🔢 mathematics

Gerber–Shiu Analysis of a Dependent Portfolio Risk Model with a Constant Dividend Barrier and Extended-Exponential Premium Income

Cet article développe un modèle de risque de portefeuille dépendant avec une barrière de dividende constante et un revenu de prime à exponentielle étendue afin de dériver les fonctions de Gerber-Shiu pour les probabilités de ruine spécifiques aux mécanismes, démontrant, par l'analyse théorique et l'application empirique à l'assurance automobile française, que l'incorporation de la dépendance de la durée entre les sinistres améliore la modélisation de la sévérité des sinistres et renforce l'évaluation du risque de ruine.

Auteurs originaux : Halim Zeghdoudi

Publié 2026-09-29

📖 6 min de lecture🧠 Analyse approfondie

CC BY 4.0

Auteurs originaux : Halim Zeghdoudi

Article original sous licence CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

L'assurance est un système de risque partagé, où de nombreuses personnes versent de petites sommes dans un fonds commun pour couvrir les pertes rares et importantes de quelques-uns. Pour les entreprises qui gèrent ces fonds, la question fondamentale est celle de la survie : l'argent provenant des primes sera-t-il suffisant pour couvrir l'argent sortant pour les sinistres, surtout lorsque ces derniers arrivent à des moments imprévisibles et avec des montants imprévisibles ? Si les sorties de fonds dépassent les entrées pendant trop longtemps, l'entreprise fait face à la ruine, un état où elle ne peut plus payer ses dettes. Pour comprendre cet équilibre délicat, les chercheurs étudient les modèles de risque, qui sont des descriptions mathématiques de la manière dont l'argent entre et sort d'un portefeuille d'assurance au fil du temps. Ces modèles aident les assureurs à fixer les prix, à décider de la quantité de capital à garder en réserve et à déterminer quand il est sûr de verser des dividendes aux actionnaires. Cependant, l'assurance réelle est complexe. Les primes n'arrivent pas toujours selon un calendrier strict, et la taille d'un sinistre dépend souvent du temps écoulé depuis le dernier. Une longue période de calme peut suggérer une accumulation de risques, tandis qu'un groupe soudain de sinistres pourrait indiquer un changement d'environnement. Comprendre ces connexions cachées est crucial pour prédire quand une entreprise pourrait faire faillite.

Dans une étude récente, un chercheur nommé Halim Zeghdoudi a abordé ces complexités en construisant un nouveau type de modèle de risque qui traite l'ensemble d'un portefeuille d'assurance comme un système dynamique unique. Au lieu de supposer que chaque sinistre est indépendant ou que les primes arrivent à un taux constant et prévisible, ce modèle permet une certaine aléatorité tant dans le calendrier que dans la taille de l'argent entrant. Il introduit également une manière spécifique de lier la taille d'un sinistre au temps écoulé depuis le précédent. L'idée centrale est que l'historique du portefeuille compte ; la durée de la période de calme avant l'arrivée d'un sinistre modifie la probabilité que ce sinistre soit petit ou grand. Pour donner du sens à cela, l'étude utilise un outil appelé fonction de Gerber–Shiu, qui agit comme un tableau de bord détaillé. Elle ne se contente pas de dire si une entreprise fera faillite ; elle calcule la probabilité que cela se produise, la profondeur du déficit et, surtout, quel type d'événement a causé l'effondrement. Cela permet au cherchenaire de séparer le risque de quelques catastrophes massives et rares du risque de nombreuses pertes plus petites et fréquentes.

L'étude se concentre sur un scénario spécifique où une compagnie d'assurance verse des dividendes à ses propriétaires chaque fois que ses réserves de trésorerie dépassent une certaine limite fixe, appelée barrière. Cette stratégie crée une tension : verser des dividendes satisfait les actionnaires à court terme mais laisse l'entreprise avec moins d'argent pour absorber les chocs futurs. Pour ce faire, le modèle suppose que les paiements de primes suivent un schéma flexible qui peut varier davantage qu'une simple moyenne le permettrait, et que les sinistres se répartissent en deux catégories distinctes. Une catégorie représente les sinistres plus petits et plus fréquents, tandis que l'autre représente les événements plus importants et plus graves. Le modèle détermine à quelle catégorie appartient un nouveau sinistre en fonction du temps écoulé depuis le précédent. Si un long moment s'est écoulé, le modèle suggère que le prochain sinistre est plus susceptible d'être de type sévère.

Pour tester le comportement de ce système, le chercheur a d'abord mené une série de simulations informatiques utilisant un ensemble de chiffres standards représentant un portefeuille d'assurance typique. Ces expériences ont montré que le montant avec lequel une entreprise commence est le facteur le plus puissant de sa survie. Lorsque la réserve initiale est faible, la probabilité de ruine est élevée, mais à mesure que la réserve croît, le risque chute brutalement. Les simulations ont également confirmé que recevoir des primes plus fréquemment aide l'entreprise à rester en sécurité, tandis que l'arrivée plus fréquente de sinistres augmente le danger. Curieusement, l'étude a révélé que la forme de la distribution des primes importe. Même lorsque le montant moyen d'argent entrant reste le même, changer le schéma de réception de ces paiements peut légèrement altérer le risque de ruine. L'analyse a également exploré l'effet de la barrière de dividende. Une barrière basse, qui déclenche les versements plus tôt, entraîne un risque de ruine plus élevé car l'entreprise conserve moins de liquidités en réserve. Une barrière haute agit comme un tampon de sécurité, réduisant le risque de défaillance mais retardant le retour de l'argent aux actionnaires.

La seconde partie de l'étude est passée de la théorie à la réalité en appliquant le modèle à un ensemble de données réelles provenant d'un portefeuille d'assurance automobile privée française. Le cherchenaire a utilisé les registres de primes et de sinistres de plus de 50 000 polices couvrant les années 2003 et 2004. Après avoir nettoyé les données, l'étude s'est concentrée sur 606 cas spécifiques où un sinistre est survenu, en examinant le temps écoulé depuis le sinistre précédent et la taille du nouveau sinistre. Les résultats ont été frappants. Les données ont clairement montré que les sinistres n'étaient pas tous identiques ; ils se divisaient en deux groupes très différents. Un groupe consistait en un petit nombre de sinistres extrêmement importants, avec une moyenne d'environ 12 573 euros, tandis que l'autre groupe contenait la grande majorité des sinistres, beaucoup plus petits, avec une moyenne d'environ 1 539 euros. Le modèle a réussi à capturer la règle reliant ces groupes au temps : les sinistres faisant suite à une période d'attente plus longue étaient significativement plus susceptibles d'appartenir au groupe sévère.

Lorsque le chercheur a comparé ce nouveau modèle à des méthodes plus anciennes et plus simples pour analyser les mêmes données, les résultats ont été nuancés. Le nouveau modèle, qui prend en compte le temps entre les sinistres, a mieux performé qu'un modèle de base supposant que tous les sinistres étaient identiques. Il a également légèrement mieux performé qu'un modèle supposant qu'il existait deux types de sinistres mais ignorant le temps entre eux. L'amélioration par rapport au modèle plus simple à deux types est modeste, suggérant que bien que le temps entre les sinistres fournisse des informations utiles, le principal moteur de la différence de taille des sinistres est simplement qu'il existe deux types distincts d'accidents. L'étude conclut que le modèle proposé offre une manière pratique de comprendre ces risques. Elle confirme que le temps entre les sinistres détient des indices sur la gravité du suivant, et elle fournit une méthode claire pour calculer comment différentes stratégies, comme verser des dividendes tôt ou tard, affectent la sécurité à long terme de la compagnie d'assurance. Les conclusions suggèrent que les assureurs peuvent utiliser ce type d'analyse détaillée pour prendre des décisions plus éclairées sur le montant de capital à conserver et sur le moment de partager les bénéfices, équilibrant le besoin de sécurité avec le désir de croissance.

Résumé technique : Analyse de Gerber–Shiu d'un modèle de risque de portefeuille dépendant

Énoncé du problème
Cet article étudie un modèle de risque de portefeuille d'assurance agrégé qui s'écarte du cadre classique de Cramér–Lundberg en intégrant simultanément trois caractéristiques complexes : des revenus de primes stochastiques, une dépendance entre la sévérité des sinistres et la durée inter-sinistre précédente, et une stratégie de barrière de dividendes constante. L'objectif principal est d'analyser la probabilité de ruine et les fonctions de pénalité actualisées associées (fonctions de Gerber–Shiu) dans ce contexte. Plus précisément, l'étude vise à distinguer les contributions des différents régimes de sévérité des sinistres au risque d'insolvabilité global, en reconnaissant que la taille des sinistres peut ne pas être indépendante du temps écoulé depuis le dernier sinistre.

Méthodologie
Le modèle est construit comme suit :

Primes stochastiques : Les encaissements de primes arrivent selon un processus de Poisson d'intensité $\lambda$ . Les montants des primes suivent une distribution exponentielle étendue (introduite par Gómez et al., 2014), qui est un mélange d'une distribution exponentielle et d'une distribution d'Erlang-2. Cette structure de type phase est choisie pour permettre une plus grande variabilité des montants de prime qu'un modèle exponentiel standard tout en maintenant la tractabilité analytique.
Mécanisme de sinistre dépendant : Les sinistres arrivent via un processus de Poisson indépendant d'intensité $\lambda_1$ . La sévérité du $i$ -ème sinistre dépend de la durée inter-sinistre $V_i$ . Un paramètre de référence latent propre au sinistre $M_i \sim \text{Exp}(\lambda_2)$ détermine le régime : si $V_i > M_i$ , le sinistre appartient au régime 1 ; sinon, il appartient au régime 2. Cela entraîne des probabilités conditionnelles où des périodes sans sinistre plus longues augmentent la probabilité du premier régime.
Barrière de dividendes : Une barrière constante $b$ est imposée. Tout excédent de surplus dépassant $b$ est immédiatement versé sous forme de dividendes.
Analyse de Gerber–Shiu : L'auteur définit des fonctions de Gerber–Shiu spécifiques aux mécanismes, $\Phi_i(u)$ , qui représentent l'espérance de la pénalité actualisée associée spécifiquement à une ruine causée par un sinistre issu du régime $i$ . La fonction de pénalité totale est la somme $\Phi(u) = \Phi_1(u) + \Phi_2(u)$ .
Dérivation analytique :
- Des équations intégrales sont dérivées pour $\Phi_1$ et $\Phi_2$ en utilisant la décomposition par premier événement.
- La représentation par mélange exponentiel–Erlang de la distribution des primes permet de décomposer l'opérateur prime-barrière en fonctions auxiliaires satisfaisant des relations différentielles du premier ordre.
- Sous l'hypothèse que les sévérités des sinistres dans les deux régimes sont distribuées exponentiellement et que la fonction de pénalité est égale à l'unité, le système est réduit à un système différentiel linéaire de dimension finie.
- Cela conduit à une représentation exponentielle matricielle pour les probabilités de ruine actualisées spécifiques aux mécanismes, $\Psi_i(u)$ .

Principales contributions

Formulation du modèle : Le papier formule un modèle de risque unifié combinant des primes stochastiques, des sévérités de sinistres dépendantes de la durée et des barrières de dividendes, comblant ainsi une lacune là où ces éléments sont souvent étudiés de manière isolée.
Décomposition spécifique aux mécanismes : Il introduit une décomposition de la fonction de Gerber–Shiu qui suit explicitement quel régime de sévérité cause la ruine, permettant une analyse granulaire des sources de risque d'insolvabilité.
Tractabilité analytique : En exploitant la structure de type phase (mélange exponentiel–Erlang) de la distribution des primes, l'auteur dérive une solution matricielle-exponentielle compacte pour les probabilités de ruine sous sévérités de sinistres exponentielles, évitant ainsi le recours à des équations différentielles scalaires d'ordre élevé.
Validation empirique : Le modèle est appliqué à un portefeuille réel d'assurance automobile privée française (Garantie Dommages), en ajustant la distribution exponentielle étendue aux primes et le modèle de deux régimes dépendant de la durée aux sinistres.

Résultats

Analyse de sensibilité numérique :
- Réserve initiale : Les probabilités de ruine diminuent de manière non linéaire à mesure que le surplus initial augmente, avec un déclin plus marqué aux niveaux de capital inférieurs.
- Paramètres de prime : L'augmentation de l'intensité d'arrivée des primes ( $\lambda$ ) réduit le risque de ruine. Le paramètre de forme $\alpha$ de la distribution exponentielle étendue réduit également le risque de ruine ; cependant, une analyse de conservation de la moyenne révèle que cet effet est piloté à la fois par l'augmentation de la moyenne du montant de la prime et par le changement de la forme de la distribution.
- Paramètres de sinistre : L'augmentation de l'intensité d'arrivée des sinistres ( $\lambda_1$ ) augmente le risque de ruine. Ce paramètre modifie également les probabilités inconditionnelles des deux régimes de sévérité, ajoutant de la complexité à l'analyse de sensibilité.
- Barrière de dividendes : Une barrière plus basse entraîne des versements de dividendes plus précoces mais augmente significativement la probabilité de ruine en raison de la réduction des tampons de capital.
Application empirique :
- Le modèle dépendant de la durée surpasse nettement un modèle de sinistre exponentiel unique en termes d'AIC et de BIC.
- Comparé à un mélange constant de deux exponentielles (qui permet l'hétérogénéité mais pas la dépendance à la durée), le modèle dépendant de la durée produit des valeurs d'AIC et de BIC légèrement inférieures ( $\Delta \text{AIC} \approx 1,60$ ). L'auteur caractérise cette amélioration comme modérée, suggérant que bien que la durée entre les sinistres fournisse une information supplémentaire, une grande partie de l'hétérogénéité de la sévérité est capturée par la structure même des deux régimes.
- Le modèle ajusté identifie deux régimes distincts : Mécanisme 1 (rare, haute sévérité, associé à des temps d'attente plus longs) et Mécanisme 2 (fréquent, faible sévérité, associé à des temps d'attente plus courts).

Signification et affirmations
L'article affirme que sa principale signification réside dans la fourniture d'un cadre analytique tractable pour analyser la ruine dans des portefeuilles où la sévérité des sinistres dépend du temps écoulé depuis le dernier sinistre et où les primes sont stochastiques. La décomposition en fonctions de Gerber–Shiu spécifiques aux mécanismes offre un outil pratique aux assureurs pour comprendre les moteurs spécifiques de l'insolvabilité (par exemple, distinguer entre les sinistres fréquents de faible intensité et les sinistres rares de forte intensité déclenchés par de longs intervalles).

L'auteur est modeste concernant les résultats empiriques. Il ne prétend pas que le modèle dépendant de la durée est une description universelle des données d'assurance automobile. Au lieu de cela, il conclut que le modèle est empiriquement soutenu comme une extension utile qui capture des informations supplémentaires, bien que l'amélioration par rapport à un mélange hétérogène standard ne soit pas écrasante. L'étude souligne que le modèle est mieux interprété au niveau du portefeuille, où les encaissements de primes et les sinistres proviennent de différentes polices et n'ont pas besoin de suivre un ordre temporel strict de un à un.

Limites
L'article reconnaît plusieurs limites :

L'hypothèse de processus d'arrivée de Poisson pour les primes et les sinistres, qui peut ne pas capturer la saisonnalité ou le regroupement (clustering).
Le recours à des sévérités de sinistres exponentielles pour la solution explicite par matrice-exponentielle (bien que des équations intégrales existent pour des distributions générales).
L'utilisation de données de primes annuelles plutôt que de données transactionnelles, ce qui approxime l'intensité d'arrivée des primes.
L'absence de données historiques sur les dividendes dans l'ensemble de données empiriques, ce qui signifie que la barrière de dividendes est traitée comme un paramètre de scénario plutôt que comme une politique estimée.

Articles similaires