Fixed Point Results in Non-Linear (Θ, ℜm)-Rational type Contractive Mappings with Application in Fractional Differential Equations

Las matemáticas a menudo se sienten como una búsqueda de orden en un mundo caótico, una forma de predecir hacia dónde se asentarán las cosas cuando son empujadas, tiradas o cambiadas. En el corazón de esta búsqueda yace una idea poderosa conocida como "punto fijo". Imagine un mapa de una ciudad extendido sobre el terreno real que representa. No importa cómo arrugue el papel o lo desplace ligeramente, siempre hay al menos un punto en el mapa que se sitúa directamente sobre la ubicación exacta que describe. Ese punto es un punto fijo. En el mundo real, este concepto ayuda a los científicos a comprender desde la estabilidad de los puentes hasta el comportamiento de las economías. Sin embargo, muchos problemas del mundo real, particularmente aquellos que involucran cambios a lo largo del tiempo que no son perfectamente fluidos o lineales, son demasiado complejos para las herramientas matemáticas estándar utilizadas para encontrar estos puntos. Estas herramientas a menudo dependen de reglas rígidas sobre la distancia y la forma que se rompen cuando la situación se vuelve desordenada o irregular.

Para abordar estos problemas difíciles, los investigadores han pasado décadas inventando nuevos tipos de espacios matemáticos: entornos abstractos con sus propias reglas únicas para medir la distancia y la conexión. Una de estas innovaciones es el "espacio métrico", un marco que generaliza cómo medimos la brecha entre dos cosas. Más recientemente, los matemáticos han desarrollado versiones aún más flexibles, como los "espacios m-métricos", que permiten un poco más de margen de maniobra en cómo se calcula la distancia, y los espacios "basados en relaciones", que se centran en si dos cosas están conectadas de una manera específica en lugar de solo qué tan lejos están una de la otra. Estos marcos avanzados son esenciales para modelar sistemas complejos donde las reglas habituales de la geometría no se aplican, como en el estudio de las ecuaciones diferenciales fraccionarias. Estas ecuaciones describen procesos que evolucionan de una manera "fraccionaria", lo que significa que su cambio no es enteramente instantáneo ni enteramente gradual, sino algo intermedio, como la forma en que el calor se propaga a través de un material o cómo un virus podría difundirse a través de una población.

En un estudio reciente, un equipo de matemáticos de universidades de Pakistán, Sudáfrica y Arabia Saudita se propuso ampliar el conjunto de herramientas disponibles para resolver estas ecuaciones complejas. Su trabajo se centra en un tipo específico de mapeo matemático llamado "mapeo contractivo de tipo racional (Θ, ℜm) no lineal". Aunque el nombre es difícil de pronunciar, el concepto consiste en encontrar una forma de garantizar que una solución existe y es única, incluso cuando las reglas del espacio matemático se relajan y las relaciones entre los puntos se definen por un conjunto específico de conexiones en lugar de solo la distancia. Los investigadores introdujeron una nueva forma de pensar sobre estos mapeos dentro de los "espacios de m-métrica de teoría de relaciones". En estos espacios, el entorno es lo suficientemente completo como para asegurar que se pueda encontrar una solución, pero no es necesariamente completo en el sentido tradicional y más estricto. Esta distinción es crucial porque permite que las matemáticas manejen escenarios que anteriormente eran demasiado irregulares para ser resueltos.

El equipo demostró que, bajo estas nuevas y más flexibles condiciones, se garantiza la existencia de un punto fijo. Demostraron que, si se parte de un punto específico y se siguen las reglas de este nuevo mapeo, la secuencia de puntos que se genera eventualmente se asentará en una ubicación única y estable. Este resultado es significativo porque unifica y extiende varios hallazgos previos, reuniendo diferentes enfoques que anteriormente eran tratados como separados. Los investigadores no se detuvieron en la teoría; aplicaron sus nuevos hallazgos a un problema práctico: encontrar soluciones para ecuaciones diferenciales fraccionarias no lineales con condiciones de contorno integrales. Estas son ecuaciones que describen sistemas donde el estado en un punto depende de la suma de los estados sobre un rango, una característica común en la física y la ingeniería. Al utilizar sus nuevos resultados de puntos fijos, los autores demostraron que una solución a estas difíciles ecuaciones no solo existe, sino que también es única, siempre que se cumplan ciertas condiciones.

Para asegurar que sus resultados teóricos no fueran solo ejercicios abstractos, los investigadores probaron sus métodos en ecuaciones diferenciales fraccionarias lineales utilizando dos técnicas numéricas distintas: el método de tiro (shooting method) y el método de perturbación de homotopía combinado con un enfoque de matriz. El método de tiro es una estrategia donde un problema con extremos fijos se convierte en un problema de valor inicial, y las condiciones iniciales se ajustan hasta que la solución alcanza el objetivo correcto. El método de perturbación de homotopía, por otro lado, construye una solución comenzando con una aproximación simple y refinándola gradualmente. El equipo aplicó estos métodos a una ecuación específica donde la solución exacta ya era conocida. Realizaron experimentos numéricos con un orden fraccionario específico de 2.9 y compararon sus resultados calculados contra la solución exacta conocida. Los resultados fueron sorprendentemente cercanos. En varios puntos a lo largo del intervalo, la diferencia entre su aproximación calculada y la respuesta verdadera fue increíblemente pequeña, a menudo en el rango de las millonésimas o las milmillonésimas. Por ejemplo, en un punto específico del cálculo, el error fue menor a dos millonésimas.

Los datos visuales presentados en el estudio confirman que las curvas generadas por sus métodos numéricos se alinean casi perfectamente con la curva de la solución exacta. Los gráficos muestran que las dos líneas trazan el mismo camino, y el error entre ellas permanece insignificante a lo largo de todo el rango. Este alto nivel de precisión sugiere que el nuevo marco matemático no solo es teóricamente sólido, sino también prácticamente efectivo para resolver problemas del mundo real que involucran cálculo fraccionario. Los investigadores concluyeron que su enfoque expande con éxito el alcance de la teoría de puntos fijos, ofreciendo una forma robusta de manejar ecuaciones que anteriormente eran difíciles de resolver. Al demostrar que las soluciones existen y proporcionar métodos confiables para encontrarlas, este trabajo abre la puerta a un modelado más preciso de sistemas no lineales complejos en la ciencia y la ingeniería. El estudio es un testimonio de cómo el refinamiento de las reglas fundamentales de las matemáticas puede conducir a mejores herramientas para comprender la dinámica intrincada del mundo que nos rodea.