Fixed Point Results in Non-Linear (Θ, ℜm)-Rational type Contractive Mappings with Application in Fractional Differential Equations

La matematica spesso sembra una ricerca di ordine in un mondo caotico, un modo per prevedere dove le cose si stabilizzeranno quando vengono spinte, tirate o cambiate. Al cuore di questa ricerca risiede un'idea potente nota come "punto fisso". Immaginate una mappa di una città distesa sul terreno reale che essa rappresenta. Non importa come si accartocci la carta o come la si sposti leggermente, c'è sempre almeno un punto sulla mappa che si trova direttamente sopra l'esatta posizione che descrive. Quel punto è un punto fisso. Nel mondo reale, questo concetto aiuta gli scienziati a comprendere tutto, dalla stabilità dei ponti al comportamento delle economie. Tuttavia, molti problemi del mondo reale, in particolare quelli che coinvolgono cambiamenti nel tempo che non sono perfettamente fluidi o lineari, sono troppo complessi per gli strumenti matematici standard utilizzati per trovare questi punti. Questi strumenti spesso si basano su regole rigide riguardanti la distanza e la forma che decadono quando la situazione diventa disordinata o irregolare.

Per affrontare questi problemi difficili, i ricercatori hanno impiegato decenni nell'inventare nuovi tipi di spazi matematici—ambienti astratti con le proprie regole uniche per misurare la distanza e la connessione. Una di queste innovazioni è lo "spazio metrico", un quadro che generalizza il modo in cui misuriamo lo scarto tra due cose. Più recentemente, i matematici hanno sviluppato versioni ancora più flessibili, come gli "spazi m-metrici", che permettono un po' più di libertà nel calcolo della distanza, e gli "spazi basati su relazioni", che si concentrano sul fatto che due cose siano connesse in un modo specifico piuttosto che su quanto siano lontane tra loro. Questi quadri avanzati sono essenziali per modellare sistemi complessi in cui le solite regole della geometria non si applicano, come nello studio delle equazioni differenziali frazionarie. Queste equazioni descrivono processi che evolvono in modo "frazionario", il che significa che il loro cambiamento non è né interamente istantaneo né interamente graduale, ma qualcosa nel mezzo, come il modo in cui il calore si diffonde attraverso un materiale o come un virus potrebbe diffondersi in una popolazione.

In uno studio recente, un team di matematici provenienti da università del Pakistan, del Sud Africa e dell'Arabia Saudita si è posto l'obiettivo di espandere la cassetta degli attrezzi disponibile per risolvere queste equazioni complesse. Il loro lavoro si concentra su un tipo specifico di mappatura matematica chiamata "mappatura contraente di tipo razionale non lineare (Θ, ℜm)". Sebbene il nome sia complicato, il concetto riguarda il trovare un modo per garantire che una soluzione esista ed sia unica, anche quando le regole dello spazio matematico sono rilassate e le relazioni tra i punti sono definite da un insieme specifico di connessioni piuttosto che solo dalla distanza. I ricercatori hanno introdotto un nuovo modo di pensare a queste mappature all'interno di "spazi m-metrici basati sulla teoria delle relazioni". In questi spazi, l'ambiente è abbastanza completo da garantire che una soluzione possa essere trovata, ma non è necessariamente completo nel senso tradizionale e più rigoroso. Questa distinzione è cruciale perché permette alla matematica di gestire scenari che erano precedentemente troppo irregolari per essere risolti.

Il team ha dimostrato che, sotto queste nuove e più flessibili condizioni, l'esistenza di un punto fisso è garantita. Hanno mostato che se si parte da un punto specifico e si seguono le regole di questa nuova mappatura, la sequenza di punti generata si stabilizzerà infine in un'unica posizione stabile. Questo risultato è significativo perché unifica ed estende diversi risultati precedenti, unendo approcci differenti che prima venivano trattati come separati. I ricercatori non si sono fermati alla teoria; hanno applicato i loro nuovi risultati a un problema pratico: trovare soluzioni per equazioni differenziali frazionarie non lineari con condizioni al contorno integrali. Queste sono equazioni che descrivono sistemi in cui lo stato in un punto dipende dalla somma degli stati su un intervallo, una caratteristica comune nella fisica e nell'ingegneria. Utilizzando i loro nuovi risultati sui punti fissi, gli autori hanno dimostrato che una soluzione a queste difficili equazioni esiste anche ed è unica, a patto che vengano soddisfatte determinate condizioni.

Per garantire che i loro risultati teorici non fossero solo esercizi astratti, i ricercatori hanno testato i loro metodi su equazioni differenziali frazionarie lineari utilizzando due tecniche numeriche distinte: il metodo del tiro (shooting method) e il metodo della perturbazione omotopica combinato con un approccio matriciale. Il metodo del tiro è una strategia in cui un problema con punti finali fissi viene trasformato in un problema di valore iniziale, e le condizioni iniziali vengono regolate finché la soluzione non colpisce il bersaglio corretto. Il metodo della perturbazione omotopica, d'altra parte, costruisce una soluzione partendo da un'approssimazione semplice e raffinandola gradualmente. Il team ha applicato questi metodi a un'equazione specifica la cui soluzione esatta era già nota. Hanno eseguito esperimenti numerici con un ordine frazionario specifico di 2.9 e hanno confrontato i loro risultati calcolati con la soluzione esatta nota. I risultati sono stati sorprendentemente vicini. In vari punti dell'intervallo, la differenza tra la loro approssimazione calcolata e la risposta vera era incredibilmente piccola, spesso nell'ordine dei milioni o dei miliardi. Ad esempio, in un punto specifico del calcolo, l'errore era inferiore a due milioniesimi.

I dati visivi presentati nello studio confermano che le curve generate dai loro metodi numerici si allineano quasi perfettamente con la curva della soluzione esatta. I grafici mostrano le due linee che tracciano lo stesso percorso, con l'errore tra di esse che rimane trascurabile in tutto l'intervallo. Questo alto livello di accuratezza suggerisce che il nuovo quadro matematico non è solo teoricamente solido, ma anche praticamente efficace per risolvere problemi del mondo reale che coinvolgono il calcolo frazionario. I ricercatori hanno concluso che il loro approccio estende con successo la portata della teoria dei punti fissi, offrendo un modo robusto per gestire equazioni che erano precedentemente difficili da risolvere. Dimostrando che le soluzioni esistono e fornendo metodi affidabili per trovarle, questo lavoro apre la porta a una modellazione più accurata di sistemi non lineari complessi nella scienza e nell'ingegneria. Lo studio è una testimonianza di come il perfezionamento delle regole fondamentali della matematica possa portare a strumenti migliori per comprendere le dinamiche intricate del mondo che ci circonda.