A note on several inverse problems with generally random coefficients

Résumé technique : Une note sur plusieurs problèmes inverses avec des coefficients généralement aléatoires

Énoncé du problème
Cet article étudie les problèmes inverses pour des équations elliptiques à coefficients aléatoires, en se concentrant spécifiquement sur l'équation de Schrödinger $(-\Delta + q)u = 0$ sur un domaine borné $\Omega \subset \mathbb{R}^n$. La question centrale est de savoir quelles informations concernant le potentiel aléatoire $q(\omega, x)$ peuvent être récupérées à partir de diverses résumés statistiques des données frontalières ou intérieures. L'aléatoire est supposé être « généralement aléatoire », ce qui signifie qu'aucune structure probabiliste particulière (telle que la gaussianité, la petitesse perturbative, l'isotropie microlocale, ou un support sur des inclusions) n'est imposée.

L'étude compare la récupérabilité de la loi du potentiel à partir de quatre types distincts de données :

1. La loi de probabilité complète de l'application de Dirichlet vers Neumann (DN), $\text{Law}(\Lambda_q)$.
2. L'espérance de l'application DN, $\mathbb{E}\Lambda_q$.
3. Un nombre fini de moments joints de la forme bilinéaire frontière $\langle \Lambda_q f, g \rangle$.
4. L'opérateur de Green intérieur moyenné, $\mathbb{E}G_q$, où $G_q = (-\Delta_D + q)^{-1}$.

Méthodologie
L'article emploie une combinaison de constructions radiales explicites, de calcul symbolique pour les opérateurs pseudodifférentiels et d'arguments de théorie de la mesure.

• Contre-exemples radiaux : Pour démontrer les limitations des données frontalières, l'auteur construit des potentiels explicites, lisses, non négatifs et radiaux dans la boule unité de $\mathbb{R}^3$. En analysant les valeurs propres de l'application DN dans la base des harmoniques sphériques, l'article identifie une dépendance affine de ces valeurs propres par rapport au carré d'un paramètre $N$ (où le potentiel est défini via $Q_N$). Cela permet de construire des potentiels distincts $q_1, q_2$ et un potentiel déterministe $q$ tels que $\Lambda_q = \frac{1}{2}\Lambda_{q_1} + \frac{1}{2}\Lambda_{q_2}$.
• Hiérarchies de moments : En utilisant les propriétés des matrices de Vandermonde, l'article construit des potentiels aléatoires prenant un nombre fini de valeurs tels que leurs moments joints de l'application DN jusqu'à un ordre fixe $M$ coïncident, alors que leurs potentiels moyens diffèrent.
• Analyse symbolique : Pour les données intérieures, l'article utilise le symbole intérieur complet de l'opérateur de Green. En moyennant le développement de la paramétrix de la résolvante $(-\Delta + q)^{-1}$, l'auteur isole les termes dans le développement du symbole qui correspondent aux moments ponctuels du potentiel et de ses dérivées.
• Relèvements d'unicité déterministe : L'article applique le théorème de Lusin–Souslin pour montrer que si un problème inverse déterministe est injectif sur une classe de Borel, alors la loi conjointe des entrées de l'application DN (par rapport à une suite dense de fonctions frontalières) détermine de manière unique la loi du coefficient aléatoire.

Contributions et résultats clés

1. Obstruction pour les applications frontalières moyennées :
   Le résultat négatif principal est que l'application de Dirichlet vers Neumann espérée, $\mathbb{E}\Lambda_q$, ne détermine pas le potentiel moyen $\mathbb{E}q$. L'article construit un potentiel aléatoire à deux valeurs $Q$ et un potentiel déterministe $q^*$ tels que $\mathbb{E}\Lambda_Q = \Lambda_{q^*}$, mais $q^* \neq \mathbb{E}Q$. Cette obstruction s'étend à toute hiérarchie finie de moments joints ; connaître tous les moments de $\langle \Lambda_q f, g \rangle$ jusqu'à l'ordre $M$ est insuffisant pour déterminer $\mathbb{E}q$. Cela indique que le moyennage et la troncature des moments finis entraînent une perte d'information qui n'est pas simplement un échec de l'unicité déterministe.

2. Récupération à partir de la loi complète :
   Contrairement aux résultats basés sur les moments, l'article établit que si la loi conjointe complète de l'application DN est connue (spécifiquement, la loi conjointe d'un nombre dénombrable d'entrées matricielles $\langle \Lambda_q f_i, f_j \rangle$), alors la loi du potentiel aléatoire est déterminée de manière unique, à condition que le problème inverse déterministe sous-jacent soit injectif. Ce résultat relève directement les théorèmes classiques d'unicité déterministe (par exemple, Sylvester–Uhlmann pour $n \ge 3$) vers le cadre probabiliste sans exiger de structures statistiques spécifiques sur le bruit.

3. Récupération à partir des opérateurs de Green moyennés :
   L'article démontre que l'opérateur de Green intérieur moyenné, $\mathbb{E}G_q$, contient significativement plus d'informations locales que l'application frontière moyennée.

   • Moments ponctuels : Le symbole intérieur complet de $\mathbb{E}G_q$ détermine la moyenne ponctuelle $\mathbb{E}q$ et la variance $\text{Var}(q)$ du potentiel.
   • Rigidité à deux atomes : Pour un potentiel aléatoire à deux valeurs, l'opérateur de Green moyenné détermine tous les moments ponctuels de la loi à deux points. Cela implique que l'application du potentiel vers l'opérateur de Green moyenné est injective pour les distributions à deux atomes, contrairement à l'application frontière.
   • Modèles de dimension finie : Si le potentiel aléatoire est de la forme $q(x) = q_0(x) + \sum X_j V_j(x)$ avec des profils connus $V_j$ et un vecteur aléatoire à support compact $X$, l'opérateur de Green moyenné détermine tous les moments mixtes de $X$, et donc la loi complète de $X$, sous une condition de non-dégénérescence sur les profils.

4. Analogues pour la conductivité :
   Les annexes étendent ces résultats à l'équation de conductivité $\nabla \cdot (\gamma \nabla u) = 0$. Des contre-exemples similaires existent pour l'application de Neumann vers Dirichlet espérée. Cependant, pour l'opérateur de Green de conductivité moyenné, le symbole principal détermine $\mathbb{E}(\gamma^{-1})$, et l'ordre suivant détermine une matrice de covariance pondérée impliquant les gradients logarithmiques de $\gamma^{-1}$.

Signification et affirmations
L'article prétend clarifier les différences fondamentales entre les problèmes inverses frontalières et intérieurs en présence d'un aléatoire général.

• Frontière vs Intérieur : Les résultats mettent en évidence une distinction nette : les données frontalières (même avec une connaissance statistique complète) souffrent de non-unicité lorsqu'elles sont moyennées ou tronquées, tandis que les données de source à solution intérieures (l'opérateur de Green) conservent des informations sur les moments locaux qui permettent la récupération de la moyenne et de la variance, et dans des cas spécifiques, de la loi complète.
• Caractérisation de l'image : Les contre-exemples pour l'application DN sont interprétés non seulement comme des obstructions probabilistes, mais comme des énoncés géométriques concernant l'image de l'application non linéaire $q \mapsto \Lambda_q$. Plus précisément, l'image contient des combinaisons affines non triviales d'applications déterministes qui ne correspondent pas à la combinaison affine des potentiels.
• Contraste avec la littérature existante : Ce travail se distingue de la littérature sur la diffusion inverse (par exemple, Lassas, Pääivärinta, Saksman ; Caro, Helin, Lassas) qui suppose généralement des champs gaussiens isotropes microlocalement et récupère le symbole principal de l'opérateur de covariance. Cet article aborde la récupération de la moyenne ponctuelle et de la loi complète sans supposer de telles structures spécifiques, montrant qu'une telle récupération est impossible à partir des moments frontalières mais possible à partir des moyennes intérieures.

L'article conclut que si la loi complète de l'application frontière est théoriquement suffisante pour la récupération (étant donné l'unicité déterministe), les données statistiques pratiques ou partielles (espérances, moments finis) sont insuffisantes pour les problèmes frontalières mais suffisantes pour les problèmes intérieurs dans les conditions décrites.