Minimum-Distortion Wealth Taxation, I: Information-Theoretic versus Transport-Geometric Optimality on the Proportional Class

Technisches Resümee: Minimal-Distorsions-Vermögensbesteuerung, I

Problemstellung
Diese Arbeit untersucht den Entwurf einer minimal-distorsiven Vermögensbesteuerung innerhalb eines Fokker–Planck (FP)-Rahmens auf Log-Vermögen. Sie adresst eine fundamentale normative Kluft in der optimalen Steuerungstheorie: das Spannungsverhältnis zwischen der Minimierung der Allokationsverzerrung (Erhalt der Portfolioentscheidungen der Haushalte) und der Minimierung der distributiven Perturbation (Kompression der Vermögensverteilung in Richtung Gleichheit). Das Papier formalisiert diese beiden Positionen als distinkte mathematische Optimierungsprobleme.

Die Analyse beschränkt sich auf die (C1)–(C3)-Klasse von Steuerschemata (Frøseth, 2026c), welche „verallgemeinerte Neutralität“ bewahrt. Unter diesen Bedingungen wirkt das Steuersystem auf den Vermögensprozess als ein uniformer Drift-Shift (durch die Vermögenssteuer) und als eine uniforme Reskalierung der exzessiven Drifts (durch die Corporate–Dividend-Flow-Steuern). Diese Einschränkung reduziert den unendlich-dimensionalen Schema-Raum auf eine zweidimensionale Design-Ebene, die durch folgende Parameter charakterisiert ist:

1. $k = (1 - \tau_c)(1 - \tau_d)$: Der Corporate–Dividend-Retention-Faktor (Durchreichung der Flow-Steuern).
2. $\tau_w$: Der proportionale Vermögenssteuersatz.

Das Ziel ist es, den optimalen Punkt $(k, \tau_w)$ auf einer Menge mit gematchter Einnahmenbeschränkung zu identifizieren, der zwei kontrastierende Distorsionskriterien minimiert.

Methodik
Das Papier verwendet einen kontinuierlichen stochastischen Rahmen, in dem das Vor-Steuer-Vermögen einem geometrischen Brownschen Bewegungsmodell (GBM) folgt. Der Post-Steuer-Log-Vermögensprozess wird durch eine modifizierte Fokker–Planck-Gleichung gesteuert. Die Analyse vergleicht zwei spezifische Distorsionsmetriken:

1. Die JKO-Freie-Energie-Lücke ($\Delta F$): Ein informationstheoretisches Maß, definiert als die Differenz der freien Energie zwischen den Post-Steuer- und den No-Steuer-Verteilungen zu einem endlichen Horizont $T$. Dies steht in der Tradition von Mirrlees zur Minimierung der Entscheidungsverzerrung.
   $$\Delta F[\tau] := F[p^\tau_T] - F[p^0_T]$$
   wobei $F[p]$ die Summe aus Entropie und potenzieller Energie ist.

2. Der quadratische 2-Wasserstein-Abstand ($W_2^2$): Ein transportgeometrisches Maß, das die „Masse“ quantifiziert, die erforderlich ist, um die No-Steuer-Verteilung in die Post-Steuer-Verteilung zu transportieren. Dies steht in der Tradition von Saez–Zucman zur distributiven Kompression.
   $$W_2^2(p^\tau_T, p^0_T) = \int_0^1 [F^{-1}_{\tau}(u) - F^{-1}_{0}(u)]^2 du$$

Das Papier leitet geschlossene Lösungen für die Minimierung beider Kriterien unter einer linearen Einnahmenbeschränkung $R \approx a\tau_w + b(1-k) = R^*$ ab. Es nutzt die Eigenschaften von Gauß-Verteilungen (die unter der (C1)–(C3)-Klasse erhalten bleiben), um explizite Optimierungsbedingungen erster Ordnung (FOCs) zu erhalten.

Zentrale Beiträge und Ergebnisse

1. Geschlossene Optima:
   Das Papier stellt fest, dass beide Minimierungsprobleme innerhalb der (C1)–(C3)-Klasse eindeutige geschlossene Lösungen besitzen.

   • Das JKO-Optimum weist eine Struktur auf, die linear in $\tau_w$ ist und eine Log-Ableitung in $k$ beinhaltet.
   • Das $W_2$-Optimum ist quadratisch in beiden Parametern.

2. Das $\rho$-Crossover und die Phasenstruktur:
   Das Verhalten des JKO-Optimums wird durch ein einzelnes dimensionsloses Verhältnis, das Crossover-Verhältnis $\rho$, gesteuert:
   $$\rho := \Sigma_0 \cdot \frac{m_0}{\sigma^2} = \frac{\sqrt{v_0 + \sigma^2 T} (\mu - \sigma^2/2)}{\sigma^2}$$
   wobei $m_0$ der geometrische Mittelwert des Log-Returns, $\sigma$ die Volatilität und $\Sigma_0$ die Standardabweichung des Horizonts ist.
   Das JKO-Optimum unterteilt die Regime-Achse in drei distinkte Phasen:

   • Reine Vermögenssteuer-Phase ($\rho < \rho_{low}$): Das Optimum liegt am Eckpunkt $k=1$ (keine Flow-Steuer) und maximalem $\tau_w$.
   • Mixed-Instrument-Phase ($\rho_{low} < \rho < \rho_{high}$): Das Optimum ist ein Innenpunkt, der sowohl Flow- als auch Vermögenssteuern nutzt.
   • Reine Flow-Steuer-Phase ($\rho > \rho_{high}$): Das Optimum liegt am Eckpunkt $\tau_w=0$ und minimalem $k$ (maximaler Flow-Steuer).

   Im Gegensatz dazu ist das $W_2$-Optimum in dieser Kalibrierung degeneriert: Es bindet über die gesamte Regime-Achse an den reinen Flow-Steuer-Eckpunkt ($\tau_w = 0$) und zeigt keine Phasenübergänge.

3. Der Mechanismus der „Bluntness“ (Stumpfheit):
   Das Papier identifiziert den ökonomischen Mechanismus, der die Divergenz zwischen den beiden Kriterien vorantreibt, als den Bluntness-Index $B(m_0) = b/(a m_0)$, welcher die mittlere Verschiebung pro Einnahmen-Overshoot des Vermögenssteuer-Kanals relativ zum Flow-Steuer-Kanal misst.

   • Das JKO-Kriterium gewichtet diese Bluntness linear. Es ist bereit, die Kosten der Verschiebung durch die Vermögenssteuer zu akzeptieren, wenn der geometrische Return $m_0$ ausreichend niedrig ist.
   • Das $W_2$-Kriterium gewichtet Bluntness quadratisch. Die quadratische Strafe für die Verschiebung macht den Vermögenssteuer-Kanal bei kleinem $m_0$ prohibitiv teuer und erzwingt die Lösung am Flow-Steuer-Eckpunkt.

4. Kalibrierung und Regimesensitivität:
   Unter Verwendung einer „norwegisch-geprägten“ Kalibrierung (repräsentativ für aktienlastige Portfolios mit $\sigma \approx 0.30$) lokalisiert das Papier den Regime-Parameter $\rho \approx 0.23$. Dies platziert die Ökonomie in der Mixed-Instrument-Phase für das JKO-Kriterium und empfiehlt eine Kombination aus einer Reduktion der Flow-Steuer-Durchreichung um ca. 9 % und einer proportionalen Vermögenssteuer von ca. 2,7 %.
   Das Papier stellt jedoch fest, dass für typische Haushalte mit signifikanten Immobilienbesitzungen (geringere effektive Volatilität) $\rho$ steigt, was die JKO-Empfehlung in die reine Flow-Steuer-Phase verschiebt. Die Empfehlung der Mixed-Phase erweist sich somit als fragil und sensitiv gegenüber kleinen Verschiebungen der Portfolio-Volatilität und des Planungshorizonts $T$.

Bedeutung und Ansprüche
Das Papier beansprucht, eine präzise mathematische Artikulation der normativen Spaltung zwischen der Mirrleesianischen (allokative Neutralität) und der Saez–Zucman-Tradition (distributive Kompression) zu liefern. Es entscheidet nicht, welche Tradition überlegen ist, sondern demonstriert vielmehr, dass die Wahl des Distorsionskriteriums die optimale Steuerstruktur fundamental verändert:

• Phasen-Reichtum: Das JKO-Kriterium erzeugt ein reiches Phasendiagramm mit regimeabhängigen Übergängen, während das $W_2$-Kriterium in diesem Setting eine degenerierte, einphasige Lösung liefert.
• Regime-Abhängigkeit: Der optimale Mix aus Vermögenssteuer versus Flow-Steuer ist kein fixes Instrument, sondern eine Funktion des ökonomischen Regimes (speziell des Verhältnisses von Drift zu Diffusion).
• Neutralität vs. Kompression: Innerhalb der neutralitätsbewahrenden (C1)–(C3)-Klasse geht der Dissens über die proportionale Mischung der Instrumente. Das Papier merkt an, dass außerhalb dieser Klasse (wie im Begleitpapier „Wasserstein Paper“ gezeigt) das $W_2$-Kriterium die Neutralität zugunsten eines progressiven Schemas aufgeben würde, während die Behavior des JKO-Kriteriums auf der vollen Klasse eine offene Frage bleibt.

Das Papier stellt explizit klar, dass es seine proportionalen Empfehlungen nicht mit tatsächlichen, auf Brackets basierenden Vermögenssteuersätzen in Norwegen oder anderen Jurisdiktionen vergleicht, da diese außerhalb der (C1)–(C3)-Klasse liegen. Ein solcher Vergleich wird einem Begleitpapier mit piecewise-Gaussian Erweiterungen überlassen. Die vorliegende Arbeit dient dazu, die theoretische Baseline und den Mechanismus der „Bluntness“-Strafe zu etablieren, der die Divergenz zwischen informationstheoretischer und transportgeometrischer Optimalität antreibt.