On the Characterization of the Duhem Hysteresis Operator with Clockwise Input-Output Dynamics

技術要約：時計回り（CW）の入出力ダイナミクスを持つデューム・ヒステリシス演算子の特性評価について

問題提起
ヒステリシスは、物理システム（例：ピエゾアクチュエータ、強磁性材料、機械システム）において広く見られる非線形現象である。入出力（I/O）挙動は、反時計回り（CCW）または時計回り（CW）として特徴付けられることが多いが、既存の文献では、入力から出力への受動性に関連するCCWダイナミクスに関する分析が広範に行われてきた一方で、デューム・ヒステリシス演算子の文脈におけるCWダイナミクスに関する厳密な枠組みは不足している。具体的には、供給レートが入力と出力の微分（$\dot{y}u$）ではなく、出力と入力の微分（$y\dot{u}$）によって定義される、CWの入出力挙動を示すデューム演算子の特性評価が必要とされている。これは、相対変位と摩擦力の関係がCWダイナミクスに従うことが多い、ヒステリシス摩擦を持つ機械システムにおいて特に重要である。

手法
著者らは、以下の微分方程式によって定義される特定のクラスのデューム・ヒステリシス演算子を調査している：
$$\dot{y}(t) = f_1(y(t), u(t))\dot{u}_+(t) + f_2(y(t), u(t))\dot{u}_-(t)$$
ここで、$\dot{u}_+$ および $\dot{u}_-$ は、それぞれ入力微分の正の部分と負の部分を表す。

CW特性を特徴付けるために、本論文では、演算子の定義関数 $f_1$ および $f_2$ から導出される3つの補助関数を導入している：

1. アンヒステリシス関数 ($f_{an}$): $f_1 = f_2$ となる曲線であり、ヒステリシスループが崩壊する点の軌跡を表す。
2. 横断関数 ($\omega_\Phi$): 特定の状態から単調増加または単調減少する入力が適用された際の演算子の軌跡を記述する。
3. 交差関数 ($\Lambda$): 横断軌跡とアンヒステリシス曲線の間の唯一の交点（一点）を定義する。

これらの関数を用いて、著者らは、アンヒステリシス関数の積分から横断関数の積分を引いたものであるストレージ関数 $H_\curvearrowright: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^+$ を構成している。本手法の核心は、関数 $F$ の（アンヒステリシス曲線に対する）符号に関する $f_1$ および $f_2$ に関する十分条件を導出し、このストレージ関数の時間微分が以下のCW散逸不等式を満たすことを保証することである：
$$\frac{d}{dt}H_\curvearrowright(y(t), u(t)) \leq y(t)\dot{u}(t)$$

主な貢献

1. CWダイナミクスのための十分条件: 本論文は、デューム演算子の関数 $f_1$ および $f_2$ に関して、演算子が時計回りの入出力ダイナミクスを示すことを保証する明示的な十分条件を提供している。これは定理1において定式化されている。
2. ストレージ関数の明示的な構成: 存在を確立した既存の研究とは異なり、本論文は供給レート $y\dot{u}$ に対するストレージ関数 $H_\curvearrowright$（式20）の明示的な構成を提示している。この関数は、利用可能なストレージ関数（available storage function）であることが示されている。
3. 飽和出力への一般化: 本結果は、Dahlモデルのような物理モデルにおいて一般的な特徴である、飽和出力を伴うデューム演算器を考慮するように命題2へと拡張されている。
4. 安定性解析の枠組み: 構築されたストレージ関数を、CWヒステリシスを含むシステムの安定性を分析するためのリアプノフ関数として利用する方法を示している。

結果

• 理論的検証: 著者らは、構成された関数 $H_\curvearrowright$ が散逸不等式を満たす場合、その演算子がCWであることを証明している。この証明は、交差関数 $\Lambda$ の性質と横断関数 $\omega_\Phi$ の挙動に基づいている。
• Dahlモデルへの適用: 理論は摩擦のDahlモデルに適用されている。本論文では、Dahlモデルのためのストレージ関数 $H_\curvearrowright$（式26）を明示的に導出し、それが要求される散逸不等式を満たすことを検証している。
• 二次のシステムの安定性: 導出されたストレージ関数を用いて、著者らはDahlモデルで記述されるヒステリシス摩擦を持つ二次の機械システムを分析している。合成リアプノフ関数 $V = \frac{1}{2}kx_1^2 + \frac{1}{2}mx_2^2 + H_\curvearrowright(x_3, x_1)$ を構成することにより、システムが加えられた力から速度に対して受動的であることを示している。その結果、単純な比例フィードバック制御則（$F = -dx_2$）を用いることで、摩擦パラメータ（$\rho$ および $F_C$）の正確な知識を必要とせずに、速度の漸近的なゼロへの収束を保証できることが示される。

意義
本論文の主要な意義は、既存のCCW特性化の結果に対し、特にCWの入出力ダイナミクスを持つシステムに特化した双対の拡張を提供することにある。CW挙動を持つデューム演算子のための厳密な散逸性の枠組みを確立することで、本研究は、演算子の逆関数（これは物理的に実現不可能であったり、非可逆であったりする場合がある）を求めることなく、ヒステリシス摩擦を持つ機械システムの安定性解析を可能にする。さらに、ストレージ関数の明示的な構成は、実用的なシステム同定のツールを提供し、測定データに基づいてCW特性に基づいたデューム演算子のクラスを制限することを研究者に可能にする。これらの結果は、抽象的な散逸理論と、制御システムにおける摩擦誘起ヒステリシスの実用的なモデリングとの間の溝を埋めるものである。