On the Characterization of the Duhem Hysteresis Operator with Clockwise Input-Output Dynamics

Resumen Técnico: Sobre la Caracterización del Operador de Histéresis de Duhem con Dinámica de Entrada-Salida en Sentido Horario

Planteamiento del Problema
La histéresis es un fenómeno no lineal prevalente en sistemas físicos (por ejemplo, actuadores piezoeléctricos, materiales ferromagnéticos, sistemas mecánicos). Mientras que los comportamientos de entrada-salida (I/O) suelen caracterizarse como contrahorarios (CCW) o horarios (CW), la literatura existente ha analizado extensamente las dinámicas CCW (asociadas con la pasividad desde la entrada hacia la derivada de la salida), pero carece de un marco riguroso para las dinámicas CW en el contexto de los operadores de histéresis de Duhem. Específicamente, existe la necesidad de caracterizar los operadores de Duhem que exhiben un comportamiento I/O horario, donde la tasa de suministro se define por el producto de la salida y la derivada de la entrada ($y\dot{u}$), en lugar de la entrada y la derivada de la salida ($\dot{y}u$). Esto es particularmente relevante para sistemas mecánicos con fricción histerética, donde la relación entre el desplazamiento relativo y la fuerza de fricción suele seguir dinámicas horarias.

Metodología
Los autores investigan una clase específica de operadores de histéresis de Duhem definidos por la ecuación diferencial:
$$\dot{y}(t) = f_1(y(t), u(t))\dot{u}_+(t) + f_2(y(t), u(t))\dot{u}_-(t)$$
donde $\dot{u}_+$ y $\dot{u}_-$ representan las partes positiva y negativa de la derivada de la entrada, respectivamente.

Para caracterizar la propiedad horaria, el artículo introduce tres funciones auxiliares derivadas de las funciones definitorias $f_1$ y $f_2$ del operador:

1. Función de Anhisteresis ($f_{an}$): Una curva donde $f_1 = f_2$, que representa el lugar geométrico de puntos donde el lazo de histéresis colapsa.
2. Función de Tránsito ($\omega_\Phi$): Describe la trayectoria del operador cuando se aplica una entrada monótona creciente o decreciente desde un estado específico.
3. Función de Intersección ($\Lambda$): Define el punto de intersección único entre la trayectoria de tránsito y la curva de anhisteresis.

Utilizando estas funciones, los autores construyen una función de almacenamiento $H_\curvearrowright: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^+$ definida como la integral de la función de anhisteresis menos la integral de la función de tránsito. El núcleo de la metodología consiste en derivar condiciones suficientes sobre $f_1$ y $f_2$ (específicamente respecto al signo de una función derivada $F$ en relación con la curva de anhisteresis) para asegurar que la derivada temporal de esta función de almacenamiento satisfaga la desigualdad de disipación horaria:
$$\frac{d}{dt}H_\curvearrowright(y(t), u(t)) \leq y(t)\dot{u}(t)$$

Contribuciones Clave

1. Condiciones Suficientes para la Dinámica Horaria: El artículo proporciona condiciones suficientes explícitas sobre las funciones $f_1$ y $f_2$ de un operador de Duhem para garantizar que el operador exhiba dinámicas de entrada-salida horarias. Esto se formaliza en el Teorema 1.
2. Construcción Explícita de la Función de Almacenamiento: A diferencia de trabajos previos que establecieron la existencia, este artículo ofrece una construcción explícita de la función de almacenamiento $H_\curvearrowright$ (Ecuación 20) que satisface la desigualdad de disipación horaria. Se demuestra que esta función es la "función de almacenamiento disponible" para la tasa de suministro $y\dot{u}$.
3. Generalización a Salidas Saturadas: Los resultados se extienden en la Proposición 2 para acomodar operadores de Duhem con salidas saturadas, una característica común en modelos físicos como el modelo de Dahl.
4. Marco de Análisis de Estabilidad: El artículo demuestra cómo la función de almacenamiento construida puede ser utilizada como una función de Lyapunov para analizar la estabilidad de sistemas que incorporan histéresis horaria.

Resultos

• Validación Teórica: Los autores demuestran que, si la función construida $H_\curvearrowright$ satisface la desigualdad de disipación, el operador es horario. La prueba se basa en las propiedades de la función de intersección $\Lambda$ y el comportamiento de la función de tránsito $\omega_\Phi$.
• Aplicación al Modelo de Dahl: La teoría se aplica al modelo de Dahl de fricción. El artículo deriva explícitamente la función de almacenamiento $H_\curvearrowright$ para el modelo de Dahl (Ecuación 26) y verifica que satisface la desigualdad de disipación requerida.
• Estabilidad de Sistemas de Segundo Orden: Utilizando la función de almacenamiento derivada, los autores analizan un sistema mecánico de segundo orden con fricción histerética descrita por el modelo de Dahl. Al construir una función de Lyapunov compuesta $V = \frac{1}{2}kx_1^2 + \frac{1}{2}mx_2^2 + H_\curvearrowright(x_3, x_1)$, demuestran que el sistema es pasivo desde la fuerza aplicada hacia la velocidad. Consecuentemente, una ley de control de retroalimentación proporcional simple ($F = -dx_2$) muestra que la velocidad converge asintóticamente a cero, sin requerir el conocimiento preciso de los parámetros de fricción ($\rho$ y $F_C$).

Significancia
El artículo afirma que su principal significancia radica en proporcionar una extensión dual a los resultados de caracterización CCW existentes, específicamente adaptada para sistemas con dinámicas I/O horarias. Al establecer un marco de disipatividad riguroso para los operadores de Duhem con comportamiento horario, el trabajo permite el análisis de estabilidad de sistemas mecánicos con fricción histerética sin necesidad de invertir el operador (lo cual puede ser físicamente irrealizable o no invertible). Además, la construcción explícita de la función de almacenamiento ofrece una herramienta práctica para la identificación de sistemas, permitiendo a los investigadores restringir la clase de operadores de Duhem ajustados a partir de datos medidos basándose en sus propiedades horarias. Los resultados cierran la brecha entre la teoría de disipatividad abstracta y el modelado práctico de la histéresis inducida por fricción en sistemas de control.