A note on several inverse problems with generally random coefficients

Technisches Fazit: Eine Anmerkung zu mehreren inversen Problemen mit allgemein zufälligen Koeffizienten

Problemstellung
Dieser Beitrag untersucht inverse Probleme für elliptische Gleichungen mit zufälligen Koeffizienten, wobei der Schwerpunkt auf der Schrödinger-Gleichung $(-\Delta + q)u = 0$ auf einem beschränkten Gebiet $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ liegt. Die zentrale Fragestellung besteht darin, welche Informationen über das zufällige Potential $q(\omega, x)$ aus verschiedenen statistischen Zusammenfassungen der Rand- oder Innenraumdaten gewonnen werden können. Die Zufälligkeit wird als „allgemein zufällig" angenommen, was bedeutet, dass keine spezielle probabilistische Struktur (wie Gaußsche Verteilung, störende Kleinheit, mikrolokale Isotropie oder Träger auf Inklusionen) auferlegt wird.

Die Studie vergleicht die Rekonstruierbarkeit des Gesetzes des Potentials aus vier verschiedenen Datentypen:

1. Das vollständige Wahrscheinlichkeitsgesetz der Dirichlet-zu-Neumann-Abbildung (DN-Abbildung), $\text{Law}(\Lambda_q)$.
2. Der Erwartungswert der DN-Abbildung, $\mathbb{E}\Lambda_q$.
3. Endlich viele gemeinsame Momente der Randbilinearform $\langle \Lambda_q f, g \rangle$.
4. Der gemittelte Innenraum-Greensche Operator, $\mathbb{E}G_q$, wobei $G_q = (-\Delta_D + q)^{-1}$.

Methodik
Der Beitrag kombiniert explizite radiale Konstruktionen, symbolische Kalküle für Pseudodifferentialoperatoren und maßtheoretische Argumente.

• Radiale Gegenbeispiele: Um die Grenzen von Randdaten aufzuzeigen, konstruiert der Autor explizite glatte, nichtnegative, radiale Potentiale in der Einheitskugel von $\mathbb{R}^3$. Durch die Analyse der Eigenwerte der DN-Abbildung in der Basis der sphärischen Harmonischen identifiziert der Beitrag eine affine Abhängigkeit dieser Eigenwerte vom Quadrat eines Parameters $N$ (wobei das Potential über $Q_N$ definiert ist). Dies ermöglicht die Konstruktion verschiedener Potentiale $q_1, q_2$ und eines deterministischen Potentials $q$, sodass $\Lambda_q = \frac{1}{2}\Lambda_{q_1} + \frac{1}{2}\Lambda_{q_2}$ gilt.
• Momentenhierarchien: Unter Verwendung von Eigenschaften der Vandermonde-Matrix konstruiert der Beitrag zufällige Potentiale, die endlich viele Werte annehmen, sodass deren gemeinsame Momente der DN-Abbildung bis zu einer beliebigen festen Ordnung $M$ übereinstimmen, ihre mittleren Potentiale jedoch unterschiedlich sind.
• Symbolische Analyse: Für Innenraumdaten nutzt der Beitrag das vollständige Innensymbol des Greenschen Operators. Durch Mittelung der Parametrix-Entwicklung der Resolvente $(-\Delta + q)^{-1}$ isoliert der Autor Terme in der Symbolentwicklung, die punktweisen Momenten des Potentials und seiner Ableitungen entsprechen.
• Deterministische Eindeutigkeits-Hebungen: Der Beitrag wendet den Lusin-Souslin-Satz an, um zu zeigen, dass, wenn ein inverses deterministisches Problem auf einer Borel-Klasse injektiv ist, dann das gemeinsame Gesetz der Einträge der DN-Abbildung (bezüglich einer dichten Folge von Randfunktionen) das Gesetz des zufälligen Koeffizienten eindeutig bestimmt.

Hauptbeiträge und Ergebnisse

1. Hindernis für gemittelte Randabbildungen:
   Das primäre negative Ergebnis besteht darin, dass der erwartete Dirichlet-zu-Neumann-Operator, $\mathbb{E}\Lambda_q$, das mittlere Potential $\mathbb{E}q$ nicht bestimmt. Der Beitrag konstruiert ein zweiwertiges zufälliges Potential $Q$ und ein deterministisches Potential $q^*$, sodass $\mathbb{E}\Lambda_Q = \Lambda_{q^*}$ gilt, aber $q^* \neq \mathbb{E}Q$. Dieses Hindernis erstreckt sich auf jede endliche Hierarchie gemeinsamer Momente; das Wissen um alle Momente von $\langle \Lambda_q f, g \rangle$ bis zur Ordnung $M$ reicht nicht aus, um $\mathbb{E}q$ zu bestimmen. Dies zeigt, dass Mittelung und endliche Momenten-Trunkierung einen Informationsverlust verursachen, der nicht lediglich ein Versagen der deterministischen Eindeutigkeit ist.

2. Wiederherstellung aus dem vollständigen Gesetz:
   Im Gegensatz zu den momentenbasierten Ergebnissen stellt der Beitrag fest, dass, wenn das vollständige gemeinsame Gesetz der DN-Abbildung bekannt ist (speziell das gemeinsame Gesetz abzählbar vieler Matrixeinträge $\langle \Lambda_q f_i, f_j \rangle$), dann das Gesetz des zufälligen Potentials eindeutig bestimmt ist, sofern das zugrundeliegende deterministische inverse Problem injektiv ist. Dieses Ergebnis hebt klassische deterministische Eindeutigkeitssätze (z. B. Sylvester–Uhlmann für $n \ge 3$) direkt auf den probabilistischen Rahmen, ohne spezifische statistische Strukturen des Rauschens vorauszusetzen.

3. Wiederherstellung aus gemittelten Greenschen Operatoren:
   Der Beitrag zeigt, dass der gemittelte Innenraum-Greensche Operator, $\mathbb{E}G_q$, erheblich mehr lokale Informationen enthält als die gemittelte Randabbildung.

   • Punktweise Momente: Das vollständige Innensymbol von $\mathbb{E}G_q$ bestimmt den punktweisen Mittelwert $\mathbb{E}q$ und die Varianz $\text{Var}(q)$ des Potentials.
   • Zwei-Atom-Rigidität: Für ein zweiwertiges zufälliges Potential bestimmt der gemittelte Greensche Operator alle punktweisen Momente des Zwei-Punkt-Gesetzes. Dies impliziert, dass die Abbildung vom Potential zum gemittelten Greenschen Operator für Zwei-Atom-Verteilungen injektiv ist, im Gegensatz zur Randabbildung.
   • Endlichdimensionale Modelle: Wenn das zufällige Potential die Form $q(x) = q_0(x) + \sum X_j V_j(x)$ mit bekannten Profilen $V_j$ und einem kompakt getragenen Zufallsvektor $X$ hat, bestimmt der gemittelte Greensche Operator alle gemischten Momente von $X$ und somit das vollständige Gesetz von $X$, unter einer Nichtentartungsbedingung für die Profile.

4. Leitfähigkeits-Analogien:
   Die Anhänge erweitern diese Ergebnisse auf die Leitfähigkeitsgleichung $\nabla \cdot (\gamma \nabla u) = 0$. Ähnliche Gegenbeispiele existieren für die erwartete Neumann-zu-Dirichlet-Abbildung. Für den gemittelten Leitfähigkeits-Greenschen Operator bestimmt jedoch das Hauptsymbol $\mathbb{E}(\gamma^{-1})$, und der nächste Ordnungsterm bestimmt eine gewichtete Kovarianzmatrix, die logarithmische Gradienten von $\gamma^{-1}$ beinhaltet.

Bedeutung und Behauptungen
Der Beitrag beansprucht, die fundamentalen Unterschiede zwischen Rand- und Innenraum-inversen Problemen im Vorhandensein allgemeiner Zufälligkeit zu klären.

• Rand vs. Innenraum: Die Ergebnisse heben einen scharfen Unterschied hervor: Randdaten (selbst mit vollständigem statistischen Wissen) leiden bei Mittelung oder Trunkierung unter Nicht-Eindeutigkeit, wohingegen Innenraum-Quellen-zu-Lösungs-Daten (der Greensche Operator) lokale Momenteninformationen bewahren, die die Wiederherstellung von Mittelwert und Varianz und in spezifischen Fällen des vollständigen Gesetzes ermöglichen.
• Erfassungsbereichs-Charakterisierung: Die Gegenbeispiele für die DN-Abbildung werden nicht nur als probabilistische Hindernisse, sondern als geometrische Aussagen über den Bildbereich der nichtlinearen Abbildung $q \mapsto \Lambda_q$ interpretiert. Speziell enthält der Bildbereich nichttriviale affine Kombinationen deterministischer Abbildungen, die nicht der affinen Kombination der Potentiale entsprechen.
• Kontrast zur bestehenden Literatur: Das Werk unterscheidet sich von der inversen Streuliteratur (z. B. Lassas, Pääivärinta, Saksman; Caro, Helin, Lassas), die typischerweise mikrolokale isotrope Gaußsche Felder annimmt und das Hauptsymbol des Kovarianzoperators wiederherstellt. Dieser Beitrag adressiert die Wiederherstellung des punktweisen Mittelwerts und des vollständigen Gesetzes ohne Annahme solcher spezifischer Strukturen und zeigt, dass eine solche Wiederherstellung aus Randmomenten unmöglich, aus Innenraum-Mittelwerten jedoch möglich ist.

Der Beitrag schließt damit, dass zwar das vollständige Gesetz der Randabbildung theoretisch für die Wiederherstellung ausreicht (unter der Voraussetzung deterministischer Eindeutigkeit), praktische oder partielle statistische Daten (Erwartungswerte, endliche Momente) jedoch für Randprobleme unzureichend, für Innenraumprobleme unter den beschriebenen Bedingungen jedoch ausreichend sind.