The influence of lunar tidal potential on clock frequencies at different positions on Earth

Problemstellung
Mit dem Fortschritt der Uhrentiming-Technologie bis zu einem Punkt, an dem die fraktionalen Frequenzinstabilitäten $10^{-18}$ oder besser erreichen, ist es entscheidend geworden, subtile Frequenzverschiebungen zwischen Uhren an verschiedenen Orten auf der Erde zu untersuchen. Während frühere Studien die gravitative Rotverschiebung, kinematische Effekte und den Einfluss des Gravitationspotentials der Erde adressiert haben, erfordert der spezifische Einfluss des lunaren Gezeitenpotentials auf die fraktionale Frequenzverschiebung zwischen bodengebundenen Uhren eine systematische Analyse. Bestehende Rahmenbedingungen, wie das geozentrische Koordinatenbezugssystem (GCRS), wurden bereits zur Analyse dieser Verschiebungen verwendet, jedoch besteht ein Bedarf, diese Effekte innerhalb des geozentrischen Fermi-Rahmens zu untersuchen, um relativistische Effekte und Gezeitenpotentiale in einem lokalen freien Fall besser zu berücksichtigen.

Methodik
Die Autoren analysieren die fraktionale Frequenzverschiebung von Uhren auf der Erde unter Verwendung des geozentrischen Fermi-Rahmens bis zur Ordnung von $c^{-2}$. Die Studie leitet die Eigenzeit einer Uhr ab, indem sie das Gravitationspotential der Erde ($\Phi_e$), das lunare Gezeitenpotential ($\Phi_{tm}$) und das solare Gezeitenpotential ($\Phi_{ts}$) einbezieht. Während die Autoren anerkennen, dass das Erdpotential und die Sonnengezeiten zu Frequenzverschiebungen beitragen, konzentriert sich die Arbeit spezifisch auf das lunare Gezeitenpotential aufgrund seiner relativen Größenordnung und der kürzeren Umlaufperiode des Mondes im Vergleich zur Erdumlaufbahn um die Sonne.

Die Studie etabliert eine Vergleichsmethode für zwei Uhren, A und B, die sich an unterschiedlichen Positionen auf der Erdoberfläche befinden. Durch die Expansion der Eigenzeitgleichungen leiten die Autoren einen Ausdruck für die fraktionale Frequenzverschiebung ($\Delta f / f_B$) ab, der von den Unterschieden in den Gravitations- und Gezeitenpotentialen sowie den kinematischen Termen ($v^2/2c^2$) zwischen den beiden Standorten abhängt. Das lunare Gezeitenpotential wird durch die Expansion des Gravitationspotentials des Mondes modelliert, wobei Terme bis zur zweiten Ordnung beibehalten und der Winkel zwischen dem Positionsvektor der Uhr und dem Positionsvektor des Mondes in Abhängigkeit von Breitengrad und Längengrad ausgedrückt werden.

Zentrale Beiträge und Ergebnisse
Die Arbeit liefert eine systematische Berechnung der lunaren Gezeiten-Fraktionsfrequenzverschiebung zwischen zwei Bodenuhren unter variierenden geometrischen Konfigurationen:

1. Abhängigkeit von der Uhrenposition:

   • Gleiche Längengrad, unterschiedliche Breitengrade: Wenn zwei Uhren denselben Längengrad teilen, steigt die fraktionale Frequenzverschiebung an, wenn die Differenz der Breitengrade ($\Delta \phi$) zunimmt. Die Verschiebung erreicht ein Maximum von etwa $6 \times 10^{-17}$, wenn eine Uhr am Äquator und die andere am Nordpol steht. Die Größenordnung dieser Verschiebung wird durch den Kosinus des doppelten Längengrades ($\cos(2\lambda)$) moduliert.
   • Gleicher Breitengrad, unterschiedliche Längengrade: Wenn zwei Uhren denselben Breitengrad teilen, steigt die fraktionale Frequenzverschiebung, wenn die Differenz der Längengrade ($\Delta \lambda$) von $0^\circ$ auf $90^\circ$ ansteigt oder von $180^\circ$ auf $90^\circ$ abnimmt. Die Verschiebung ist null, wenn beide Uhren am Nordpol ($\phi = 90^\circ$) stehen.

2. Abhängigkeit von der Position des Mondes:

   • Gleicher Längengrad, unterschiedliche Breitengrade: Änderungen des Längengrades des Mondes ($\lambda_m$) beeinflussen nur die Amplitude der fraktionalen Frequenzverschiebung zwischen den beiden Uhren. Umgekehrt beeinflussen Änderungen des Breitengrades des Mondes ($\phi_m$) sowohl die Phase als auch die Amplitude der Verschiebung.
   • Gleicher Breitengrad, unterschiedliche Längengrade: In dieser Konfiguration beeinflussen Änderungen des Längengrades des Mondes sowohl die Phase als auch die Amplitude der Verschiebung, während Änderungen des Breitengrades des Mondes nur die Amplitude beeinflussen.

Die Autoren präsentieren diese Ergebnisse durch analytische Ableitungen und grafische Darstellungen (Abbildungen 1–4) und zeigen auf, wie sich das lunare Gezeitensignal mit der relativen Geometrie der Uhren und des Mondes verändert.

Bedeutung
Die Arbeit behauptet, dass diese Ergebnisse nützliche Informationen für die Kalibrierung und Synchronisation von Uhren auf der Erde liefern. Mit zunehmender Präzision der Uhren wird die Fähigkeit, diese subtilen Gezeiteneffekte zu unterscheiden, für hochpräzise Anwendungen notwendig, einschließlich Kommunikation, Navigation und fundamentaler Physikexperimente, wie etwa dem Testen des Äquivalenzprinzips und der Detektion der gravitativen Rotverschiebung. Die Studie ergänzt bestehende Analysen durch eine detaillierte Darstellung der positionsabhängigen Natur der lunaren Gezeiten-Frequenzverschiebungen innerhalb des geozentrischen Fermi-Rahmens.