Experimental Demonstration of Commutation Relations Using Intensity Correlations

Technische Zusammenfassung: Experimentelle Demonstration von Kommutationsrelationen mittels Intensitätskorrelationen

Problemstellung
Die kanonische Kommutationsrelation ist ein fundamentales Element der Quantentheorie und bildet die Grundlage für die Heisenbergsche Unschärferelation. Während Unschärferelationen an verschiedenen physikalischen Systemen rigoros getestet wurden, blieb die direkte experimentelle Verifizierung der zugrunde liegenden Kommutationsrelation selbst schwer fassbar. Diese Schwierigkeit ergibt sich daraus, dass nicht-kommutierende Observablen keine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen und ihr Produkt im Allgemeinen nicht-hermitesch ist, was eine direkte Messung verhindert. Bisherige experimentelle Demonstrationen beschränkten sich weitgehend auf eindimensionale Qubit-Systeme oder stützten sich auf indirekte Methoden im Bereich kontinuierlicher Variablen, wie etwa die sequentielle Addition und Subtraktion von Photonen.

Methodik
Die Autoren schlagen eine Methode vor und demonstrieren diese, um den Erwartungswert des Feldoperator-Kommutators durch den quantitativen Vergleich zweier unterschiedlicher Intensitätskorrelationsfunktionen zu extrahieren: der Kreuzkorrelation und der Autokorrelation.

1. Theoretischer Rahmen:

   • Kreuzkorrelation ($g^{(2)}_{cross}$): Unter Verwendung eines Standard-Hanbury-Brown-und-Twiss (HBT)-Aufbaus, bei dem ein optisches Feld durch einen 50:50-Strahlteiler aufgeteilt und von zwei unabhängigen Detektoren detektiert wird. Diese Messung liefert eine normal geordnete Korrelationsfunktion: $g^{(2)}_{cross}(\tau) \propto \langle \hat{a}^\dagger(t) \hat{a}^\dagger(t+\tau) \hat{a}(t) \hat{a}(t+\tau) \rangle$.
   • Autokorrelation ($g^{(2)}_{auto}$): Erhalten durch die Aufzeichnung eines zeitaufgelösten Detektionsereignisses eines einzelnen Detektors (oder durch Zusammenführung zweier Ströme) und die Korrelation des Signals mit sich selbst. Dies liefert: $g^{(2)}_{auto}(\tau) \propto \langle \hat{a}^\dagger(t) \hat{a}(t) \hat{a}^\dagger(t+\tau) \hat{a}(t+\tau) \rangle$.
   • Die Verbindung zum Kommutator: Die theoretische Analyse zeigt, dass für einen reinen Quantenzustand die Differenz zwischen diesen Funktionen bei einer Zeitverzögerung von Null ($\tau=0$) direkt proportional zum Erwartungswert des bosonischen Kommutators $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger]$ ist. Speziell gilt: $g^{(2)}_{auto}(0) - g^{(2)}_{cross}(0) = \langle [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] \rangle / \langle \hat{a}^\dagger \hat{a} \rangle$. Der Peak bei der Null-Verzögerung in der Autokorrelation, der oft als Artefakt betrachtet wird, wird als direkte experimentelle Manifestation der Nicht-Kommutativität der Feldoperatoren identifiziert.

2. Experimentelle Implementierung:
   Die Autoren validierten diesen Rahmen unter Verwendung zweier unterschiedlicher Lichtquellen:

   • Einzelphotonenquelle: Ein einzelnes $^{174}\text{Yb}^+$-Ion, das im Fokus eines tiefen parabolischen Spiegels gefangen ist. Das Ion wurde durch einen 369,5 nm Laser angeregt, und die emittierte Fluoreszenz wurde gesammelt, durch einen Strahlteiler getrennt und von zwei Photomultiplier-Röhren (PMTs) detektiert. Die Detektionseffizienz wurde mittels einer zustandssensitiven Methode rigoros charakterisiert ($\eta \approx 4,61\%$).
   • Kohärente Quelle: Ein frequenz- und leistungsstabiler 369,5 nm Laser (Linienbreite $\approx 10$ Hz), der von der Ionenfalle in den Detektionspfad gestreut wurde.
   • Datenverarbeitung: Zeitgestempelte Detektionsereignisse wurden aufgezeichnet. Für $g^{(2)}_{cross}$ wurden die Ströme der beiden Detektoren korreliert. Für $g^{(2)}_{auto}$ wurden die Ströme zusammengeführt und mit sich selbst korreliert. Korrekturen wurden für optische Verluste, Detektor-Totzeiten und endliche Messzeitfenster angewandt.

Wichtigste Ergebnisse

• Einzelphotonenzustand: Das Experiment ergab $g^{(2)}_{auto}(0) = 714,93 \pm 0,19$ und $g^{(2)}_{cross}(0) = 0,016 \pm 0,002$. Unter Verwendung der gemessenen mittleren Photonenzahl und der Detektionseffizienz wurde der extrahierte Erwartungswert des Kommutators als $\langle [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] \rangle = 1,01 \pm 0,04$ ermittelt, was konsistent mit dem theoretischen Wert von eins ist.
• Kohärenter Zustand: Für die Laserquelle ergab sich $g^{(2)}_{auto}(0) = 841,68 \pm 0,24$ (konsistent mit $1 + 1/\langle N \rangle$) und $g^{(2)}_{cross}(0) = 0,97 \pm 0,02$. Der berechnete Erwartungswert des Kommutators war $\langle [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] \rangle = 1,00 \pm 0,02$, was ebenfalls in quantitativer Übereinstimmung mit der Quantentheorie steht.
• Zeitliches Verhalten: Für $\tau \neq 0$ wurden die Auto- und Kreuzkorrelationsfunktionen als identisch befunden, was bestätigt, dass Feldoperatoren zu unterschiedlichen Zeiten kommutieren, d. h. $[\hat{a}(t), \hat{a}^\dagger(t')] = \delta(t-t')$.

Bedeutung und Ansprüche
Das Paper beansprucht, die erste direkte experimentelle Demonstration der bosonischen Kommutationsrelation für optische Feldoperatoren basierend auf Intensitätskorrelationsmessungen zu liefern. Die Autoren betonen, dass die Unterscheidung zwischen Auto- und Kreuzkorrelation nicht bloß technischer Natur ist, sondern die fundamentale Konsequenz der Nicht-Kommutativität von Operatoren widerspiegelt.

Die von den Autoren hervorgehobenen Kernbeiträge sind:

1. Direkter Zugang: Etablierung eines Rahmens zur Bestimmung von Kommutationsrelationen durch Intensitätskorrelationen, ohne sequentielle Operationen oder eindimensionale Qubit-Systeme zu benötigen.
2. Universalität: Die Methode ist anwendbar auf beliebige optische Felder und arbeitet unabhängig davon, ob die Statistiken klassisch (kohärent) oder quantenmechanisch (Einzelphoton) sind.
3. Reinterpretation von Artefakten: Umdeutung des Null-Verzögerungs-Peaks in der Autokorrelation von einem technischen Artefakt hin zu einer direkten experimentellen Manifestation der bosonischen Kommutationsrelation.
4. Experimentelle Robustheit: Demonstration, dass diese fundamentale Quanteneigenschaft durch Standard-Intensitätskorrelationstechniken (HBT und Autokorrelation) verifiziert werden kann, die in typischen optischen Laboratorien zugänglich sind.

Die Autoren kommen zu dem Schluss, dass die Differenz zwischen diesen Korrelationsfunktionen bei Null-Verzögerung fundamentale Informationen enthält, die oft übersehen werden, und einen robusten sowie zugänglichen Weg zur Verifizierung der Nicht-Kommutativität von Quantenfeldoperatoren bietet.