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Toward Black Scholes for Prediction Markets: A Unified Kernel and Market Maker's Handbook

Der Artikel schlägt einen logistischen Sprung-Diffusions-Kernel mit risikoneutralem Drift vor, der als einheitliches Fundament für die Bewertung und Absicherung von Vorhersagemärkten dient, indem er eine kalibrierbare Volatilitätsfläche und abgeleitete Instrumente bereitstellt, die der Black-Scholes-Logik für Optionsmärkte entsprechen.

Ursprüngliche Autoren: Shaw Dalen

Veröffentlicht 2026-04-07

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Shaw Dalen

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie stehen auf einem riesigen Marktplatz, auf dem Menschen nicht Äpfel oder Autos, sondern Zukunftsfragen handeln.

Fragen wie: „Gewinnt Kandidat X die Wahl?", „Wird es morgen regnen?" oder „Startet das neue iPhone pünktlich?".

Auf diesen Märkten (wie z. B. Polymarket) kaufen und verkaufen Menschen Anteile an diesen Fragen. Der Preis eines Anteils ist einfach die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt. Wenn ein Anteil 70 Cent kostet, glaubt der Markt zu 70 %, dass es passiert.

Das Problem? Diese Märkte sind chaotisch. Es gibt keine einheitliche Sprache, um zu sagen, wie sich diese Wahrscheinlichkeiten ändern, wenn neue Nachrichten hereinkommen. Händler (die sogenannten „Market Maker") sitzen oft ratlos da, wenn plötzlich ein Schock die Preise wild hin und her wirbelt. Sie wissen nicht, wie sie sich gegen dieses Risiko schützen sollen.

Dieses Papier ist wie ein neues Regelbuch und eine Werkzeugkiste, um diesen Markt zu ordnen. Hier ist die Erklärung in einfachen Bildern:

1. Das Problem: Der wilde Ozean ohne Kompass

Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Kapitän auf einem Boot (dem Markt).

Früher (bei Aktien): Es gab eine berühmte Formel (Black-Scholes), die wie ein Kompass funktionierte. Sie sagte Ihnen: „Wenn der Wind (die Volatilität) so stark weht, kostet die Versicherung (die Option) genau so viel." Das hat den Handel revolutioniert.
Heute (bei Vorhersagemärkten): Es gibt keinen Kompass. Wenn eine Nachricht kommt, springen die Preise wild herum. Die Händler wissen nicht, ob sie den Preis anpassen sollen, weil die Unsicherheit gestiegen ist, oder weil die Wahrscheinlichkeit selbst sich geändert hat. Sie werden oft „ausgesaugt", weil sie nicht wissen, wie sie sich gegen plötzliche Stürme (Nachrichten) absichern können.

2. Die Lösung: Der „Logit-Jump-Diffusion"-Motor

Die Autoren schlagen einen neuen Motor vor, der wie ein hochmoderner Wetterbericht für Wahrscheinlichkeiten funktioniert.

Statt nur zu schauen, wie sich der Preis (z. B. 60 Cent) bewegt, schauen sie auf eine unsichtbare Skala, die sie „Logit" nennen.

Die Analogie: Stellen Sie sich vor, die Wahrscheinlichkeit ist ein Thermometer, das nur zwischen 0 und 100 Grad zeigt. Das ist schwer zu analysieren, wenn es an den Grenzen (0 oder 100) klemmt.
Der Trick: Der neue Motor verwandelt diese 0–100 Skala in eine unendliche Autobahn. Auf dieser Autobahn können die Werte fließend (wie ein Auto, das sanft fährt = Diffusion) oder ruckartig (wie ein Auto, das von einem Stein überholt wird = Sprung/Jump) bewegt werden.

Das Wichtigste an diesem Motor: Er ist fair. Er sorgt dafür, dass der Markt nicht einfach so in eine Richtung driftet, sondern dass die Preise immer die „wahrscheinlichste" Antwort widerspiegeln, basierend auf dem, was man gerade weiß.

3. Die neuen Werkzeuge: Versicherungspolicen für Gedanken

Das Papier schlägt vor, neue Arten von Verträgen zu schaffen, damit Händler sich absichern können. Das ist wie der Unterschied zwischen einem einfachen Auto und einem Auto mit Airbags und ABS.

Volatilitäts-Swaps (Die „Unruhe-Versicherung"):
Statt nur auf das Ergebnis zu wetten, können Händler jetzt auf die Unruhe wetten. Wenn sie wissen, dass morgen eine wichtige Nachricht kommt (z. B. eine Wahlumfrage), kaufen sie eine Versicherung gegen das wilde Hin und Her der Preise. So können sie ihre Preise stabil halten, auch wenn die Welt um sie herum wackelt.
Korrelations-Swaps (Die „Freundschafts-Versicherung"):
Wenn zwei Dinge oft zusammen passieren (z. B. „Gewinnt Partei A" und „Gewinnt Partei B in einem Nachbarland"), können Händler diese Verbindung versichern. Wenn beide gleichzeitig abstürzen, zahlt die Versicherung.
Korridor-Versicherung:
Man kann sich nur gegen Unruhe in einem bestimmten Bereich versichern (z. B. wenn die Wahrscheinlichkeit zwischen 40 % und 60 % liegt). Das ist wie eine Versicherung, die nur zahlt, wenn das Wetter mäßig stürmisch ist, aber nicht, wenn es absolut ruhig ist oder ein Hurrikan tobt.

4. Wie das alles funktioniert (Der Kalibrierungs-Prozess)

Wie findet man heraus, wie stark der Wind weht?
Die Autoren bauen eine Filter-Maschine:

Rauschen entfernen: Auf den Märkten gibt es viel „Lärm" (kleine, sinnlose Preisänderungen). Die Maschine filtert das heraus und findet den echten Signal-Verlauf.
Unterscheidung: Sie trennt das „sanfte Gleiten" (normale Unsicherheit) von den „harten Sprüngen" (plötzliche Schocks).
Die Landkarte: Am Ende entsteht eine glatte Landkarte (eine Oberfläche), die zeigt: „Hier ist die Unsicherheit hoch, dort ist sie niedrig."

5. Warum ist das jetzt wichtig?

Vorhersagemärkte wachsen riesig. Große Institutionen (wie die Muttergesellschaft der New Yorker Börse) investieren Milliarden. Aber ohne dieses Regelbuch ist es wie ein Rennen mit Autos, die keine Bremsen haben.

Mit diesem neuen System:

Können Händler sicherer arbeiten.
Werden die Preise genauer, weil mehr Leute bereit sind, Geld zu investieren, ohne Angst zu haben, alles zu verlieren.
Entsteht eine gemeinsame Sprache, damit alle wissen, was „hohe Unsicherheit" eigentlich kostet.

Zusammenfassung in einem Satz

Dieses Papier baut den ersten echten „Black-Scholes"-Kompass für Vorhersagemärkte, damit Händler nicht mehr blind gegen Stürme wetten müssen, sondern gezielte Versicherungen gegen Unsicherheit kaufen und verkaufen können.

Es verwandelt das Chaos der Zukunftsvorhersage in einen geordneten, handelbaren Markt, auf dem man nicht nur auf das Was (das Ergebnis), sondern auch auf das Wie (die Unsicherheit) wetten kann.

1. Problemstellung und Motivation

Hintergrund:
Vorhersagemärkte (z. B. Polymarket, Kalshi) aggregieren verstreute Informationen in handelbare Wahrscheinlichkeiten. Ein Ereigniskontrakt zahlt 1 $, wenn ein Ereignis eintritt, und 0 $ sonst. Der gehandelte Preis $p_t$ wird als risikoneutrale Wahrscheinlichkeit interpretiert.

Das Kernproblem:
Im Gegensatz zu Optionsmärkten, die durch das Black-Scholes-Modell (BS) eine einheitliche stochastische Basis (implizite Volatilität, Greeks) für die Preisbildung und Absicherung haben, fehlt es Vorhersagemärkten an einem solchen vereinheitlichenden „Kernel".

Fehlende Standardisierung: Es gibt kein gemeinsames stochastisches Modell, das beschreibt, wie sich Ereigniswahrscheinlichkeiten über die Zeit, bei Informations Schocks oder zwischen korrelierten Ereignissen entwickeln.
Risiken für Market Maker: Maker stehen vor komplexen Risiken wie Adverse Selection, Lagerbestandsrisiken (Inventory Risk) nahe der Auflösung (0 oder 1) und „Jump-Risiken" (plötzliche Preisbewegungen durch Nachrichten).
Fehlende Derivate: Es gibt keine standardisierten Instrumente, um spezifische Risiken wie die Volatilität der Überzeugung (Belief Volatility) oder Korrelationen zwischen Ereignissen zu handeln oder abzusichern.

Ziel:
Die Schaffung eines analogen Fundaments zu Black-Scholes für Vorhersagemärkte, das eine einheitliche Sprache für die Preisgestaltung, Absicherung und den Transfer von „Überzeugungsrisiken" (Belief Risk) ermöglicht.

2. Methodik: Der Logit-Sprung-Diffusions-Kernel

Die Autoren schlagen einen minimalen, handlungsorientierten Kernel vor, der auf der Logit-Transformation der Wahrscheinlichkeiten basiert.

A. Stochastischer Kern (Logit Jump-Diffusion)

Anstatt die Wahrscheinlichkeit $p_t \in (0, 1)$ direkt zu modellieren, wird sie auf den Logit-Raum $\mathbb{R}$ transformiert:
$x_t = \text{logit}(p_t) = \ln\left(\frac{p_t}{1-p_t}\right)$
Dies ermöglicht die Anwendung von Standard-Werkzeugen der Semimartingal-Theorie (Itô-Lévy), während die Grenzen 0 und 1 automatisch eingehalten werden.

Der Prozess für $x_t$ wird als korrelierte Sprung-Diffusion unter dem risikoneutralen Maß $\mathbb{Q}$ modelliert:
$dx_t = \mu(t, x_t) dt + \sigma_b(t, x_t) dW_t + \int_{\mathbb{R}} z \tilde{N}(dt, dz)$

$\sigma_b$ : Überzeugungs-Volatilität (Belief Volatility).
$\tilde{N}$ : Kompensiertes Sprungmaß (erfasst Nachrichten-Schocks).
Martingal-Bedingung: Da $p_t$ $p_{t}$ der diskontierte Preis eines $1-$Payoffs ist, muss $p_t$ $p_{t}$ ein $\mathbb{Q}$ $Q$ -Martingal sein. Dies erzwingt eine spezifische Drift $\mu(t, x_t)$ $μ (t, x_{t})$ für den Logit-Prozess, die die Konvexität der Logit-Funktion und die Sprungkompensation ausgleicht.
- Ergebnis: Die Drift ist nicht frei wählbar, sondern durch die Martingal-Eigenschaft festgelegt. Die handelbaren Risikofaktoren bleiben somit die Volatilität $\sigma_b$ , die Sprungintensität und die Korrelation.

B. Multi-Ereignis-Abhängigkeit

Für mehrere Ereignisse werden zwei Arten der Abhängigkeit modelliert:

Diffusive Korrelation: Korrelation der Brownschen Bewegungen ( $\rho_{ij}$ ).
Co-Jumps: Gleichzeitige Sprünge bei gemeinsamen Nachrichtenereignissen, erfasst durch ein gemeinsames Sprungmaß $\nu_{ij,t}$ .

C. Derivate-Schicht (Derivative Layer)

Auf diesem Kernel werden neue Derivate definiert, analog zu Volatilitäts- und Korrelations-Swaps im Optionsmarkt:

Belief-Variance Swaps: Tausch der realisierten quadratischen Variation von $x$ (oder $p$ ) gegen einen festen Strike.
Correlation Swaps: Absicherung von Korrelationen zwischen Ereignissen.
Corridor Variance: Volatilitätshandel nur innerhalb eines „Schwingungsbereichs" (z. B. $p \in [0.35, 0.65]$ ), wo die Liquidität am höchsten und das Risiko am größten ist.
First-Passage Notes: Optionen darauf, ob eine Wahrscheinlichkeit einen Schwellenwert vor Ablauf erreicht.

D. Kalibrierungs-Pipeline

Ein datengestützter Prozess zur Schätzung der Parameter aus Rohdaten (Mid-Prices, Bid-Ask, Trades):

Filterung: Verwendung eines heteroskedastischen State-Space-Filters (Kalman-Filter), um das latente $x_t$ von Mikrostruktur-Rauschen zu trennen.
EM-Algorithmus (Expectation-Maximization): Trennung von Diffusion und Sprüngen in den Inkrementen, um $\sigma_b$ und Sprungparameter robust zu schätzen.
Drift-Erzwingung: Nach der Schätzung wird die Drift $\mu$ explizit so angepasst, dass die Martingal-Bedingung für $p_t$ erfüllt ist.
Oberflächen-Smoothing: Glättung der geschätzten Volatilität über Zeit bis zur Auflösung ( $\tau$ ) und „Moneyness" ( $m$ ) zu einer stabilen „Belief-Volatility Surface".

3. Market-Maker-Handbuch (Praktische Anwendung)

Das Paper liefert konkrete Algorithmen für Market Maker:

Greeks im Logit-Raum: Delta ( $\Delta_x$ ) und Gamma ( $\Gamma_x$ ) werden im Logit-Raum berechnet, was nahe den Grenzen 0/1 stabiler ist als im $p$ -Raum.
Avellaneda-Stoikov-Quoting: Anpassung des klassischen Market-Making-Modells an den Logit-Raum. Das optimale Spread wird basierend auf der Überzeugungs-Volatilität $\sigma_b$ und dem Lagerbestand berechnet.
Absicherungsstrategien:
- Kalender-Hedges: Absicherung von Volatilitätsrisiken in kurzen Zeitfenstern um Nachrichten.
- Cross-Event-Hedges: Nutzung von Korrelations-Swaps oder Beta-Hedges, um Risiken zwischen korrelierten Ereignissen (z. B. Wahlumfragen) zu neutralisieren.
Toxizitäts-Filter: Dynamische Anpassung der Spreads oder Rückzug von Quotes bei Anzeichen von „Toxic Flow" oder ungeplanten Sprüngen.

4. Ergebnisse und Experimente

Die Autoren führten ein End-zu-End-Experiment durch, das den Betrieb eines Market Makers in Echtzeit simuliert (Filterung, Kalibrierung, Vorhersage).

Daten: Synthetische Pfade, die risikoneutrale Eigenschaften und realistische Mikrostruktur-Rauschen (heteroskedastisch) aufweisen, sowie reale Daten von Polymarket.
Vergleichsbasen:
- Random Walk im Logit-Raum (konstante Volatilität).
- Wright-Fisher/Jacobi-Prozesse (Diffusion im $p$ -Raum).
- AR-GARCH-Modelle im $p$ -Raum.
Metrik: Vorhersagefehler der realisierten Varianz (MSE, MAE, QLIKE) über einen kurzen Horizont (60 Sekunden).
Ergebnis:
- Das vorgeschlagene RN-JD-Modell (Risk-Neutral Logit Jump-Diffusion) erzielte die niedrigsten Fehlerwerte (MSE: 70,28 vs. >76 bei Baselines).
- Modelle, die im $p$ -Raum operierten (Wright-Fisher, AR-GARCH), zeigten bei der Rücktransformation in den Logit-Raum numerische Instabilitäten und enorme Fehler (MSE in der Größenordnung von $10^{17}$ ).
- Gründe für den Erfolg:
  1. Die Erzwingung der Martingal-Drift verhindert systematische Verzerrungen.
  2. Die EM-basierte Trennung von Diffusion und Sprüngen erfasst die Heteroskedastizität besser.
  3. Die Berücksichtigung geplanter Nachrichtenfenster verbessert die Vorhersage vor Ereignissen.

5. Bedeutung und Fazit

Wissenschaftlicher und praktischer Beitrag:

Einheitliche Sprache: Das Paper liefert das fehlende Pendant zur impliziten Volatilität für Vorhersagemärkte: die Belief-Volatilität und Sprungintensität.
Institutionalisierung: Mit dem wachsenden Interesse institutioneller Akteure (z. B. ICE-Investition in Polymarket) und steigenden Volumina ist eine Standardisierung notwendig, um Liquidität zu bündeln und Market-Making-Risiken handelbar zu machen.
Skalierbarkeit: Durch die Einführung von Derivaten (Varianz-Swaps, Korrelations-Swaps) können Market Maker ihre Risiken effizienter transferieren, ähnlich wie im Optionsmarkt. Dies ermöglicht es ihnen, enger zu quotieren und Märkte auch bei Nachrichtenflut liquide zu halten.

Zusammenfassende These:
Die Standardisierung ist wichtiger als perfekte Realitätsnähe. Durch die Einführung des RN-JD-Kernels wird ein gemeinsames Fundament geschaffen, das die Preisbildung, das Hedging und den Handel von Überzeugungsrisiken koordiniert und Vorhersagemärkte für institutionelle Anwendungen reif macht.