Discrete-Time Model of a Two-Speed PowerShift suitable for Real-Time Control and Simulation

Problemstellung

Die Modellierung von Fahrzeugantriebssträngen ist aufgrund der Interaktion verschiedener physikalischer Subsysteme (mechanisch, elektrisch, elektromechanisch) komplex. Eine besondere Herausforderung stellt die Modellierung von Reibungsphänomenen (statische und Coulomb-Reibung) bei der Ein- und Ausrückung von Kupplungen in Powershift-Getrieben dar.

• Herausforderung: Herkömmliche kontinuierliche Zeitmodelle (Continuous-Time) für solche Systeme leiden unter der Variabilität der Systemdimension (durch das Ein- und Ausrücken von Kupplungen). Dies erfordert oft variable Zeitschrittgrößen und Nullstellen-Detektion (Zero-Crossing Detection), was die Echtzeitfähigkeit (Real-Time Applicability) einschränkt und die Berechnung aufwendig macht.
• Ziel: Entwicklung eines diskreten Zeitmodells (Discrete-Time), das die exakte Berechnung der für das Kupplungseinrasten benötigten Reibungsmomente ermöglicht und somit für die Echtzeitsteuerung und -simulation geeignet ist.

Methodik

Die Autoren stellen einen neuen diskreten Ansatz vor, der auf der Rückwärts-Euler-Diskretisierung (Euler backward discretization) basiert. Das Modell beschreibt ein Zwei-Gang-Powershift-System mit zwei Trägheitsmassen ($J_1, J_2$) und zwei Kupplungen (a und b).

1. Diskrete Dynamische Gleichungen:

   • Die Winkelgeschwindigkeiten $\omega_1$ und $\omega_2$ werden diskretisiert.
   • Die Differenzgeschwindigkeiten (Slip) $\delta_a$ und $\delta_b$ werden definiert, um den Zustand der Kupplungen zu bestimmen.
   • Die Reibungsmomente $M_{ca}$ und $M_{cb}$ werden als Funktion der Slip-Richtung und einer Sättigungsfunktion $K$ modelliert.
   • Durch Umformung der Bewegungsgleichungen in Matrixform wird eine direkte Beziehung zwischen den Eingangsgrößen (Drehmomente, vorherige Geschwindigkeiten) und den benötigten Kupplungsmomenten hergeleitet.

2. Logik für Kupplungszustände:

   • Einzelnes Einrasten (Single Gear Engagement): Es wird berechnet, welches exakte Moment nötig ist, um eine Kupplung zu schließen, während die andere offen ist, basierend auf der Bedingung $\delta = 0$.
   • Vollverriegelung (Full Lock Condition): Es wird ein Szenario modelliert, in dem beide Kupplungen gleichzeitig geschlossen sind (alle Wellen synchronisiert). Hier wird ein Gleichungssystem gelöst, das die Momente beider Kupplungen simultan bestimmt, um den Slip auf Null zu halten.
   • Steuerlogik (Algorithm 1): Ein Pseudocode-Algorithmus bestimmt den Zustand der Kupplungen (geschlossen/offen) basierend auf den vorherigen Geschwindigkeiten und den aktuellen Drehmomenten und berechnet daraufhin die erforderlichen Kupplungsmomente.

3. Vergleichsmodell:

   • Zum Vergleich wurde ein entsprechendes kontinuierliches Zeitmodell implementiert, das in MATLAB/Simulink mit einem variablen Zeitschritt-Solver (ode45) läuft.

Wesentliche Beiträge

• Neues Diskretes Modell: Einführung eines exakten diskreten Modells für das Kupplungsmanagement in Powershift-Getrieben, das sowohl Einzel- als auch Gleichzeitige Kupplungsphasen abdeckt.
• Echtzeitfähigkeit: Beseitigung der Notwendigkeit für variable Zeitschritte und Nullstellen-Detektion, was das Modell für Echtzeitanwendungen (z. B. Hardware-in-the-Loop, ECU-Steuerung) prädestiniert.
• Erweiterbare Architektur: Der Ansatz ist nicht auf Powershifts beschränkt, sondern bietet eine Grundlage für die Modellierung anderer komplexer Bauteile wie Drehmomentwandler oder Bremsen.

Ergebnisse

Die Autoren führten umfangreiche Simulationen durch (Zeitraum 5 Sekunden, Schrittweite $T_s = 20$ ms für diskret vs. variabler Schritt für kontinuierlich) und verglichen die Ergebnisse:

• Genauigkeit: Die Ergebnisse des diskreten Modells stimmen sehr gut mit denen des kontinuierlichen Modells überein. Sowohl die Winkelgeschwindigkeiten als auch die Kupplungsmomente zeigen ein nahezu identisches Verhalten während der Schaltphasen (Ein- und Ausrücken sowie Vollverriegelung).
• Zeitliche Diskretisierung: Im Gegensatz zum kontinuierlichen Modell, das bei kritischen Phasen (Kupplungswechsel) die Schrittweite automatisch verkleinert (was zu ungleichmäßigen Abtastzeitpunkten führt), arbeitet das diskrete Modell mit festen, gleichmäßig verteilten Zeitschritten.
• Berechnungszeit:
  • Die Boxplots zeigen, dass die mittlere Ausführungszeit pro Simulationsschritt für das diskrete Modell (bei verschiedenen Schrittweiten) mit der des kontinuierlichen Modells vergleichbar ist (im Mikrosekunden-Bereich).
  • Das kontinuierliche Modell benötigt jedoch variable Schritte, um die Genauigkeit zu halten, was die Vorhersagbarkeit und Echtzeitfähigkeit beeinträchtigt.
• Robustheit: Das diskrete Modell bleibt auch bei kleineren Schrittweiten stabil und genau, ohne dass die Rechenlast exponentiell ansteigt wie bei der Verfeinerung des kontinuierlichen Solvers.

Bedeutung und Fazit

Das Paper demonstriert erfolgreich, dass ein diskretes Zeitmodell für komplexe mechanische Systeme mit Reibungselementen entwickelt werden kann, das die Genauigkeit kontinuierlicher Modelle erreicht, aber die Vorteile der Echtzeitfähigkeit bietet.

• Praktische Relevanz: Die Methode ermöglicht die direkte Implementierung in Steuergeräten (ECUs) für die Regelung von Getrieben, ohne auf komplexe, rechenintensive kontinuierliche Solver angewiesen zu sein.
• Zukunftsperspektive: Die vorgestellte Methodik ebt den Weg für die präzise und effiziente Modellierung weiterer kritischer Komponenten in Fahrzeugantriebssträngen, was die Entwicklung fortschrittlicher Fahrstrategie- und Regelungsalgorithmen beschleunigen kann.

Zusammenfassend stellt die Arbeit einen signifikanten Schritt hin zu einer praxistauglichen, rechen-effizienten und hochpräzisen Simulationstechnologie für moderne Fahrzeugantriebe dar.