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Simple and accurate approximations to the Riemann zeta function

Diese Arbeit stellt einfache und genaue Approximationen für die Riemannsche Zetafunktion und ihre Ableitung innerhalb des kritischen Streifens vor, indem sie die Hauptsumme der Riemann-Siegel-Formel mit einem auf elementaren Funktionen beruhenden Restglied kombiniert, das mittels Gaußscher Quadratur hergeleitet wurde, gestützt durch umfangreiche numerische Belege für deren hohe Präzision.

Ursprüngliche Autoren: Alexey Kuznetsov

Veröffentlicht 2026-05-22

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Alexey Kuznetsov

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich die Riemannsche Zeta-Funktion als eine massive, unglaublich komplexe Maschine vor, die Mathematiker seit Jahrhunderten zu verstehen versuchen. Sie ist wie ein riesiger, unsichtbarer Motor, der einige der tiefsten Geheimnisse der Zahlentheorie antreibt. Um diese Maschine „laufen" zu lassen und eine spezifische Zahl daraus zu erhalten (einen Wert für $\zeta(s)$ ), muss man ihr normalerweise eine große Menge an Daten zuführen.

Lange Zeit war der beste Weg, dies zu tun, vergleichbar mit dem Versuch, jeden einzelnen Sandkorn an einem Strand zu zählen, um das Gesamtvolumen zu schätzen. Ist der Strand klein, ist es einfach. Doch wenn der Strand riesig ist (was passiert, wenn die Zahlen sehr groß werden), dauert das Zählen jedes einzelnen Korns ewig. Dies ist das Problem der alten Methoden: Sie erfordern das Summieren von Millionen von Termen, nur um eine einzige Antwort zu erhalten, was sie für große Zahlen langsam und unpraktisch macht.

Der neue „Abkürzungs"-Motor

In diesem Papier führt Alexey Kuznetsov einen neuen, klugen Abkürzungsweg ein. Anstatt jeden einzelnen Sandkorn zu zählen, erstellt er ein hochpräzises Modell, das das Gesamtvolumen basierend auf wenigen Schlüsselmessungen vorhersagt.

Stellen Sie sich die alte Methode (die Riemann-Siegel-Formel) als ein Rezept vor, das verlangt, einen riesigen Kuchen zu backen, den Sie dann aber größtenteils wegwerfen müssen, weil er zu unordentlich ist. Der „Rest" des Kuchens ist schwer zu berechnen, sodass man ihn normalerweise nur errät oder eine sehr komplizierte, pedantische Methode verwendet, um ihn richtig zu bekommen.

Kuznetsovs neue Methode ist wie ein magisches Messgefäß. Er erkennt, dass der „unordentliche Rest" des Kuchens einem sehr spezifischen, vorhersagbaren Muster folgt. Anstatt das Ganze zu backen, berechnet er im Voraus eine Reihe von 21 speziellen Zahlen (für eine spezifische Version des Werkzeugs), die wie ein Geheimschlüssel wirken. Diese Zahlen sind wie ein voreingestellter Satz von Gewichten auf einer Waage.

Wie die Magie funktioniert

Die vorausberechneten Gewichte: Bevor Sie überhaupt beginnen, hat der Autor eine Liste spezieller komplexer Zahlen berechnet (denken Sie an sie als „magische Koeffizienten"). Er hat dies für verschiedene Genauigkeitsstufen getan (wie eine „kleine", „mittlere" und „große" Version des Werkzeugs). Sie können diese Zahlen herunterladen; Sie müssen sie nicht jedes Mal selbst berechnen.
Das einfache Rezept: Um die Antwort zu erhalten, nehmen Sie den Hauptteil der Berechnung (der einfach ist) und addieren einen Korrekturterm. Dieser Korrekturterm erfordert nicht das Summieren von Millionen von Elementen. Stattdessen verwendet er einfach diese vorausberechneten „magischen Gewichte" in Kombination mit einfachen mathematischen Funktionen (wie Exponentialfunktionen und Logarithmen).
Das Ergebnis: Es ist, als würden Sie eine 10-stündige Handarbeit durch einen 5-Sekunden-Knopfdruck ersetzen. Das Papier zeigt, dass diese neue Methode für sehr große Zahlen unglaublich genau ist – oft genau auf 100 oder sogar 300 Dezimalstellen – ohne die Schwerstarbeit der alten Methoden zu benötigen.

Warum es besser ist als der alte Weg

Das Papier vergleicht diese neue Methode mit dem „Goldstandard" (der Riemann-Siegel-Formel).

Der alte Weg: Um hohe Genauigkeit zu erreichen, müssen Sie viele komplizierte Korrekturterme berechnen. Diese Terme sind wie der Versuch, ein Puzzle zu lösen, bei dem die Teile die Form von zerklüfteten Felsen haben; sie sind schwer zusammenzufügen, und die Formeln sind unordentlich und fehleranfällig.
Der neue Weg: Sie benötigen nur eine kleine, feste Liste vorausberechneter Zahlen (etwa 15 bis 30 Zahlen, je nachdem, wie genau Sie sein möchten). Die beteiligte Mathematik ist glatt und einfach, wie das Zusammenfügen von glatten, runden Murmeln.

Das „Sweet Spot"-Muster

Der Autor bemerkte etwas Faszinierendes bei den Fehlern. Als er die Methode testete, waren die Fehler nicht zufällig. Sie tanzten in einem spezifischen Muster, wie ein Herzschlag. Der Fehler war bei bestimmten regelmäßigen Intervallen winzig und dazwischen etwas größer. Dieses Muster half ihm tatsächlich herauszufinden, wie er die besten „magischen Gewichte" von Anfang an auswählen konnte. Es ist, als hätte die Maschine ihm durch das Muster ihrer Fehler das Geheimnis „zugeflüstert".

Was dies für die Mathematik bedeutet

Das Papier behauptet nicht, dass dies Krankheiten heilen oder das Wetter vorhersagen wird. Stattdessen löst es ein spezifisches, hartnäckiges Problem in der reinen Mathematik: wie man diese spezifische Funktion schnell und genau berechnet.

Geschwindigkeit: Es ermöglicht Computern, diese Werte hunderte oder tausende Male schneller zu berechnen als die integrierten Werkzeuge in Software wie MATLAB.
Präzision: Es ermöglicht Mathematikern, die Funktion mit extremer Klarheit zu sehen (hunderte von Dezimalstellen), was entscheidend für die Prüfung tiefer Theorien über Primzahlen ist.
Einfachheit: Es ersetzt einen komplexen, mehrstufigen Prozess durch eine einfache Formel, die auf einem vorgefertigten „Spickzettel" mit Zahlen basiert.

Kurz gesagt hat Kuznetsov einen hochpräzisen, einfach zu bedienenden Rechner für eine Funktion gebaut, die zuvor schwierig und langsam zu berechnen war, indem er einen klugen Trick mit vorausberechneten „magischen Zahlen" verwendete, um die Schwerstarbeit zu umgehen.

Technische Zusammenfassung: Einfache und genaue Approximationen der Riemannschen Zeta-Funktion

Problemstellung

Die Berechnung der Riemannschen Zeta-Funktion, $\zeta(s)$ , für große Werte des Imaginärteils, $t = \text{Im}(s)$ , stellt erhebliche Herausforderungen dar. Während die Euler-Maclaurin-Summationsmethode strenge Fehlergrenzen bietet, skaliert ihre Rechenkomplexität mit $O(|s|)$ , was sie für große $t$ unpraktisch macht. Der Standardansatz für große $t$ ist die Riemann-Siegel-Formel, die die Komplexität durch Nutzung einer Hauptsumme und einer asymptotischen Entwicklung für den Restterm auf $O(t^{1/2})$ reduziert. Allerdings beinhalten höhere Ordnungskorrekturen in der Riemann-Siegel-Formel komplexe Ableitungen spezieller Funktionen (insbesondere der Funktion $F(z)$ ), die aufgrund von Singularitäten und komplizierten Formeln numerisch schwer zu bewerten sind. Darüber hinaus erfordern bestehende Algorithmen hoher Genauigkeit, wie etwa die von Galway, oft das Justieren mehrerer Parameter, um eine optimale Genauigkeit zu erreichen.

Der Artikel adressiert die Notwendigkeit von Approximationen, die sowohl rechnerisch effizient (mit wenigen Termen) als auch über beliebige vertikale Streifen hinweg, einschließlich des kritischen Streifens, hochgenau sind, ohne die Implementierungsschwierigkeiten, die mit höheren Ordnungskorrekturen der Riemann-Siegel-Formel verbunden sind.

Methodik

Der Autor entwickelt eine Familie von Approximationen, bezeichnet als $\zeta_p(s)$ , die die Hauptsumme der Riemann-Siegel-Formel mit einer neuartigen Approximation des Restterms kombinieren. Die Kernmethodik basiert auf folgenden Schritten:

Integraldarstellung: Der Restterm der exakten Riemann-Siegel-Formel wird als Integral $I_M(s)$ ausgedrückt, das ein komplexwertiges Maß $\eta(dx) = \frac{e^{-\pi x^2}}{\cosh(\pi \theta x)} dx$ beinhaltet, wobei $\theta = e^{-i\pi/4}$ .
Gaußsche Quadratur: Anstelle der Verwendung asymptotischer Reihenentwicklungen approximiert der Autor dieses Integral mittels einer Gaußschen Quadraturregel. Das Ziel ist es, eine Menge von Knoten $\{x_{p,j}\}$ und Gewichten $\{\omega_{p,j}\}$ zu finden, sodass die Quadratur für eine spezifische Menge von $4p+2$ Testfunktionen exakt ist.
Herleitung der Koeffizienten: Die Koeffizienten $\{\omega_{p,j}\}$ ${ω_{p, j}}$ und $\{\lambda_{p,j}\}$ ${λ_{p, j}}$ (wobei $\lambda_{p,j} = \theta x_{p,j}$ $λ_{p, j} = θ x_{p, j}$ ) werden durch Lösen eines Systems linearer Gleichungen hergeleitet. Dieses System wird konstruiert, indem gefordert wird, dass die Quadratur für Funktionen der Form $f_k(x) = e^{-\pi x^2 + 2\pi \theta y_{p,k} x}$ $f_{k} (x) = e^{- π x^{2} + 2 π θ y_{p, k} x}$ exakt ist, wobei $y_{p,k}$ $y_{p, k}$ äquidistante Punkte in $[-1, 1]$ $[- 1, 1]$ sind.
- Das Problem wird in die Suche nach den Knoten und Gewichten einer Gaußschen Quadratur für ein lineares Funktional $L$ transformiert, das durch die Momente des Mordell-Integrals $H(y)$ definiert ist.
- Diese Knoten und Gewichte werden unter Verwendung orthogonaler Polynome berechnet, die über eine Dreigliedrige Rekursionsrelation generiert werden.
Approximationsformel: Die finale Approximation ist definiert als:
$\zeta_p(s) = \sum_{n=1}^{N_t} n^{-s} + \chi(s) \sum_{n=1}^{N_t} n^{s-1} - \frac{(-1)^{N_t}}{2} \left[ I_{N_t+1/2, p}(s) + \chi(s) I_{N_t+1/2, p}(1-s) \right]$
wobei $I_{M,p}(s)$ die Quadraturapproximation des Integralterms ist, die nur elementare Funktionen (Exponentialfunktionen, Logarithmen) und vorkalkulierte komplexe Koeffizienten beinhaltet.

Hauptbeiträge

Vereinfachte Implementierung: Die vorgeschlagenen Approximationen hängen von einem einzigen ganzzahligen Parameter $p$ und einer Menge vorkalkulierter Koeffizienten $\{\omega_{p,j}\}$ und $\{\lambda_{p,j}\}$ ab. Im Gegensatz zur Riemann-Siegel-Formel, die für Terme höherer Ordnung die Auswertung komplexer Ableitungen spezieller Funktionen erfordert, benötigt $\zeta_p(s)$ nur elementare Funktionen und die Gamma-Funktion.
Vorkalkulierte Koeffizienten: Der Autor liefert vorkalkulierte Koeffizienten für $1 \le p \le 30$ und ausgewählte Werte bis $p=150$ . Es wird gezeigt, dass diese Koeffizienten moderate Größenordnungen aufweisen und eine schnelle Abklingrate zeigen, was eine stabile numerische Auswertung ermöglicht.
Ableitungsapproximation: Der Artikel erweitert die Methodik, um die Ableitung $\zeta'(s)$ zu approximieren, indem die Approximationsformel nach $s$ differenziert wird (ausgewertet bei festem $N_t$ ), wodurch die Diskontinuitäten vermieden werden, die mit der Differentiation der Floor-Funktion in $N_t$ verbunden sind.
Hybridalgorithmus: Es wird eine Strategie vorgeschlagen, um $\zeta(s)$ über die gesamte komplexe Ebene hinweg zu berechnen, indem basierend auf dem Bereich von $s$ zwischen direkter Summation, Euler-Maclaurin-Summation und der $\zeta_p(s)$ -Approximation gewechselt wird.

Ergebnisse

Der Artikel präsentiert umfangreiche numerische Belege bezüglich der Genauigkeit von $\zeta_p(s)$ :

Genauigkeit im kritischen Streifen: Numerische Experimente im kritischen Streifen ( $0 \le \sigma \le 1$ $0 \leq σ \leq 1$ ) zeigen, dass der Fehler $|\zeta_p(s) - \zeta(s)|$ $∣ ζ_{p} (s) - ζ (s) ∣$ mit steigendem $p$ $p$ signifikant abnimmt.
- Für $p=10$ liegen die Fehler bei $< 10^{-15}$ für $t > 250$ .
- Für $p=50$ liegen die Fehler bei $< 10^{-100}$ für $t > 4000$ .
- Für $p=150$ liegen die Fehler bei $< 10^{-300}$ für $t > 6900$ .
Fehlermuster: Der Fehler zeigt ein charakteristisches Muster, bei dem er an den Endpunkten der Intervalle $[t_n, t_{n+1}]$ (wobei $t_n = 2\pi n^2$ ) und an $4p$ äquidistanten Punkten innerhalb dieser Intervalle verschwindet. Dieses Verhalten wird analytisch dadurch erklärt, dass der dominierende Fehlerterm proportional zu $H_p(B(t)) - H(B(t))$ ist, was an den Quadraturknoten null ist.
Vergleich mit Riemann-Siegel: Für moderate $t$ (z. B. $10^2 \le t \le 10^4$ ) zeigt sich, dass die Approximation $\zeta_7(s)$ genauer ist als die Riemann-Siegel-Approximation mit $K=5$ ( $\zeta^{RS}_5$ ). Während $\zeta^{RS}_5$ eine schnellere asymptotische Abklingrate ( $O(t^{-13/4})$ ) im Vergleich zu $\zeta_7$ ( $O(t^{-1/4})$ ) aufweist, benötigt $\zeta_7$ signifikant weniger vorkalkulierte Koeffizienten (15 vs. ~100–170 für hohe Genauigkeit) und ist einfacher zu implementieren.
Präzisionsgrenzen: In Implementierungen mit doppelter Genauigkeit dominieren Rundungsfehler den Approximationsfehler für $t > 200$ . In der Quadrupelgenauigkeit behalten die Approximationen jedoch bis zu viel größeren $t$ eine hohe Genauigkeit bei (z. B. $t > 10^4$ mit Fehlern $< 10^{-29}$ ).
Leistung: Die MATLAB-Implementierung des Hybridalgorithmus wird als um das Hundert- bis Tausendfache schneller als die eingebaute MATLAB-Funktion zeta berichtet.

Bedeutung und Behauptungen

Der Artikel behauptet, dass diese Approximationen eine hochpräzise Berechnung von $\zeta(s)$ und $\zeta'(s)$ im kritischen Streifen und anderen vertikalen Streifen für große $t$ ermöglichen. Die Bedeutung liegt im Kompromiss zwischen Implementierungskomplexität und Genauigkeit: Die Methode bietet eine „einfache" Alternative zur Riemann-Siegel-Formel, die die Rechenlast durch Terme höherer Ordnung vermeidet, während sie für einen weiten Bereich von $t$ eine wettbewerbsfähige oder überlegene Genauigkeit beibehält.

Der Autor stellt fest, dass zwar in dieser Arbeit keine strengen Fehlergrenzen für $\zeta_p(s)$ bereitgestellt werden, die numerischen Belege jedoch umfangreich sind. Die Methode wird als praktisches Werkzeug für hochpräzise Berechnungen präsentiert, die für mathematische Entdeckungen wie die Widerlegung der Mertens-Vermutung entscheidend sind. Der Artikel schließt mit der Bereitstellung von Open-Source-Implementierungen in MATLAB, Python und Fortran, was eine unmittelbare Nutzung durch die Forschungscommunity ermöglicht.