🔢 mathematics

On Wagstaff primes in the $k$ -Lucas number sequence

In dit artikel wordt bewezen dat de enige oplossingen voor de Diophantische vergelijking waarbij een $k$ -Lucas-getal gelijk is aan een Wagstaff-priemgetal, de drietallen $(5,2,5)$ , $(6,4,7)$ en $(2,k,3)$ voor $k \ge 2$ zijn, met behulp van lineaire vormen in logaritmen en de LLL-reductiemethode.

Oorspronkelijke auteurs: Herbert Batte

Gepubliceerd 2026-02-25

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Herbert Batte

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat wiskunde een enorme bibliotheek is, gevuld met oneindige rijen getallen. In deze bibliotheek zijn er speciale "geheime codes" die we priemgetallen noemen. Deze getallen zijn als de atomen van de wiskunde: ze kunnen niet verder worden opgesplitst in kleinere, hele getallen.

Deze paper, geschreven door Herbert Batte, gaat over een spannende zoektocht in deze bibliotheek. Hij probeert twee heel verschillende soorten getallen met elkaar te laten "trouwen" en kijkt of ze een perfect huwelijk kunnen sluiten.

Hier is het verhaal, vertaald naar alledaags Nederlands:

1. De twee hoofdrolspelers

De Wagstaff-priemgetallen (De "Gouden Eieren")
Stel je een rij eieren voor die een magische formule volgen: $(2^p + 1) / 3$ . Als je dit getal berekent en het blijkt een priemgetal te zijn (alleen deelbaar door 1 en zichzelf), dan heb je een "Wagstaff-priemgetal".

Voorbeeld: Als $p=3$ , krijg je $(8+1)/3 = 3$ . Dat is een priemgetal.
Als $p=5$ , krijg je $(32+1)/3 = 11$ . Ook een priemgetal.
Deze getallen zijn zeldzaam en waardevol, net als gouden eieren.

De $k$ -Lucas-getallen (De "Bakstenen")
Nu kijken we naar een andere rij getallen, de $k$ -Lucas-getallen. Stel je een muur bouwen voor.

Je begint met twee specifieke bakstenen: een van 2 en een van 1.
De regel is simpel: elke nieuwe steen die je legt, is de som van de $k$ voorgaande stenen.
Als $k=2$ , tel je de twee vorige op (net als bij de bekende Fibonacci-rij, maar dan met een ander begin).
Als $k=3$ , tel je de drie vorige op, enzovoort.
Deze rij groeit razendsnel, net als een muur die steeds hoger wordt.

2. Het Grote Mysterie

De vraag die de auteur zich stelt, is als volgt:
"Kunnen we ooit een 'Wagstaff-ei' vinden dat precies op een 'Lucas-baksteen' ligt?"

Met andere woorden: Is er ooit een getal in de Lucas-rij dat exact gelijk is aan een Wagstaff-priemgetal?

In de wiskunde noemen we dit een Diophantische vergelijking. Het is alsof je probeert twee verschillende puzzels met elkaar te laten matchen.

3. De Oplossing: Een Kruisverhoor

De auteur, Batte, gaat te werk als een detective met twee geweldige wapens:

Wapen 1: De "Logaritmische Liniaal" (Lineaire vormen in logaritmen)
Omdat de getallen zo gigantisch groot worden (denk aan getallen met miljoenen cijfers), kun je ze niet gewoon aftellen. Batte gebruikt een geavanceerde wiskundige techniek (ontwikkeld door Alan Baker en Matveev) die werkt als een super-accurate liniaal.

Hij meet hoe ver de twee rijen van elkaar af liggen.
Hij bewijst dat als de rijen te ver uit elkaar groeien, ze nooit meer kunnen samenkomen.
Dit geeft hem een eerste grens: "Oké, we hoeven niet te zoeken tot het einde van de tijd. Als $n$ en $k$ groter zijn dan een bepaald getal, is het onmogelijk."

Wapen 2: De "LLL-Scanner" (LLL-reductie)
Zelfs met de eerste liniaal is de zoekruimte nog te groot om handmatig te checken (het zou duizenden jaren duren).

Hier komt de LLL-algoritme (een methode uit de cryptografie en lattice-theorie) om de hoek kijken.
Stel je voor dat je een berg zand hebt en je zoekt één specifiek graankorreltje. De LLL-methode is als een magische zeef die het zand zo ordent dat je de korreltjes die niet kunnen passen, direct verwijdert.
Hierdoor krimpt de zoekruimte van "oneindig" naar een heel klein, beheersbaar stukje: alleen kleine getallen.

4. Het Resultaat: De Drie Gelukkigen

Na al dit rekenwerk, de "liniaal" en de "zeef", kijkt Batte naar de overgebleven kleine getallen. Hij vindt precies drie situaties waarin de twee rijen elkaar ontmoeten:

Het kleine geval: Voor elke mogelijke versie van de Lucas-rij (waar $k \ge 2$ $k \geq 2$ ), is het getal op de 2e positie altijd 3. En 3 is een Wagstaff-priemgetal.
- Dit is als zeggen: "In elke versie van dit spel is het eerste prijsje altijd 3."
Het klassieke geval: Als we de standaard Lucas-rij nemen ( $k=2$ $k = 2$ ), vinden we op de 5e positie het getal 11.
- $11 = (2^5 + 1) / 3$ .
Het speciale geval: Als we de rij nemen waarbij we 3 vorige getallen optellen ( $k=4$ $k = 4$ ), vinden we op de 6e positie het getal 43.
- $43 = (2^7 + 1) / 3$ .

Conclusie:
Dat is het. Er zijn geen andere matches. Alle andere Wagstaff-priemgetallen (zoals 683, 2731, etc.) komen nooit voor in deze Lucas-rijen.

Samenvattend in een metafoor

Stel je voor dat je twee enorme treinen hebt die over parallelle sporen rijden.

Trein A (Wagstaff) stopt alleen op stations met een gouden bordje.
Trein B (Lucas) stopt op stations met een rood bordje.
De auteur heeft met zijn wiskundige gereedschappen bewezen dat deze twee treinen elkaar alleen op drie specifieke stations kruisen: Station 3, Station 11 en Station 43. Op alle andere stations in het hele universum van getallen rijden ze langs elkaar heen zonder elkaar te zien.

Dit paper is dus een bewijs dat de wiskunde, ondanks haar oneindige complexiteit, soms een heel strakke en beperkte structuur heeft.

Titel: Over Wagstaff-priemgetallen in de k-Lucas-getallenreeks

Auteur: Herbert Batte
Trefwoorden: Wagstaff-priemgetallen, k-generaals Lucas-getallen, lineaire vormen in logaritmen, LLL-reductiemethode.

1. Probleemstelling en Achtergrond

Het artikel richt zich op de Diophantische vergelijking die Wagstaff-priemgetallen relateert aan de k-generaals Lucas-getallenreeks.

Wagstaff-priemgetallen: Een Wagstaff-priemgetal is gedefinieerd als een priemgetal $p$ van de vorm $W = \frac{2^p + 1}{3}$ , waarbij $p$ een oneven priemgetal is. Voorbeelden zijn 3, 11, 43 en 683.
k-generaals Lucas-getallen: De reeks $(L_n^{(k)})_{n \ge 2-k}$ wordt gedefinieerd door de recurrente relatie:
$L_n^{(k)} = L_{n-1}^{(k)} + L_{n-2}^{(k)} + \dots + L_{n-k}^{(k)}$
met beginwaarden $L_0^{(k)} = 2$ , $L_1^{(k)} = 1$ , en $L_j^{(k)} = 0$ voor $2-k \le j \le -1$ . Voor $k=2$ levert dit de klassieke Lucas-getallen op.
Doel: Het onderzoek zoekt naar alle oplossingen $(n, k, p)$ in niet-negatieve gehele getallen voor de vergelijking:
$L_n^{(k)} = \frac{2^p + 1}{3}$
waarbij $p$ een oneven priemgetal is en $k \ge 2$ .

Dit werk wordt gemotiveerd door eerdere studies (o.a. Rezaiguia et al.) die een vergelijkbaar probleem voor de k-generaals Fibonacci-getallen onderzochten, waarbij bleek dat slechts één Wagstaff-priemgetal voorkwam. De auteurs willen onderzoeken of de Lucas-variant, die een vergelijkbare groeisnelheid heeft maar andere beginwaarden, meer Wagstaff-priemgetallen bevat.

2. Methodologie

De bewijsvoering combineert analytische getaltheorie met computeralgebra. De aanpak verloopt in meerdere fasen:

A. Schattingen en Binet-formule

De auteurs gebruiken de Binet-formule voor k-generaals Lucas-getallen. De reeks wordt benaderd door de dominante term van het karakteristieke polynoom $\Psi_k(x) = x^k - x^{k-1} - \dots - 1$ .

Er is een unieke reële wortel $\alpha > 1$ (in het interval $2(1-2^{-k}) < \alpha < 2$ ).
De term $L_n^{(k)}$ wordt benaderd als $f_k(\alpha)(2\alpha - 1)\alpha^{n-1}$ , waarbij de bijdrage van de andere wortels (die binnen de eenheidscirkel liggen) verwaarloosbaar klein is ( $< 1.5$ ).
Dit leidt tot de ongelijkheid: $|L_n^{(k)} - f_k(\alpha)(2\alpha - 1)\alpha^{n-1}| < 1.5$ .

B. Lineaire vormen in logaritmen (Matveev's stelling)

Om een bovengrens voor $n$ te vinden in termen van $k$ , gebruiken de auteurs de stelling van Matveev over lineaire vormen in logaritmen van algebraïsche getallen.

Ze herschrijven de vergelijking tot een vorm $\Gamma = e^\Lambda - 1$ , waarbij $\Lambda$ een lineaire vorm is in logaritmen van algebraïsche getallen ( $\gamma_1=2, \gamma_2=3(2\alpha-1)f_k(\alpha), \gamma_3=\alpha$ ).
Door te bewijzen dat $\Gamma \neq 0$ (via normberekeningen in het algebraïsche veld $\mathbb{Q}(\alpha)$ ), kunnen ze een ondergrens voor $|\Lambda|$ afleiden.
Het vergelijken van deze ondergrens met de bovenkant van de foutterm leidt tot een zeer grote maar expliciete bovengrens voor $n$ :
$n < 2.0 \cdot 10^{15} k^4 (\log k)^3$

C. Reductie van de bovengrens (LLL-algoritme)

De bovengrens uit de vorige stap is te groot voor directe brute-force zoektochten. De auteurs reduceren deze grens met behulp van de LLL-reductiemethode (Lenstra-Lenstra-Lovász).

Ze construeren een rooster (lattice) gebaseerd op de lineaire vorm in logaritmen.
Door een LLL-reducerde basis te vinden, kunnen ze een scherpere ondergrens voor de lineaire vorm bepalen.
Dit resulteert in een drastische reductie van de mogelijke waarden voor $n$ tot een bereik dat computerverificatie mogelijk maakt.

3. Belangrijkste Resultaten en Bewijsverloop

Het bewijs van Hoofdstelling 1.1 wordt opgesplitst in twee gevallen:

Geval 1: $2 \le n \le k$

In dit bereik geldt de exacte formule $L_n^{(k)} = 3 \cdot 2^{n-2}$ .

De vergelijking wordt $3 \cdot 2^{n-2} = \frac{2^p + 1}{3}$ , oftewel $9 \cdot 2^{n-2} = 2^p + 1$ .
Voor $n=2$ volgt $9 = 2^p + 1 \Rightarrow 2^p = 8 \Rightarrow p=3$ . Dit geeft de oplossing $(2, k, 3)$ voor alle $k \ge 2$ .
Voor $n \ge 3$ is de linkerkant even en de rechterkant oneven, wat onmogelijk is. Er zijn dus geen andere oplossingen in dit interval.

Geval 2: $n > k$

Subgeval $k > 190$ :
De auteurs tonen aan dat voor grote $k$ de ongelijkheid $n < 2^{k/2}$ geldt. Dit maakt het mogelijk om een sterkere benadering te gebruiken (vergelijking 2.9 in de tekst). Door de vergelijking te analyseren, leiden ze af dat $2^{k/2} < 648$ , wat impliceert dat $k < 19$ . Dit is een contradictie met de aanname $k > 190$ . Er zijn dus geen oplossingen voor $k > 190$ .
Subgeval $k \le 190$ :
Voor dit eindige bereik wordt de LLL-methode toegepast.
- De initiële bovengrens $n < 10^{29}$ wordt gereduceerd tot $n \le 141$ .
- Een computationele zoektocht (met SageMath 10.6) wordt uitgevoerd voor $k \in [2, 190]$ , $n \in [k+1, 141]$ en $p \in [3, n+3]$ .
- Er worden precies twee extra oplossingen gevonden:
  1. $L_5^{(2)} = 11 = \frac{2^5+1}{3}$ (dus $n=5, k=2, p=5$ ).
  2. $L_6^{(4)} = 43 = \frac{2^7+1}{3}$ (dus $n=6, k=4, p=7$ ).

4. Conclusie en Bijdrage

De auteurs bewijzen dat de enige oplossingen voor de Diophantische vergelijking $L_n^{(k)} = \frac{2^p + 1}{3}$ de volgende zijn:
$(n, k, p) \in \{(5, 2, 5), (6, 4, 7)\} \cup \{(2, k, 3) : k \ge 2\}$

Specifieke waarden:

$L_2^{(k)} = 3$ voor alle $k \ge 2$ .
$L_5^{(2)} = 11$ .
$L_6^{(4)} = 43$ .

Significantie:

Het artikel sluit de zoektocht naar Wagstaff-priemgetallen in k-Lucas-reeksen volledig af.
Het bevestigt dat, in tegenstelling tot wat men misschien zou verwachten gezien de snelle groei, er slechts een zeer beperkt aantal Wagstaff-priemgetallen in deze reeksen voorkomt.
Het werk demonstreert de kracht van het combineren van theoretische schattingen (Matveev) met numerieke reductietechnieken (LLL) om Diophantische vergelijkingen met hoge orde recurrente relaties op te lossen.

De resultaten worden gepresenteerd in de context van de wiskundige classificatiecodes 11A41 (Priemgetallen), 11B39 (Fibonacci- en Lucas-getallen), en 11D61/11D45 (Diophantische vergelijkingen).