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On Wagstaff primes in the $k$ -Lucas number sequence

Diese Arbeit beweist unter Verwendung linearer Formen in Logarithmen und der LLL-Reduktionsmethode, dass die einzigen Lösungen der Diophantischen Gleichung $L_n^{(k)} = (2^{\mathfrak{p}}+1)/3$ in der $k$ -Lucas-Folge die Tripel $(n,k,\mathfrak{p})\in\{(5,2,5),(6,4,7)\}\cup \{(2,k,3):k\ge 2\}$ sind.

Ursprüngliche Autoren: Herbert Batte

Veröffentlicht 2026-02-25

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Herbert Batte

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, die Mathematik ist ein riesiges, unendliches Universum voller Zahlen. In diesem Universum gibt es zwei besondere Arten von „Schatzsuchern":

Die Wagstaff-Primen: Das sind sehr spezielle, seltene Primzahlen (Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind). Sie haben eine ganz bestimmte Form: Sie entstehen, wenn man eine Potenz von 2 nimmt, 1 addiert und das Ergebnis durch 3 teilt. Man kann sie sich wie einen seltenen Goldklumpen vorstellen, der nur in einer bestimmten Schachtel liegt.
Die k-Lucas-Zahlen: Das ist eine Familie von Zahlenreihen, die sich wie ein Wachstumsschub verhalten. Jede neue Zahl in der Reihe ist die Summe der vorherigen k Zahlen. Wenn k klein ist, wachsen sie langsam; wenn k groß ist, explodieren sie förmlich in die Höhe. Man kann sich diese Reihen wie eine Familie vorstellen, bei der jedes Kind so groß wird wie die Summe aller seiner Geschwister vor ihm.

Die große Frage des Papers
Der Autor, Herbert Batte, stellt sich eine spannende Frage: Treffen sich diese beiden Welten? Gibt es einen Moment, in dem eine Zahl aus der k-Lucas-Familie exakt einem Wagstaff-Primen entspricht?

Es ist, als würde man fragen: „Gibt es einen Tag im Kalender, an dem das Wetter genau so ist wie an einem bestimmten historischen Feiertag, aber nur für eine ganz spezielle Art von Kalender?"

Die Reise der Entdeckung
Um diese Frage zu beantworten, muss Batte ein riesiges mathematisches Labyrinth durchqueren. Er nutzt dabei zwei mächtige Werkzeuge, die wie ein Mikroskop und ein Kompass funktionieren:

Das Mikroskop (Lineare Formen in Logarithmen): Diese Methode hilft ihm, die winzigen Unterschiede zwischen den riesigen Zahlen zu messen. Er zeigt, dass die k-Lucas-Zahlen und die Wagstaff-Primen sich zwar manchmal sehr nahe kommen, aber oft nicht genau übereinstimmen. Es ist wie beim Versuch, zwei riesige Berge zu vergleichen: Aus der Ferne sehen sie gleich aus, aber wenn man mit dem Mikroskop (den Logarithmen) hinsieht, sieht man, dass ihre Gipfel nicht exakt auf derselben Höhe liegen.
Der Kompass (LLL-Reduktion): Da die möglichen Antworten theoretisch unendlich groß sein könnten (man könnte unendlich lange suchen), braucht Batte einen Kompass, der ihn aus dem Dickicht führt. Diese Methode (LLL-Algorithmus) hilft ihm, die Suche drastisch einzuschränken. Statt unendlich lange zu suchen, sagt er: „Okay, wir müssen nur bis hierhin suchen, danach ist es unmöglich."

Das Ergebnis: Ein kleiner, aber feiner Fund
Nach all dieser harten Arbeit und vielen Berechnungen (die er mit einer speziellen Software namens SageMath durchgeführt hat) findet Batte die Antwort. Es gibt nur drei Fälle, in denen sich die beiden Welten treffen:

Der Klassiker: Wenn wir die einfachste Version der Lucas-Reihe nehmen (k=2), finden wir die Zahl 3. Das ist der kleinste Wagstaff-Prim.
Der Überraschungstreffer: In der normalen Lucas-Reihe (k=2) taucht später die Zahl 11 auf. Das ist auch ein Wagstaff-Prim.
Der Spezialfall: In einer etwas anderen Lucas-Reihe (k=4) finden wir die Zahl 43. Auch das ist ein Wagstaff-Prim.

Die Moral der Geschichte
Die Botschaft des Papers ist fast poetisch: Obwohl diese Zahlenreihen riesig und komplex sind und unendlich weit wachsen, gibt es nur drei Momente in der gesamten Unendlichkeit, in denen sie sich mit den seltenen Wagstaff-Primen treffen.

Man könnte sagen: Das Universum der Zahlen ist riesig und chaotisch, aber an genau drei Stellen gibt es eine perfekte Harmonie zwischen zwei völlig unterschiedlichen Mustern. Alles andere, was man sucht, ist nur Lärm.

Zusammenfassung für den Alltag:
Stellen Sie sich vor, Sie suchen nach einem bestimmten Lied, das nur an bestimmten Tagen im Jahr gespielt wird (Wagstaff-Primen), in einem riesigen Radio, das unendlich viele Kanäle hat (k-Lucas-Reihen). Der Autor hat bewiesen, dass dieses Lied nur auf drei ganz bestimmten Kanälen und zu drei ganz bestimmten Zeiten zu hören ist. Überall sonst ist nur Stille oder anderes Rauschen.

Titel: Über Wagstaff-Primzahlen in der k-Lucas-Folge

Autor: Herbert Batte
Quelle: arXiv:2602.20387v1 [math.NT] (veröffentlicht am 23. Februar 2026)

1. Problemstellung und Hintergrund

Das Paper untersucht die Schnittmenge zwischen zwei speziellen Klassen von Zahlen in der Zahlentheorie:

Wagstaff-Primzahlen: Primzahlen der Form $W = \frac{2^p + 1}{3}$ , wobei $p$ eine ungerade Primzahl ist. Beispiele sind 3, 11, 43, 683.
Verallgemeinerte k-Lucas-Zahlen ( $L_n^{(k)}$ ): Eine Folge, die durch die Rekursionsrelation $L_n^{(k)} = \sum_{i=1}^k L_{n-i}^{(k)}$ definiert ist, mit den Anfangswerten $L_0^{(k)} = 2$ , $L_1^{(k)} = 1$ und $L_j^{(k)} = 0$ für $2-k \le j \le -1$ . Für $k=2$ ergibt sich die klassische Lucas-Folge.

Das zentrale Ziel ist die Lösung der diophantischen Gleichung:
$L_n^{(k)} = \frac{2^p + 1}{3}$
in nicht-negativen ganzen Zahlen $n, k$ und einer ungeraden Primzahl $p$ . Der Autor motiviert diese Untersuchung durch eine kürzlich durchgeführte Arbeit von Rezaiguia et al., die zeigte, dass die einzige Wagstaff-Primzahl in der k-verallgemeinerten Fibonacci-Folge die Zahl 3 ist. Da k-Lucas-Zahlen ähnlich schnell wachsen wie k-Fibonacci-Zahlen, aber andere Startwerte haben, bestand die Frage, ob sie mehr Wagstaff-Primzahlen enthalten könnten.

2. Methodik

Die Beweistechnik kombiniert analytische Zahlentheorie, die Theorie linearer Formen in Logarithmen und computergestützte Reduktionsmethoden.

A. Analytische Abschätzungen und Binet-Formel

Wachstumsverhalten: Es wird gezeigt, dass für $2 \le n \le k$ gilt: $L_n^{(k)} = 3 \cdot 2^{n-2}$ . Für $n > k$ wächst die Folge exponentiell mit der Basis $\alpha$ , dem einzigen reellen Nullpunkt des charakteristischen Polynoms $\Psi_k(x) = x^k - x^{k-1} - \dots - 1$ . Es gilt die Abschätzung $\alpha^{n-1} \le L_n^{(k)} \le 2\alpha^n$ .
Binet-Formel: Die Lösung wird als $L_n^{(k)} = f_k(\alpha)(2\alpha - 1)\alpha^{n-1} + e_k(n)$ dargestellt, wobei der Fehlerterm $|e_k(n)| < 1.5$ ist. Dies ermöglicht die Approximation der diskreten Folge durch eine stetige Exponentialfunktion.

B. Lineare Formen in Logarithmen (Matveevs Theorem)

Um obere Schranken für die Variablen zu erhalten, wird das Theorem von Matveev über untere Schranken für lineare Formen in Logarithmen algebraischer Zahlen angewendet.

Es wird eine lineare Form $\Lambda = p \log 2 - (n-1) \log \alpha + \log(3(2\alpha-1)f_k(\alpha))$ konstruiert.
Durch die Anwendung von Matveevs Theorem wird eine untere Schranke für $|\Lambda|$ hergeleitet, die im Widerspruch zu einer oberen Schranke steht, die sich aus der Näherung der Binet-Formel ergibt.
Dies führt zu einer sehr großen, aber endlichen oberen Schranke für $n$ in Abhängigkeit von $k$ : $n < 2.0 \cdot 10^{15} k^4 (\log k)^3$ .

C. LLL-Reduktionsmethode

Da die durch Matveevs Theorem erhaltene Schranke für $n$ zu groß für eine direkte Brute-Force-Suche ist, wird die LLL-Reduktionsmethode (Lenstra-Lenstra-Lovász) verwendet, um die Schranke drastisch zu senken.

Es wird ein Gitter konstruiert, das die lineare Form approximiert.
Durch Berechnung einer reduzierten Basis und Anwendung von Lemmata (insb. Lemma 2.3 aus [14]) wird die obere Schranke für $n$ auf einen Bereich reduziert, der computergestützt überprüfbar ist.
Für den Fall $k \le 190$ wird $n$ auf $n \le 141$ reduziert.

3. Hauptergebnisse

Der Beweis wird in zwei Fälle unterteilt:

Fall $2 \le n \le k$ :
Hier gilt $L_n^{(k)} = 3 \cdot 2^{n-2}$ . Die Gleichung $3 \cdot 2^{n-2} = \frac{2^p+1}{3}$ führt zu $9 \cdot 2^{n-2} = 2^p + 1$ .
- Für $n=2$ ergibt sich $p=3$ (Lösung: $L_2^{(k)} = 3$ ).
- Für $n \ge 3$ ist die linke Seite gerade, die rechte ungerade; keine Lösungen.
Fall $n > k$ :
- Große $k$ ( $k > 190$ ): Durch Kombination der Abschätzung $n < 2^{k/2}$ mit der Binet-Formel und einer weiteren Ungleichung wird gezeigt, dass keine Lösungen existieren. Der Beweis führt zu einem Widerspruch ( $2^{k/2} < 648$ ), was $k < 19$ impliziert, im Widerspruch zur Annahme $k > 190$ .
- Kleine $k$ ( $k \le 190$ ): Nach Anwendung der LLL-Methode wird der Suchraum auf $k \in [2, 190]$ und $n \in [k+1, 141]$ eingeschränkt. Eine computergestützte Suche (mit SageMath 10.6) in diesem Bereich liefert die verbleibenden Lösungen.

Der Hauptsatz (Theorem 1.1) besagt:
Die einzigen ganzzahligen Lösungen $(n, k, p)$ der Gleichung $L_n^{(k)} = \frac{2^p+1}{3}$ mit $n \ge 0, k \ge 2$ und Primzahl $p \ge 3$ sind:
$(n, k, p) \in \{(5, 2, 5), (6, 4, 7)\} \cup \{(2, k, 3) : k \ge 2\}$

Konkret bedeutet dies:

$L_2^{(k)} = 3 = \frac{2^3+1}{3}$ für alle $k \ge 2$ .
$L_5^{(2)} = 11 = \frac{2^5+1}{3}$ (klassische Lucas-Zahl).
$L_6^{(4)} = 43 = \frac{2^7+1}{3}$ (4-verallgemeinerte Lucas-Zahl).

4. Bedeutung und Beitrag

Vervollständigung der Klassifikation: Das Paper schließt die Frage nach dem Vorkommen von Wagstaff-Primzahlen in k-Lucas-Folgen vollständig ab. Im Gegensatz zur k-Fibonacci-Folge, die nur die Wagstaff-Primzahl 3 enthält, enthalten k-Lucas-Folgen zusätzlich die Wagstaff-Primzahlen 11 und 43.
Methodische Anwendung: Die Arbeit demonstriert effektiv die Kombination von theoretischen Abschätzungen (Matveev) und algorithmischen Reduktionsverfahren (LLL), um diophantische Probleme in linearen Rekursionsfolgen zu lösen.
Erweiterung des Wissens: Es wird gezeigt, dass die Anfangswerte der Folge (hier 2 und 1 statt 0 und 1 bei Fibonacci) signifikanten Einfluss darauf haben, welche speziellen Primzahlen in der Folge auftreten können.

Zusammenfassend liefert das Paper einen rigorosen Beweis dafür, dass die Menge der Wagstaff-Primzahlen in k-Lucas-Folgen extrem begrenzt ist und vollständig klassifiziert werden kann.