي العقلاني من النوع (Θ, ℜm) غير الخطي". ورغم أن الاسم قد يبدو معقدًا، إلا أن المفهوم يدور حول إيجاد طريقة لضمان وجود حل وكونه فريدًا، حتى عندما تكون قواعد الفضاء الرياضي متساهلة وتُحدد العلاقات بين النقاط بمجموعة محددة من الاتصالات بدلاً من المسافة فقط. قدم الباحثون طريقة جديدة للتفكير في هذه التعيينات ضمن "فضاءات م-المتري القائمة على نظرية العلاقات". في هذه الفضاءات، تكون البيئة كاملة بما يكفي لضمان إمكانية إيجاد حل، لكنها ليست بالضرورة كاملة بالمعنى التقليدي الأكثر صرامة. هذا التمييز أمر بالغ الأهمية لأنه يسمح للرياضيات بالتعامل مع سيناريوهات كانت سابقًا شديدة عدم الانتظام بحيث يصعب حلها.

أثبت الفريق أنه تحت ظل هذه الشروط الجديدة والأكثر مرونة، فإن وجود نقطة ثابتة أمر مضمون. فقد أظهروا أنه إذا بدأت بنقطة معينة واتبعت قواعد هذا التعيين الجديد، فإن تسلسل النقاط الذي ستولده سيستقر في النهاية عند موقع واحد مستقر. هذه النتيجة مهمة لأنها توحد وتوسع العديد من النتائج السابقة، حيث تجمع بين مناهج مختلفة كانت تُعامل سابقًا كمسارات منفصلة. لم يتوقف الباحثون عند الجانب النظري؛ بل طبقوا نتائجهم الجديدة على مشكلة عملية: إيجاد حلول للمعادلات التفاضلية الكسرية غير الخطية ذات الشروط الحدية التكاملية. هذه المعادلات تصف أنظمة يعتمد فيها حال نقطة ما على مجموع الحالات عبر نطاق معين، وهو أمر شائع في الفيزياء والهندسة. باستخدام نتائج النقطة الثابتة الجديدة هذه، أثبت المؤلفون أن حلاً لهذه المعادلات الصعبة ليس موجودًا فحسب، بل هو فريد أيضًا، بشرط استيفاء شروط معينة.

ولضمان ألا تكون نتائجهم النظرية مجرد تمارين تجريدية، اختبر الباحثون أساليبهم على المعادلات التفاضلية الكسرية الخطية باستخدام تقنيتين عددتين متميزتين: "طريقة الرماية" (shooting method) و"طريقة الاضطراب المتجانس" (homotopy perturbation method) مدمجة مع نهج مصفوفي. طريقة الرماية هي استراتيجية يتم فيها تحويل مشكلة ذات نهايات ثابتة إلى مسألة قيم ابتدائية، حيث يتم تعديل الظروف الأولية حتى تصيب الحل الهدف الصحيح. أما طريقة الاضطراب المتجانس، فهي تبني حلاً من خلال البدء بتقريب بسيط ثم صقله تدريجيًا. طبق الفريق هذه الطرق على معادلة محددة كان حلها الدقيق معروفًا مسبقًا. أجروا تجارب عددية برتبة كسرية محددة قدرها 2.9 وقارنوا نتائجهم المحسوبة بالحل الدقيق المعروف. كانت النتائج قريبة بشكل مذهل؛ ففي نقاط مختلفة من الفترة الزمنية، كان الفرق بين تقريبهم المحسوب والإجابة الحقيقية ضئيلاً للغاية، وغالبًا ما كان في نطاق أجزاء من المليون أو المليار. على سبيل المثال، عند نقطة معينة في الحساب، كان الخطأ أقل من جزء من مليوني جزء.

تؤكد البيانات المرئية المقدمة في الدراسة أن المنحنيات الناتجة عن أساليبهم العددية تتوافق بشكل مثالي تقريبًا مع منحنى الحل الدقيق. تظهر الرسوم البيانية الخطين وهما يتتبعان المسار نفسه، مع بقاء الخطأ بينهما ضئيلاً للغاية طوال النطاق بأكمله. يشير هذا المستوى العالي من الدقة إلى أن الإطار الرياضي الجديد ليس سليمًا نظريًا فحسب، بل هو فعال عمليًا لحل المشكلات الواقعية المتعلقة بالحساب الكسري. وخلص الباحثون إلى أن نهجهم يوسع بنجاح نطاق نظرية النقطة الثابتة، مما يوفر طريقة قوية للتعامل مع المعادلات التي كان من الصعب حلها سابقًا. إن إثبات وجود الحلول وتوفير طرق موثوقة لإيجادها يفتح الباب أمام نمذجة أكثر دقة للأنظمة غير الخطية المعقدة في العلوم والهندسة. وتقف هذه الدراسة كشهادة على كيف يمكن لتنقيح القواعد الأساسية للرياضيات أن يؤدي إلى أدوات أفضل لفهم الديناميكيات المعقدة للعالم من حولنا.