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On the series expansion of k-free Dirichlet series and its analytical continuation

Der Artikel entwickelt eine k-freie Dirichlet-Reihe in eine Laurent-Reihe mit einem einfachen Pol, beweist eine Stieltjes-ähnliche Formel für die Koeffizienten des regulären Teils und leitet eine analytische Fortsetzung sowie eine Formel für $\zeta(\tfrac{1}{k})$ her.

Ursprüngliche Autoren: Artur Kawalec

Veröffentlicht 2026-03-25

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Artur Kawalec

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich die Welt der Zahlen wie ein riesiges, unendliches Universum vor. In diesem Universum gibt es eine berühmte „Landkarte", die Riemannsche Zeta-Funktion (ζ(s)). Diese Karte ist für Mathematiker extrem wichtig, aber sie hat ein Problem: An einer bestimmten Stelle, bei der Zahl 1, reißt die Karte ein. Sie explodiert buchstäblich in die Unendlichkeit. Das nennt man einen „Pol".

Der Autor dieses Artikels, Artur Kawalec, beschäftigt sich mit einer speziellen Art von Zahlen, den sogenannten k-freien Zahlen.

Was sind k-freie Zahlen? (Das „Quadratfreie"-Spiel)

Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Haufen Kugeln.

Eine quadratfreie Zahl (k=2) ist eine Kugel, auf der kein perfektes Quadrat (wie 4, 9, 16) als „Stempel" draufsteht. Die Zahl 12 ist nicht quadratfrei, weil sie durch 4 teilbar ist. Die Zahl 10 ist quadratfrei.
Eine k-freie Zahl ist eine Verallgemeinerung davon. Bei k=3 (kubikfrei) darf die Zahl nicht durch eine dritte Potenz (wie 8, 27) teilbar sein. Bei k=4 darf sie nicht durch eine vierte Potenz teilbar sein, und so weiter.

Je höher das „k" ist, desto mehr Zahlen sind erlaubt, und desto mehr ähnelt diese Menge der normalen Zahlenreihe.

Das große Ziel: Die Lücke füllen

Der Autor möchte eine neue Art von „Landkarte" für diese k-freien Zahlen zeichnen. Er nimmt die bekannte Formel für die Zeta-Funktion und teilt sie durch eine andere Zeta-Funktion, um nur die k-freien Zahlen zu isolieren.

Das Problem ist wieder dasselbe: Bei der Zahl 1 reißt die Karte wieder ein. Kawalec macht nun etwas Cleveres:

Die Lücke stopfen: Er schneidet den explodierenden Teil (den Pol) heraus und betrachtet nur den Rest.
Die Naht nähen: Er entwickelt eine neue Formel (eine sogenannte Laurent-Reihe), die beschreibt, wie sich die Zahlen genau um diesen Riss herum verhalten. Es ist, als würde man einen Riss in einem Stoff nicht einfach überkleben, sondern ihn mit einem kunstvollen, mathematischen Muster besticken, das die Struktur des Stoffes perfekt widerspiegelt.

Die Entdeckung: Ein neuer „Euler"-Konstante

In der Mathematik gibt es eine berühmte Konstante, den Euler-Mascheroni-Konstanten (γ). Sie beschreibt, wie sich die Summe der Kehrwerte der Zahlen (1 + 1/2 + 1/3 + ...) im Vergleich zum natürlichen Logarithmus verhält. Es ist eine Art „Grundrauschen" der Zahlenwelt.

Kawalec entdeckt, dass es für jede Art von k-freien Zahlen eine eigene Version dieser Konstante gibt.

Für quadratfreie Zahlen (k=2) gibt es eine Konstante γ_M,2.
Für kubikfreie Zahlen (k=3) gibt es γ_M,3.
Und so weiter.

Die spannende Beobachtung: Wenn man das „k" immer größer macht (also immer strengere Regeln für die Teilbarkeit aufhebt), nähern sich diese neuen Konstanten immer mehr der ursprünglichen Euler-Konstante an.

Metapher: Stellen Sie sich vor, Sie haben verschiedene Filter für Kaffee. Ein grober Filter (kleines k) lässt viel Schlamm durch, ein feiner Filter (großes k) lässt fast nur reines Wasser durch. Je feiner der Filter wird, desto mehr ähnelt das Ergebnis dem reinen Wasser (der ursprünglichen Konstante).

Die Reise in die Tiefe: Was passiert bei 1/k?

Ein besonders spannender Teil des Artikels untersucht, was passiert, wenn man die Formel nicht bei 1, sondern bei 1/k betrachtet.
Normalerweise ist die Zeta-Funktion bei diesen Werten sehr schwer zu berechnen. Kawalec zeigt jedoch, dass man den Wert von ζ(1/k) (also z.B. ζ(1/2) oder ζ(1/3)) berechnen kann, indem man eine spezielle Summe über die k-freien Zahlen betrachtet.

Das Bild dazu:
Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, die genaue Höhe eines Berges zu messen, aber Sie können nicht direkt auf den Gipfel steigen. Stattdessen laufen Sie einen langen, gewundenen Pfad (die Summe über die Zahlen) und nutzen eine spezielle Formel, um aus Ihren Schritten die Höhe des Gipfels zu berechnen.
Der Autor zeigt, dass dieser Pfad zwar stark hin und her wackelt (oszilliert), aber im großen Ganzen genau auf den richtigen Wert zuläuft. Je weiter man läuft (je größer die Zahl x wird), desto ruhiger wird das Wackeln, bis man den exakten Wert des „Berggipfels" (ζ(1/k)) sieht.

Zusammenfassung für den Alltag

Dieser Artikel ist im Grunde eine Anleitung, wie man mit „defekten" mathematischen Karten (die bei 1 explodieren) umgeht, indem man sie in eine neue, stabile Form bringt.

Er definiert Regeln für „saubere" Zahlen (k-frei).
Er findet eine neue, universelle Konstante für jede dieser Regeln, die sich wie ein Magnet zur alten Euler-Konstante verhält.
Er beweist, dass man mit diesen Regeln auch Werte berechnen kann, die bisher als sehr schwer zugänglich galten (wie ζ(1/2)).

Es ist wie das Entdecken eines neuen Instruments im Orchester der Zahlen: Man kann damit nicht nur bekannte Melodien spielen, sondern auch Töne erzeugen, die vorher als unmöglich galten, und zwar mit einer Präzision, die man durch geschicktes „Nähen" der mathematischen Lücken erreicht.

1. Problemstellung

Der Artikel befasst sich mit der Verallgemeinerung von Ergebnissen über quadratfreie Dirichlet-Reihen auf den allgemeinen Fall von $k$ -freien Zahlen (für ganze Zahlen $k \ge 2$ ). Eine ganze Zahl $n$ wird als $k$ -frei bezeichnet, wenn sie durch keine $k$ -te Potenz größer als 1 teilbar ist.

Das zentrale Objekt der Untersuchung ist die Dirichlet-Reihe:
$\frac{\zeta(s)}{\zeta(ks)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu^{(k)}(n)}{n^s}$
wobei $\mu^{(k)}(n)$ die Indikatorfunktion für $k$ -freie Zahlen ist (1, falls $n$ $k$ -frei, sonst 0). Diese Reihe konvergiert absolut für $\Re(s) > 1$ .

Die Hauptaufgaben des Artikels sind:

Die Entwicklung dieser Reihe in eine Laurent-Reihe um den Pol bei $s=1$ .
Die Herleitung einer Stieltjes-ähnlichen Formel für die Koeffizienten des regulären Teils dieser Entwicklung.
Die Untersuchung einer alternativen analytischen Fortsetzung der Reihe.
Die Entwicklung einer expliziten Formel zur Berechnung von $\zeta(1/k)$ für $k \ge 2$ unter Verwendung der $k$ -freien Indikatorfunktion.

2. Methodik

Der Autor verwendet eine Kombination aus analytischer Zahlentheorie und komplexer Analysis:

Dirichlet-Reihen und Indikatorfunktionen: Es wird die Beziehung zwischen der $k$ -freien Indikatorfunktion $\mu^{(k)}(n)$ und der Möbius-Funktion $\mu(n)$ genutzt: $\mu^{(k)}(n) = \sum_{d^k|n} \mu(d)$ .
Laurent-Entwicklung: Um den Pol $s=1$ wird die Funktion $\frac{\zeta(s)}{\zeta(ks)}$ entwickelt. Da $\zeta(s)$ einen einfachen Pol bei $s=1$ mit Residuum 1 hat und $\zeta(ks)$ bei $s=1$ den Wert $\zeta(k)$ annimmt, besitzt die Quotientenfunktion einen einfachen Pol bei $s=1$ mit dem Residuum $1/\zeta(k)$ .
Stieltjes-Integration: Zur Analyse der Koeffizienten und der analytischen Fortsetzung wird die Summation über $k$ -freie Zahlen als Stieltjes-Integral bezüglich der Zählfunktion $Q_k(x) = \sum_{n \le x} \mu^{(k)}(n)$ umgeschrieben.
Asymptotische Analyse: Die Zählfunktion wird asymptotisch als $Q_k(x) = \frac{x}{\zeta(k)} + f_k(x)$ dargestellt, wobei $f_k(x)$ der Fehlerterm ist. Unter der Annahme der Riemannschen Hypothese (RH) gilt $f_k(x) = O(x^{1/2k})$ .
Differentiation und Grenzwerte: Die Koeffizienten der Laurent-Reihe werden durch Differentiation der Funktion nach $s$ und anschließendem Grenzübergang $s \to 1$ bestimmt.

3. Wichtige Beiträge und Ergebnisse

A. Laurent-Reihenentwicklung und Koeffizientenformel (Theorem 1)

Der Artikel leitet eine allgemeine Formel für die Koeffizienten $\gamma_{M,k}^n$ der Laurent-Reihe her:
$\frac{\zeta(s)}{\zeta(ks)} = \frac{1}{\zeta(k)(s-1)} + \sum_{n=0}^{\infty} \gamma_{M,k}^n \frac{(s-1)^n}{n!}$

Für die Koeffizienten wird eine Logarithmus-Limit-Formel (verallgemeinerte Wolf-Formel) bewiesen:
$\gamma_{M,k}^n = \lim_{x \to \infty} (-1)^n \left( \sum_{j=1}^{\lfloor x \rfloor} \frac{\mu^{(k)}(j) \log^n(j)}{j} - \frac{\log^{n+1}(x)}{\zeta(k)(n+1)} \right)$
Dies verallgemeinert ein bekanntes Ergebnis von Wolf für den Fall $k=2$ (quadratfrei) auf beliebige $k \ge 2$ .

B. Verallgemeinerte Euler-Konstante ( $\gamma_{M,k}$ )

Für den Fall $n=0$ wird eine verallgemeinerte Konstante $\gamma_{M,k}$ definiert, die analog zur Euler-Mascheroni-Konstante $\gamma$ ist:
$\gamma_{M,k} = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{n \le x} \frac{\mu^{(k)}(n)}{n} - \frac{1}{\zeta(k)} \log x \right)$
Der Autor leitet eine geschlossene Formel für diese Konstante her:
$\gamma_{M,k} = \frac{\gamma}{\zeta(k)} - \frac{k \zeta'(k)}{\zeta(k)^2}$
Es wird gezeigt, dass $\lim_{k \to \infty} \gamma_{M,k} = \gamma$ , da die $k$ -freien Zahlen mit wachsendem $k$ gegen alle natürlichen Zahlen konvergieren.

C. Numerische Berechnungen

Die Arbeit enthält hochpräzise numerische Berechnungen (bis zu 30 Dezimalstellen) für die ersten 10 Koeffizienten $\gamma_{M,k}^n$ für $k=2$ bis $k=5$ . Diese wurden durch numerische Differentiation der regulären Funktion (unter Subtraktion des Polterms) mittels Software wie Mathematica oder Pari/GP ermittelt.

D. Analytische Fortsetzung und Formel für $\zeta(1/k)$

Der Artikel stellt eine analytische Fortsetzung der Dirichlet-Reihe für $\Re(s) > \frac{1}{2k}$ (unter Annahme der RH) bereit:
$\frac{\zeta(s)}{\zeta(ks)} = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{n \le x} \frac{\mu^{(k)}(n)}{n^s} - \frac{x^{1-s}}{\zeta(k)(1-s)} \right)$

Ein besonders bedeutendes Ergebnis ist die Herleitung einer Formel zur Berechnung von $\zeta(1/k)$ für $k \ge 2$ . Da $\zeta(ks)$ bei $s=1/k$ einen Pol hat, verhält sich die Funktion $\frac{\zeta(s)}{\zeta(ks)}$ bei $s=1/k$ wie eine Nullstelle. Durch Analyse des asymptotischen Verhaltens und Differentiation erhält man:
$\zeta\left(\frac{1}{k}\right) = \lim_{x \to \infty} \left( -\frac{1}{k} \sum_{n \le x} \frac{\mu^{(k)}(n)(\log n + \frac{k}{k-1})}{n^{1/k}} + \frac{1}{\zeta(k)(k-1)} x^{1-1/k} \log x \right)$

4. Signifikanz und Bedeutung

Verallgemeinerung: Der Artikel erweitert fundamentale Ergebnisse der analytischen Zahlentheorie von quadratfreien ( $k=2$ ) auf $k$ -freie Zahlen, was ein tieferes Verständnis der Struktur von Dirichlet-Reihen mit Indikatorfunktionen für Teilbarkeitseigenschaften bietet.
Neue Konstanten: Die Definition und Berechnung der verallgemeinerten Konstanten $\gamma_{M,k}$ füllt eine Lücke in der Literatur und bietet neue numerische Daten für die asymptotische Analyse von $k$ -freien Zahlen.
Berechnung von $\zeta(1/k)$ : Die vorgestellte Formel für $\zeta(1/k)$ ist neuartig, da sie den Wert der Riemannschen Zeta-Funktion an positiven rationalen Stellen $1/k$ (wo die Reihe divergiert) durch eine regulierte Summe über $k$ -freie Zahlen ausdrückt.
Numerische Validierung: Die Arbeit liefert nicht nur theoretische Beweise, sondern auch numerische Verifikationen. Die grafische Darstellung der Konvergenz für $k=2,3,4,5$ zeigt, dass die Formeln zwar oszillierend sind, aber gegen die bekannten Werte von $\zeta(1/k)$ konvergieren, was die praktische Anwendbarkeit der Formeln unterstreicht.

Zusammenfassend liefert der Artikel einen rigorosen analytischen Rahmen für das Studium $k$ -freier Dirichlet-Reihen, liefert neue geschlossene Formeln für ihre Koeffizienten und eröffnet neue Wege zur numerischen Berechnung von Zeta-Werten an kritischen Stellen.