技术摘要：黎曼ζ函数的简单且精确的近似

问题陈述

计算黎曼ζ函数 $\zeta(s)$ 在虚部 $t = \text{Im}(s)$ 较大时的值面临显著挑战。虽然欧拉 - 麦克劳林求和法提供了严格的误差界，但其计算复杂度为 $O(|s|)$，使得该方法在 $t$ 较大时不切实际。针对大 $t$ 的标准方法是黎曼 - 西格尔公式，它通过利用主和与余项的渐近展开，将复杂度降低至 $O(t^{1/2})$。然而，黎曼 - 西格尔公式中的高阶修正涉及特殊函数（具体为函数 $F(z)$）的复杂导数，由于存在奇点和复杂的公式，这些导数在数值上难以评估。此外，现有的高精度算法（如 Galway 提出的算法）通常需要调整多个参数才能达到最佳精度。

本文旨在解决对近似方法的需求，这些方法既要计算高效（仅需少量项），又要在任意垂直带（包括临界带）内具有高精度，同时避免与高阶黎曼 - 西格尔修正相关的实现困难。

方法论

作者开发了一类记为 $\zeta_p(s)$ 的近似方法，该方法结合了黎曼 - 西格尔公式的主和与余项的一种新颖近似。核心方法论依赖于以下步骤：

1. 积分表示：精确黎曼 - 西格尔公式的余项被表示为一个积分 $I_M(s)$，其中涉及复值测度 $\eta(dx) = \frac{e^{-\pi x^2}}{\cosh(\pi \theta x)} dx$，且 $\theta = e^{-i\pi/4}$。
2. 高斯求积：作者不使用渐近级数展开，而是利用高斯求积规则来近似该积分。目标是找到一组节点 $\{x_{p,j}\}$ 和权重 $\{\omega_{p,j}\}$，使得该求积规则对一组特定的 $4p+2$ 个测试函数是精确的。
3. 系数推导：系数 $\{\omega_{p,j}\}$ 和 $\{\lambda_{p,j}\}$（其中 $\lambda_{p,j} = \theta x_{p,j}$）通过求解线性方程组推导得出。该方程组的构建要求求积规则对形式为 $f_k(x) = e^{-\pi x^2 + 2\pi \theta y_{p,k} x}$ 的函数是精确的，其中 $y_{p,k}$ 是区间 $[-1, 1]$ 内等间距的点。
   • 该问题被转化为寻找由莫德尔积分 $H(y)$ 的矩定义的线性泛函 $L$ 的高斯求积的节点和权重。
   • 这些节点和权重是通过利用三项递推关系生成的正交多项式计算得出的。
4. 近似公式：最终的近似定义为：
   $$\zeta_p(s) = \sum_{n=1}^{N_t} n^{-s} + \chi(s) \sum_{n=1}^{N_t} n^{s-1} - \frac{(-1)^{N_t}}{2} \left[ I_{N_t+1/2, p}(s) + \chi(s) I_{N_t+1/2, p}(1-s) \right]$$
   其中 $I_{M,p}(s)$ 是积分项的求积近似，仅涉及初等函数（指数函数、对数函数）和预计算的复系数。

主要贡献

• 简化的实现：所提出的近似方法仅依赖于单个整数参数 $p$ 以及一组预计算的系数 $\{\omega_{p,j}\}$ 和 $\{\lambda_{p,j}\}$。与需要为高阶项评估特殊函数复杂导数的黎曼 - 西格尔公式不同，$\zeta_p(s)$ 仅需初等函数和伽马函数。
• 预计算系数：作者提供了 $1 \le p \le 30$ 以及部分高达 $p=150$ 的预计算系数。这些系数被证明具有中等量级并表现出快速衰减，有利于稳定的数值评估。
• 导数近似：本文将方法论扩展至近似导数 $\zeta'(s)$，通过对近似公式关于 $s$ 求导（在固定的 $N_t$ 处评估）来实现，从而避免了因对 $N_t$ 中的取整函数求导而产生的不连续性。
• 混合算法：提出了一种策略，用于在整个复平面上计算 $\zeta(s)$，即根据 $s$ 所在的区域在直接求和、欧拉 - 麦克劳林求和以及 $\zeta_p(s)$ 近似之间进行切换。

结果

本文展示了关于 $\zeta_p(s)$ 精度的大量数值证据：

• 临界带内的精度：临界带（$0 \le \sigma \le 1$）内的数值实验表明，随着 $p$ 的增加，误差 $|\zeta_p(s) - \zeta(s)|$ 显著减小。
  • 对于 $p=10$，当 $t > 250$ 时，误差 $< 10^{-15}$。
  • 对于 $p=50$，当 $t > 4000$ 时，误差 $< 10^{-100}$。
  • 对于 $p=150$，当 $t > 6900$ 时，误差 $< 10^{-300}$。
• 误差模式：误差表现出一种独特的模式，即在区间 $[t_n, t_{n+1}]$ 的端点（其中 $t_n = 2\pi n^2$）以及这些区间内 $4p$ 个等间距点处消失。这种行为在解析上可解释为：主导误差项与 $H_p(B(t)) - H(B(t))$ 成正比，而该项在求积节点处为零。
• 与黎曼 - 西格尔公式的比较：对于中等大小的 $t$（例如 $10^2 \le t \le 10^4$），近似 $\zeta_7(s)$ 被证明比 $K=5$ 的黎曼 - 西格尔近似（$\zeta^{RS}_5$）更精确。虽然 $\zeta^{RS}_5$ 具有更快的渐近衰减率（$O(t^{-13/4})$）相比 $\zeta_7$（$O(t^{-1/4})$），但 $\zeta_7$ 所需的预计算系数显著更少（15 个对比高精度所需的约 100–170 个），且更易于实现。
• 精度限制：在双精度实现中，当 $t > 200$ 时，舍入误差主导了近似误差。然而，在四精度下，这些近似在更大的 $t$ 值下仍能保持高精度（例如，当 $t > 10^4$ 时，误差 $< 10^{-29}$）。
• 性能：据报道，该混合算法的 MATLAB 实现比内置的 MATLAB zeta 函数快数百至数千倍。

意义与主张

本文声称，这些近似方法使得在临界带及其他垂直带内针对大 $t$ 值高精度计算 $\zeta(s)$ 和 $\zeta'(s)$ 成为可能。其意义在于实现复杂性与精度之间的权衡：该方法提供了一种“简单”的黎曼 - 西格尔公式替代方案，避免了高阶修正项的计算负担，同时在广泛的 $t$ 范围内保持了具有竞争力或更优的精度。

作者指出，虽然本文未提供 $\zeta_p(s)$ 的严格误差界，但数值证据是广泛的。该方法被呈现为一种用于高精度计算的实用工具，这对于数学发现（如推翻默滕斯猜想）至关重要。文章最后提供了 MATLAB、Python 和 Fortran 的开源实现，便于研究界立即使用。