On the number of binary quadratic forms having discriminant $1-4p$, $p$ prime

Resumen Técnico: Número de Formas Cuadráticas Binarias con Discriminante $1-4p$

1. Planteamiento del Problema

El objetivo central del artículo es determinar el comportamiento asintótico del número de clases de equivalencia bajo $SL_2(\mathbb{Z})$ de formas cuadráticas binarias integrales, definidas positivas, cuyo discriminante es de la forma $\Delta = 1 - 4p$, donde $p$ es un número primo, y cuyo valor absoluto está acotado por $X$.

El problema surge de una conexión topológica establecida en trabajos previos (Miller [10]) entre:

• Nudos simples de dimensión $(4a+1)$ de género 1 con polinomio de Alexander $\Delta_m(t) = mt^2 - (2m-1)t + m$.
• Formas cuadráticas binarias con discriminante $1-4m$.

La cuestión específica es: ¿Cuántas clases de formas cuadráticas binarias integrales, definidas positivas, existen con discriminante $1-4p$ (con $p$ primo) y discriminante acotado por $X$?

A diferencia de problemas anteriores que consideraban discriminantes $-4p$ o $-p$, este trabajo aborda la restricción de que el discriminante sea de la forma $1-4p$, lo cual introduce complicaciones aritméticas específicas debido a la naturaleza de los primos en congruencias modulares.

2. Metodología

Los autores emplean una combinación de teoría analítica de números, fórmulas de clase y modelos probabilísticos. La estrategia se divide en los siguientes pasos:

A. Relación con Números de Clase de Hurwitz y Fórmula Analítica

• Se define $H(D)$ como el número de clases de formas cuadráticas positivas de discriminante $D$.
• Se utiliza la relación entre $H(D)$ y el número de clase de Hurwitz $Hur(D)$, que incluye un peso para las formas con automorfismos. Se demuestra que la diferencia es despreciable en el término principal.
• Se aplica la Fórmula Analítica de Números de Clase para discriminantes negativos no fundamentales:
  $$h(D) = \frac{1}{\pi} L(1, \chi_D) |D|^{1/2}$$
  donde $L(s, \chi_D)$ es la función L de Dirichlet asociada al carácter de Kronecker $\chi_D$.
• Dado que se cuentan formas no primitivas, se descompone la suma total $Q(X)$ en sub-sumas $Q_d(X)$ según el contenido $d$ de la forma, reduciendo el problema a estimar sumas ponderadas de funciones L.

B. Modelado de Euler Aleatorio (Heurística)

• Antes de la prueba rigurosa, los autores proponen un modelo de producto de Euler aleatorio para entender la distribución de los números de clase de Hurwitz.
• Analizan los factores locales de las funciones $L$-series de Zagier (que gobiernan estos números de clase).
• Demuestran que, al restringir los discriminantes a la forma $1-4p$ (en lugar de todos los enteros), la densidad de ciertos residuos cuadráticos cambia. Esto introduce un factor de corrección en el promedio asintótico.
• Este factor de corrección resulta ser la Constante de Artin:
  $$C_{Art} = \prod_{\ell \ge 2} \left(1 - \frac{1}{\ell(\ell-1)}\right)$$
  Esto explica por qué el promedio de $H(1-4p)$ es menor que el promedio de $H(1-4m)$ (para $m$ compuesto) por un factor de $C_{Art}$.

C. Técnicas Analíticas Rigurosas
Para probar el resultado asintótico, los autores utilizan:

1. Descomposición de Sumas: Separamos la suma sobre $p$ en rangos de $n$ (donde $n$ proviene de la expansión de la función L).
2. Teorema de Siegel-Walfisz: Se utiliza para estimar la suma sobre primos en rangos pequeños ($n \le (\log X)^B$), donde el carácter de Kronecker se comporta de manera predecible.
3. Sumas Bilineales de Carácter: Para rangos intermedios y grandes, se aplican cotas para sumas bilineales de caracteres (basadas en la desigualdad de Polya-Vinogradov y técnicas de Friedlander-Iwaniec).
4. Manejo de Términos Principales Infinitos: A diferencia de trabajos previos que obtenían un único término principal, aquí surgen infinitos términos principales provenientes de la suma sobre los contenidos $d$. Estos deben sumarse cuidadosamente para obtener el resultado final.

3. Resultados Principales

Teorema 1.1 (Fórmula Asintótica):
Para $X \ge 2$, el número de clases de formas cuadráticas binarias integrales definidas positivas con discriminante $1-4p$ (donde $p$ es primo) y $|\Delta| \le X$ satisface:

$$\sum_{p \le X} H(1-4p) = C_{Art} \cdot \frac{2\pi}{9} \cdot \frac{X^{3/2}}{\log X} + O\left(\frac{X^{3/2}}{(\log X)^2}\right)$$

Donde $C_{Art}$ es la constante de Artin.

Teorema 5.3 (Versión Refinada):
Los autores obtienen una versión más fuerte con un ahorro de potencia arbitraria en el logaritmo:
$$\sum_{p \le X} H(1-4p) = \frac{\pi}{3} C_{Art} \int_2^X \frac{t^{1/2}}{\log t} dt + O_A\left(\frac{X^{3/2}}{(\log X)^A}\right)$$
para cualquier $A > 1$.

Corolario Topológico (Corolario 1.2):
Aplicando la correspondencia con la teoría de nudos, se concluye que el número de clases de equivalencia $S$ de matrices de Seifert $2 \times 2$ con polinomio de Alexander $pt^2 + (1-2p)t + p$ (para $p$ primo en $[1, X]$) es asintóticamente:
$$\sim C_{Art} \frac{4\pi}{9} \frac{X^{3/2}}{\log X}$$
Esto confirma que los nudos con polinomios de Alexander asociados a primos dominan la cuenta total de nudos simples de género 1.

4. Contribuciones Clave

1. Cálculo Exacto de la Constante: Mientras que trabajos anteriores (como [10]) conjeturaban el orden de magnitud $X^{3/2}/\log X$, este artículo determina la constante exacta, revelando la presencia de la constante de Artin.
2. Detección de la Desviación de Artin: Se demuestra que la restricción a discriminantes de la forma $1-4p$ altera el comportamiento estadístico promedio de los números de clase en comparación con discriminantes generales, a diferencia de casos anteriores (como $-4p$) donde la restricción a primos no cambiaba el factor principal.
3. Modelo de Euler Aleatorio para Funciones L de Zagier: Se proporciona un modelo probabilístico novedoso para las funciones L de Zagier (que no son funciones L cuadráticas estándar), permitiendo predecir momentos y distribuciones de números de clase de Hurwitz.
4. Técnica de Suma de Términos Principales: Se desarrolla un método para manejar y sumar infinitos términos principales que surgen al contar formas no primitivas en este contexto específico.

5. Significado e Impacto

• Teoría de Nudos: El resultado resuelve una conjetura heurística sobre la densidad de ciertos tipos de nudos de dimensión superior, proporcionando una base rigurosa para la afirmación de que los nudos asociados a primos son los más frecuentes.
• Teoría de Números: El trabajo profundiza en la comprensión de la distribución de números de clase en familias de discriminantes no fundamentales y no cuadráticos. La aparición de la constante de Artin en un contexto de formas cuadráticas (más allá de las raíces primitivas) es un hallazgo notable.
• Métodos Analíticos: La combinación de técnicas de criba, sumas bilineales y el manejo de series de Dirichlet con múltiples términos principales ofrece herramientas útiles para problemas similares en teoría analítica de números.

En resumen, el artículo cierra una brecha importante entre la heurística topológica y la realidad analítica, demostrando que la estructura aritmética de los primos en la expresión $1-4p$ impone una reducción sistemática (dada por $C_{Art}$) en la densidad de las formas cuadráticas asociadas.