Gerber–Shiu Analysis of a Dependent Portfolio Risk Model with a Constant Dividend Barrier and Extended-Exponential Premium Income

Versicherungen sind ein System des geteilten Risikos, bei dem viele Menschen kleine Beträge in einen gemeinsamen Pool einzahlen, um die seltenen, großen Verluste weniger Personen zu decken. Für die Unternehmen, die diese Pools verwalten, ist die grundlegende Frage eine des Überlebens: Kann das Geld, das durch Prämien eingeht, jemals ausreichen, um das Geld zu decken, das für Schadensfälle ausgezahlt wird, insbesondere wenn diese Forderungen zu unvorhersehbaren Zeiten und in unvorhersehbaren Größenordnungen eintreffen? Wenn der Abfluss von Bargeld das Zuflusspotenzial über zu lange Zeit übersteigt, droht dem Unternehmen der Ruin – ein Zustand, in dem es seine Schulden nicht mehr begleichen kann. Um dieses empfindliche Gleichgewicht zu verstehen, untersuchen Forscher Risikomodelle, welche mathematische Beschreibungen dafür sind, wie Geld über die Zeit in und aus einem Versicherungsportfolio fließt. Diese Modelle helfen Versicherern dabei, Preise festzulegen, zu entscheiden, wie viel Kapital sie als Reserve halten müssen, und zu bestimmen, wann es sicher ist, Dividenden an die Aktionäre auszuschütten. Die reale Versicherungswirtschaft ist jedoch komplex und unordentlich. Prämien treffen nicht immer nach einem strengen Zeitplan ein, und die Größe eines Schadens hängt oft davon ab, wie viel Zeit seit dem letzten Ereignis vergangen ist. Eine lange Ruhephase könnte auf ein Anwachsen des Risikos hindeuten, während ein plötzlicher Häufung von Schadensfällen auf ein sich änderndes Umfeld hinweisen kann. Das Verständnis dieser verborgenen Verbindungen ist entscheidend für die Vorhersage, wann ein Unternehmen scheitern könnte.

In einer kürzlich durchgeführten Studie widmete sich ein Forscher namens Halim Zeghdoudi diesen Komplexitäten, indem er ein neues Modell der Risikoanalyse entwickelte, das ein gesamtes Versicherungsportfolio als ein einziges, dynamisches System betrachtet. Anstatt davon auszugehen, dass jeder Schadensfall unabhängig ist oder dass Prämien in einem stetigen, vorhersehbaren Rhythmus eingehen, erlaubt dieses Modell Zufälligkeiten sowohl im Timing als auch in der Höhe der eingehenden Gelder. Es führt zudem eine spezifische Methode ein, um die Größe eines Schadens mit der Zeit zu verknüpfen, die seit dem vorangegangenen Ereignis vergangen ist. Der Kern der Idee ist, dass die Historie des Portfolios von Bedeutung ist; die Dauer der Ruhephase vor dem Eintreten eines Schadens verändert die Wahrscheinlichkeit, ob dieser Schadensfall klein oder groß ausfällt. Um dies zu erfassen, nutzt die Studie ein Werkzeug namens Gerber–Shiu-Funktion, das wie eine detaillierte Leistungsbilanz fungiert. Sie gibt nicht nur an, ob ein Unternehmen bankrottgehen wird; sie berechnet die Wahrscheinlichkeit dessen, wie tief das Loch sein wird, und – entscheidend – welche Art von Ereignis den Zusammenbruch verursacht hat. Dies ermöglicht es dem Forscher, das Risiko einiger weniger massiver, seltener Katastrophen von dem Risiko vieler kleinerer, häufiger Verluste zu trennen.

Die Studie konzentriert sich auf ein spezifisches Szenario, in dem eine Versicherung jederzeit Dividenden an ihre Eigentümer ausschüttet, wenn ihre Barmittel eine bestimmte feste Grenze überschreiten, die als Barriere bekannt ist. Diese Strategie erzeugt ein Spannungsfeld: Die Ausschüttung von Dividenden hält die Aktionäre kurzfristig zufrieden, lässt das Unternehmen aber mit weniger Geld zurück, um zukünftige Erschütterungen abzufedern. Der Forscher wollte untersuchen, wie diese Strategie mit der Zufälligkeit der Prämien und der Abhängigkeit zwischen dem Zeitpunkt eines Schadens und dessen Größe interagiert. Zu diesem Zweck nimmt das Modell an, dass die Prämienzahlungen einem flexiblen Muster folgen können, das stärker variieren kann, als es ein einfacher Durchschnitt erlauben würde, und dass die Schadensfälle in eine von zwei unterschiedlichen Kategorien fallen. Eine Kategorie repräsentiert kleinere, häufigere Schäden, während die andere größere, schwerwiegendere Ereignisse darstellt. Das Modell bestimmt, welcher Kategorie ein neuer Schaden angehört, basierend darauf, wie viel Zeit seit dem letzten Schaden vergangen ist. Wenn eine lange Zeit verstrichen ist, legt das Modell nahe, dass der nächste Schaden wahrscheinlicher vom schweren Typ ist.

Um zu testen, wie dieses System reagiert, führte der Forscher zunächst eine Reihe von Computersimulationen unter Verwendung eines Satzes von Standardzahlen durch, die ein typisches Versicherungsportfolio repräsentieren. Diese Experimente zeigten, dass das Startkapital der wichtigste Faktor für das Überleben eines Unternehmens ist. Wenn die Anfangsreserven niedrig sind, ist die Gefahr des Ruins hoch, doch mit wachsender Reserve sinkt das Risiko drastisch. Die Simulationen bestätigten auch, dass ein häufigerer Erhalt von Prämien dem Unternehmen hilft, sicher zu bleiben, während ein häufigeres Eintreten von Schadensfällen die Gefahr erhöht. Interessanterweise fand die Studie heraus, dass die Form der Prämienverteilung eine Rolle spielt. Selbst wenn der durchschnittliche Betrag des eingehenden Geldes gleich bleibt, kann die Änderung des Musters, wie diese Zahlungen eintreffen, das Risiko des Ruins geringfügig beeinflussen. Die Analyse untersuchte auch die Auswirkung der Dividendenbarriere. Eine niedrigere Barriere, die eine frühere Ausschüttung auslöst, führt zu einem höheren Ruinrisiko, da das Unternehmen weniger Bargeld als Reserve behält. Eine höhere Barriere wirkt als Sicherheitsbuffer, der das Risiko eines Scheiterns verringert, aber die Rückzahlung von Geld an die Aktionäre verzögert.

Der zweite Teil der Studie verlagerte sich von der Theorie zur Realität, indem er das Modell auf einen realen Datensatz eines französischen privaten Kfz-Versicherungsportfolios anwandte. Der Forscher nutzte Aufzeichnungen über Prämien und Schäden von über 50.000 Policen aus den Jahren 2003 und 2004. Nach der Bereinigung der Daten konzentrierte sich die Studie auf 606 spezifische Fälle, in denen ein Schaden auftrat, wobei untersucht wurde, wie viel Zeit seit dem vorangegangenen Schaden vergangen war und wie groß der neue Schaden war. Die Ergebnisse waren bemerkenswert. Die Daten zeigten deutlich, dass die Schäden nicht alle gleich waren; sie fielen in zwei sehr unterschiedliche Gruppen. Eine Gruppe bestand aus einer kleinen Anzahl von extrem großen Schäden mit einem Durchschnitt von etwa 12.573 Euro, während die andere Gruppe die überwiegende Mehrheit der Schäden enthielt, die wesentlich kleiner waren und im Durchschnitt etwa 1.539 Euro betrugen. Das Modell erfasste erfolgreich die Regel, die diese Gruppen mit der Zeit verknüpft: Schäden, die auf eine längere Wartezeit folgten, gehörten signifikant wahrscheinlicher zur schweren Gruppe.

Als der Forscher dieses neue Modell mit älteren, einfacheren Wegen verglich, die dieselben Daten betrachteten, waren die Ergebnisse nuanciert. Das neue Modell, das die Zeit zwischen den Schäden berücksichtigt, schnitt besser ab als ein Basismodell, das davon ausging, dass alle Schäden identisch seien. Es schnitt auch etwas besser ab als ein Modell, das zwar von zwei Arten von Schäden ausging, aber die Zeit zwischen ihnen ignorierte. Die Verbesserung gegenüber dem einfacheren Zwei-Typen-Modell war moderat, was darauf hindeutet, dass die Zeit zwischen den Schäden zwar nützliche Informationen liefert, der Haupttreiber für den Unterschied in der Schadensgröße jedoch schlichtweg das Vorhandensein zweier unterschiedlicher Unfalltypen ist. Die Studie kam zu dem Schluss, dass das vorgeschlagene Modell eine praktische Möglichkeit bietet, diese Risiken zu verstehen. Sie bestätigt, dass die Zeit zwischen den Schäden Hinweise auf deren Schweregrad enthält, und bietet eine klare Methode, um zu berechnen, wie verschiedene Strategien – wie das frühe oder späte Ausschütten von Dividenden – die langfristige Sicherheit des Versicherungsunternehmens beeinflussen. Die Erkenntnisse legen nahe, dass Versicherer diese Art der detaillierten Analyse nutzen können, um fundiertere Entscheidungen darüber zu treffen, wie viel Kapital sie vorhalten und wann sie Gewinne ausschütten sollten, um das Gleichgewicht zwischen Sicherheit und Wachstum zu wahren.