On the series expansion of k-free Dirichlet series and its analytical continuation

Título: Sobre a expansão em série de séries de Dirichlet $k$-livres e sua continuação analítica

1. Problema e Contexto

O artigo aborda a generalização de resultados conhecidos sobre a série de Dirichlet para inteiros livres de quadrados (square-free, $k=2$) para o caso geral de inteiros $k$-livres (onde $k \ge 2$). Um inteiro $n$ é definido como $k$-livre se não for divisível por nenhuma potência $k$-ésima perfeita ($d^k | n$).

O objeto central de estudo é a função geradora dada pela razão de funções Zeta de Riemann:
$$\frac{\zeta(s)}{\zeta(ks)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu^{(k)}(n)}{n^s}$$
onde $\mu^{(k)}(n)$ é a função indicadora de inteiros $k$-livres. A série converge absolutamente para $\Re(s) > 1$. O problema principal é desenvolver:

1. Uma expansão em série de Laurent em torno do polo em $s=1$.
2. Uma fórmula análoga à de Stieltjes para os coeficientes dessa expansão.
3. Uma continuação analítica da série para regiões além de $\Re(s) > 1$.
4. Fórmulas explícitas para os valores $\zeta(1/k)$ em termos de somas parciais da série de Dirichlet.

2. Metodologia

O autor utiliza uma combinação de análise complexa, teoria analítica dos números e integração de Stieltjes. Os principais passos metodológicos incluem:

• Definição da Função Indicadora: Utilização da relação $\mu^{(k)}(n) = \sum_{d^k|n} \mu(d)$, onde $\mu$ é a função de Möbius padrão.
• Função de Contagem Assintótica: Definição da função de contagem $k$-livre $Q_k(x) = \sum_{n \le x} \mu^{(k)}(n)$, que satisfaz a assintótica $Q_k(x) \sim \frac{x}{\zeta(k)}$. O autor decompõe essa função em uma parte principal e um termo de erro $f_k(x)$, assumindo limites baseados no Teorema dos Números Primos e, opcionalmente, na Hipótese de Riemann (RH) para obter limites mais rigorosos ($O(x^{1/2k})$).
• Integração de Stieltjes: Aplicação de integração por partes para conectar as somas parciais da série de Dirichlet com integrais envolvendo o termo de erro $f_k(t)$. Isso permite isolar os termos polinomiais e logarítmicos que surgem na expansão.
• Expansão em Série de Laurent: Desenvolvimento da série de Laurent de $\frac{\zeta(s)}{\zeta(ks)}$ em torno de $s=1$, separando o polo simples e a parte regular.
• Continuação Analítica via Limite: Derivação de uma fórmula de limite para estender o domínio de convergência da série para $\Re(s) > \frac{1}{2k}$ (assumindo RH), subtraindo o termo singular da soma parcial.

3. Principais Contribuições e Resultados

A. Expansão em Série de Laurent e Coeficientes (Teorema 1)
O autor deriva uma fórmula de limite logarítmico geral para os coeficientes $\gamma_{M,k}^n$ da parte regular da expansão de Laurent:
$$\frac{\zeta(s)}{\zeta(ks)} = \frac{1}{\zeta(k)(s-1)} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma_{M,k}^n}{n!} (s-1)^n$$
O Teorema 1 estabelece que:
$$\gamma_{M,k}^n = \lim_{x \to \infty} (-1)^n \left( \sum_{j=1}^{x} \frac{\mu^{(k)}(j) \log^n(j)}{j} - \frac{\log^{n+1}(x)}{\zeta(k)(n+1)} \right)$$
Este resultado generaliza uma fórmula descoberta anteriormente por Wolf para o caso $k=2$.

B. Generalização da Constante de Euler-Mascheroni ($\gamma_{M,k}$)
Para o caso $n=0$, o artigo define uma constante generalizada $\gamma_{M,k}$, análoga à constante de Euler-Mascheroni $\gamma$, mas para a série harmônica $k$-livre:
$$\sum_{n \le x} \frac{\mu^{(k)}(n)}{n} = \gamma_{M,k} + \frac{1}{\zeta(k)} \log x + O\left(\frac{1}{x}\right)$$
O autor fornece uma fórmula de forma fechada para $\gamma_{M,k}$:
$$\gamma_{M,k} = \frac{\gamma}{\zeta(k)} - \frac{k \zeta'(k)}{\zeta(k)^2}$$
Além disso, demonstra-se que $\lim_{k \to \infty} \gamma_{M,k} = \gamma$, pois a série $k$-livre converge para a série harmônica padrão à medida que $k$ aumenta. O artigo inclui tabelas com valores de alta precisão (30 casas decimais) para $\gamma_{M,k}$ e seus derivados para $k$ de 2 a 11.

C. Continuação Analítica
O artigo estabelece uma fórmula de continuação analítica válida para $\Re(s) > \frac{1}{2k}$ (exceto em $s=1$):
$$\frac{\zeta(s)}{\zeta(ks)} = \lim_{x \to \infty} \left( \sum_{n \le x} \frac{\mu^{(k)}(n)}{n^s} - \frac{x^{1-s}}{\zeta(k)(1-s)} \right)$$
Esta fórmula é uma generalização da fórmula clássica de Euler-Maclaurin para a função Zeta.

D. Cálculo de $\zeta(1/k)$
Um resultado significativo é a derivação de uma fórmula para calcular os valores da função Zeta em pontos racionais $s = 1/k$ (onde $k \ge 2$), que são polos de $\zeta(ks)$ no denominador da função original. O autor obtém:
$$\zeta(1/k) = \lim_{x \to \infty} \left( -\frac{1}{k} \sum_{n \le x} \frac{\mu^{(k)}(n)(\log n + \frac{k}{k-1})}{n^{1/k}} + \frac{1}{\zeta(k)(k-1)} x^{1-1/k} \log x \right)$$
O artigo valida numericamente essa fórmula para $k=2, 3, 4, 5$, mostrando que as séries oscilam em torno dos valores conhecidos de $\zeta(1/k)$ (ex: $\zeta(1/2) \approx -1.46035$), com a amplitude das oscilações decaindo lentamente.

4. Significado e Impacto

• Generalização Teórica: O trabalho preenche uma lacuna teórica ao estender resultados específicos do caso quadrático-livre ($k=2$) para qualquer inteiro $k \ge 2$, unificando a teoria das séries de Dirichlet para inteiros livres de potências.
• Novas Constantes: A introdução e cálculo preciso das constantes $\gamma_{M,k}$ oferecem novos insights sobre a distribuição de inteiros $k$-livres e sua relação com a constante de Euler.
• Ferramentas Computacionais: As fórmulas derivadas para $\zeta(1/k)$ fornecem métodos alternativos para calcular valores da função Zeta em pontos críticos, embora a convergência seja lenta e oscilatória, o que é típico de somas condicionais envolvendo funções multiplicativas.
• Conexão com Hipótese de Riemann: A análise dos limites de erro e a extensão do domínio de convergência dependem explicitamente da Hipótese de Riemann, reforçando a ligação entre a distribuição de inteiros livres de potências e os zeros da função Zeta.

Em resumo, o artigo fornece uma estrutura analítica robusta para o estudo de séries de Dirichlet $k$-livres, oferecendo novas fórmulas de limite, constantes generalizadas e métodos de continuação analítica que são fundamentais para a teoria analítica dos números moderna.