Superelliptic curves with large Galois images

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "Superelliptic curves with large Galois images" (Curvas superelípticas con grandes imágenes de Galois) de Pip Goodman, publicado en arXiv:2011.14461v2.

1. Planteamiento del Problema

El artículo se centra en el estudio de las representaciones de Galois mod $\ell$ asociadas a las variedades de Jacobian de curvas superelípticas de la forma:
$$C: y^r = f(x)$$
donde:

• $r > 2$ es un número primo.
• $f(x)$ es un polinomio mónico con coeficientes en el cuerpo ciclotómico $\mathbb{Q}(\zeta_r)$.
• $\ell$ es un primo distinto de $r$.

El objetivo principal es establecer condiciones explícitas sobre los coeficientes y el grado de $f(x)$ que garanticen que la imagen de la representación de Galois $\rho_\ell: G_{\mathbb{Q}(\zeta_r)} \to \text{Aut}(J[\ell])$ sea "grande" (es decir, que contenga subgrupos perfectos maximales) para todos los primos $\ell$ fuera de un conjunto finito explícito.

Contexto y Brecha:

• La mayoría de los trabajos anteriores sobre imágenes grandes de Galois se han centrado en variedades abelianas de dimensión baja (superficies abelianas o curvas hiperelípticas de género bajo) o sobre cuerpos de base que no tienen extensiones no ramificadas (como $\mathbb{Q}$).
• Este trabajo aborda variedades de dimensión superior a 2 ($g > 1$) que no son de tipo $GL_2$ y permite que el cuerpo base $\mathbb{Q}(\zeta_r)$ tenga extensiones no ramificadas (lo cual ocurre cuando el número de clases de $\mathbb{Q}(\zeta_r)$ es impar y mayor que 1, es decir, para $r > 19$).
• Además, busca identificar el imagen exacta (no solo que sea "grande"), algo que es extremadamente difícil en dimensiones altas.

2. Metodología

El autor emplea una combinación de teoría de grupos, geometría aritmética y teoría de caracteres de Hecke. La metodología se estructura en los siguientes pilares:

A. Estructura de los Endomorfismos y Centralizadores

La curva $C$ posee un endomorfismo natural $[\zeta_r]$ inducido por $(x, y) \mapsto (x, \zeta_r y)$. Este endomorfismo conmuta con la acción de Galois y preserva el emparejamiento de Weil.

• Esto implica que la imagen de Galois está contenida en el centralizador de $[\zeta_r]$ dentro del grupo simpléctico $GSp_{2g}(\ell)$.
• El autor utiliza resultados de Wall y Kleidman-Liebeck para describir la estructura de este centralizador, que resulta ser un producto de grupos lineales generales ($GL$) o unitarios generales ($GU$), dependiendo de si el grado de inercia $i$ de $\ell$ en $\mathbb{Q}(\zeta_r)$ es impar o par.

B. Control de Grupos de Inercia y Regularidad $\Delta_v$

Para demostrar que la imagen es grande, se debe probar que no está contenida en ningún subgrupo maximal propio de los grupos clásicos mencionados.

• Se utiliza la teoría de curvas $\Delta_v$-regulares (desarrollada por Dokchitser) para controlar el comportamiento local de la curva en primos de mala reducción.
• Se construyen polinomios $f(x)$ con propiedades específicas de sus polígonos de Newton ($\Delta_v$) respecto a ciertos primos $p$. Esto permite describir explícitamente la acción del grupo de inercia $I_p$ sobre el módulo de torsión.
• Se demuestra que bajo ciertas condiciones, la imagen de la inercia contiene transvecciones y elementos con características espectrales específicas (como eigenvalores primitivos de orden $r$), lo cual es crucial para descartar la contención en subgrupos geométricos (como subgrupos de campo o grupos clásicos).

C. Irreducibilidad y Primitividad

• Irreducibilidad: Se utilizan sistemas de primos $p$ con grados de inercia específicos para mostrar que la representación es irreducible. Se aplican criterios basados en la acción de Frobenius sobre los subespacios de inercia.
• Primitividad: Este es un desafío técnico mayor dado que $\mathbb{Q}(\zeta_r)$ puede tener extensiones no ramificadas. El autor demuestra que la acción de Galois sobre una posible descomposición imprimitiva es no ramificada. Luego, utiliza resultados sobre el número de clases de $\mathbb{Q}(\zeta_r)$ (específicamente para $r=23$ y $r=31$) y límites de discriminantes para probar que tales extensiones no ramificadas no existen o tienen restricciones de grupo que fuerzan la primitividad (es decir, que la descomposición es trivial).

D. El Carácter de Endomorfismo

Para determinar la imagen exacta (no solo el subgrupo perfecto), el autor introduce y estudia el "carácter de endomorfismo", un carácter de Hecke algebraico $\Omega$ que generaliza el carácter CM.

• Se calcula el tipo infinito de este carácter basándose en la acción de los endomorfismos sobre las formas diferenciales regulares.
• Esto permite determinar el determinante de la representación de Galois y, combinado con el resultado de que la imagen contiene el grupo especial (SL o SU), identificar el grupo completo (GL o GU con condiciones de determinante específicas).

3. Contribuciones Clave

1. Generalización a Dimensiones Altas y Cuerpos con Números de Clase Impares: Es el primer resultado explícito para variedades abelianas de dimensión $>2$ (no de tipo $GL_2$) que permite un cuerpo base con extensiones no ramificadas.
2. Identificación Exacta de la Imagen: A diferencia de trabajos anteriores que solo prueban que la imagen es "grande" (contiene el grupo especial), este trabajo identifica el grupo exacto de Galois para el caso $r=3$.
   • Para $\ell \equiv 1 \pmod 3$: La imagen es un grupo casi lineal general $GL_{d-2}(\ell)$ con condiciones específicas en el determinante.
   • Para $\ell \equiv 2 \pmod 3$: La imagen es un grupo unitario general $GU_{d-2}(\ell)$ con condiciones similares.
3. Construcción de Ejemplos Explícitos con Coeficientes Pequeños: A diferencia de métodos previos (como el uso del Teorema Chino de los Residuos en [AD20]) que generaban coeficientes enormes, el método basado en curvas $\Delta_v$-regulares permite construir ejemplos con coeficientes relativamente pequeños, facilitando la verificación computacional.
4. Aplicación al Problema de Galois Inverso: Los resultados proporcionan una familia infinita de curvas cuyas representaciones de Galois surgen como extensiones de Galois con grupos de Galois específicos sobre $\mathbb{Q}(\zeta_r)$.

4. Resultados Principales

El teorema central (Teorema 7.2 y 7.5) establece que, bajo ciertas condiciones de congruencia en los coeficientes de $f(x)$ y restricciones sobre los primos de mala reducción:

• Si $i$ (grado de inercia de $\ell$) es impar, la imagen de $\rho_\lambda$ contiene $SL_n(\ell^i)$ (donde $n = 2g/(r-1)$).
• Si $i$ es par, la imagen contiene $SU_n(\ell^{i/2})$.
• Caso $r=3$: Se logra una descripción completa.
  • Si $\ell \equiv 1 \pmod 3$: $\rho_\ell(G_{\mathbb{Q}(\zeta_3)}) = GL_{d-2}(\ell)^{\lceil g/3 \rceil, 6} \rtimes \langle \chi_\ell \rangle$.
  • Si $\ell \equiv 2 \pmod 3$: $\rho_\ell(G_{\mathbb{Q}(\zeta_3)}) = GU_{d-2}(\ell)^{\lceil g/3 \rceil, 6} \rtimes \langle \chi_\ell \rangle$.
  • Aquí, los grupos tienen restricciones en el determinante generadas por potencias de un generador del cuerpo finito y un elemento de orden 6.

El artículo proporciona ejemplos concretos con géneros desde 10 hasta 36 (para $r=3, 5, 7$), especificando los polinomios exactos y el conjunto finito de primos excepcionales donde la imagen podría no ser la esperada.

5. Significado e Impacto

• Avance en Teoría de Números: Proporciona una herramienta poderosa para estudiar la distribución de imágenes de Galois en familias de variedades abelianas de alta dimensión, un área donde los resultados explícitos son escasos.
• Herramientas de Teoría de Grupos: Introduce y aplica técnicas modernas de teoría de grupos (clasificación de subgrupos maximales de grupos clásicos, lemas de Goursat y Ribet) en un contexto aritmético, ofreciendo un marco metodológico para futuros investigadores.
• Problema de Galois Inverso: Al identificar grupos de Galois específicos y grandes, el trabajo contribuye directamente a la construcción de extensiones de Galois con grupos dados sobre cuerpos ciclotómicos, resolviendo casos particulares del Problema de Galois Inverso para grupos casi simples y sus extensiones.
• Eficiencia Computacional: La capacidad de generar ejemplos con coeficientes pequeños hace que estos resultados sean verificables y útiles para experimentación numérica en teoría de números, algo que antes era prohibitivo para géneros altos.

En resumen, el artículo de Pip Goodman representa un hito en la comprensión de las representaciones de Galois mod $\ell$ para curvas superelípticas, superando las limitaciones de dimensión y de cuerpo base de trabajos anteriores, y logrando una precisión sin precedentes en la descripción de la imagen de Galois.