A discrepancy result for Hilbert modular forms

Resumen Técnico: Un Resultado de Discrepancia para Formas Modulares de Hilbert

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la distribución cuantitativa de los autovalores de Hecke para las formas modulares de Hilbert, centrándose específicamente en la distribución de Sato-Tate "vertical". Si bien la equidistribución de los autovalores $\kappa_\pi(v)$ para un primo $v$ fijo cuando el nivel $N$ o el peso $k$ tienden al infinito es un teorema conocido (establecido por Li, Blomer, etc.), la tasa de convergencia —medida por la discrepancia $D(\mu, \nu)$ entre la distribución empírica de los autovalores y la medida límite— sigue siendo un objeto de investigación activa.

En el entorno clásico de las formas modulares sobre $\mathbb{Q}$, trabajos previos de Gamburd, Jakobson, Sarnak y, posteriormente, Jung y Sardari [JS20], establecieron que la discrepancia $D(\mu^*_{k,N}, \mu_p)$ está acotada inferiormente por una potencia del peso $k$ (específicamente $\Omega(k^{-1/3} \log^{-2} k)$). Esto contrasta con los límites superiores derivados de la fórmula de traza de Eichler-Selberg, que típicamente producen ahorros logarítmicos ($O((\log k)^{-1})$). La cuestión central que motiva este trabajo es si se puede romper esta barrera logarítmica para lograr un límite superior de ahorro de potencia, o, por el contrario, si el límite inferior (la estimación de tipo $\Omega$) puede generalizarse al contexto de las formas modulares de Hilbert sobre un cuerpo de números totalmente real $F$ de grado $r \geq 2$.

Metodología
Los autores emplean la fórmula de traza de Petersson para las formas modulares de Hilbert, una herramienta utilizada previamente en el caso clásico por Jung y Sardari. La metodología implica varios pasos técnicos clave:

1. Análisis Asintótico de la Fórmula de Traza: Los autores derivan una versión asintótica de la fórmula de traza de Petersson para el espacio $A_k(N, \omega)$ de formas cúspides de Hilbert holomorfas. Analizan la suma sobre la base de las formas propias $\sum \lambda_\phi(n) W_\phi^{m_1}(1) W_\phi^{m_2}(1) / \|\phi\|^2$.
2. Estimación del Término de Error: Una parte significativa del trabajo se dedica a estimar el término de error en la fórmula de traza. Esto implica acotar una suma triple sobre clases de ideales, unidades y puntos de red. Los autores utilizan estimaciones precisas para la función de Bessel de primera especie ($J_\nu$), aprovechando específicamente el comportamiento de transición de $J_\nu(x)$ cerca de $x \approx \nu$. Particionan los puntos de red basándose en la magnitud de sus inserciones y aplican diferentes cotas (uniformes vs. decaimiento exponencial) dependiendo de la región.
3. Simplificación del Término Principal: Para obtener un límite inferior no trivial, los autores imponen condiciones aritméticas específicas sobre el cuerpo $F$ y el ideal $N$:
   • $F$ tiene un número de clase estrecha impar.
   • El ideal $N$ es generado por un entero racional $\tilde{s}$ (es decir, $N = \tilde{s}\mathcal{O}$).
   • Bajo estas condiciones, la suma triple en la fórmula de traza colapsa en un único término dominante que involucra a una suma de Kloosterman específica.
4. No Vanecimiento de las Sumas de Kloosterman: Los autores demuestran que, bajo el supuesto de que $N$ es libre de cuadrados y el carácter es trivial, la suma de Kloosterman global relevante no se anula. Este no vanecimiento es crucial para asegurar que el término principal domine al término de error.
5. Derivación de la Discrepancia: Utilizando la cota inferior asintótica de la traza, los autores relacionan la suma de los autovalores con la discrepancia entre la medida ponderada $\tilde{\nu}_{k,N}$ y la medida de Sato-Tate $\mu_\infty$. Utilizan la ortogonalidad de los polinomios de Chebyshev e integración por partes para traducir el límite inferior de la traza en un límite inferior de la discrepancia.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Teorema 1 (Fórmula de Traza de Petersson Asintótica): Los autores establecen una fórmula asintótica para la fórmula de traza de Petersson actuando sobre $A_k(N, \omega)$ cuando el peso mínimo $k_0 = \min(k_j) \to \infty$. Proporcionan un término de error explícito de orden $O(\prod (k_j-1)^{-1/3})$ (con variaciones dependiendo del índice), válido bajo restricciones específicas sobre los coeficientes de Fourier $m_1, m_2$.
2. Teorema 2 (Límite Inferior para el Término Principal): Bajo los supuestos de que $F$ tiene número de clase estrecha impar y $N = \tilde{s}\mathcal{O}$ con $\tilde{s} \in \mathbb{Z}$, los autores muestran que el término principal de la fórmula de traza es no nulo y está acotado inferiormente por $\prod (k_j-1)^{-1/3}$. Esto se basa en la reducción de la suma a un solo término y en el no vanecimiento de la suma de Kloosterman asociada.
3. Teorema 3 (Límite Inferior de la Discrepancia): El resultado principal es la generalización de la cota de discrepancia de tipo $\Omega$ a las formas modulares de Hilbert. Para un cuerpo totalmente real $F$ con número de clase estrecha 1, y para una secuencia específica de pesos $k_l$ construida a partir de un ideal primo fijo $p$, la discrepancia satisface:
   $$D(\tilde{\nu}_{k_l, N}, \mu_\infty) \gg \frac{1}{(\log (k_l)_0)^2 \prod_{i=1}^r (k_{li}-1)^{1/3}}$$
   Este resultado confirma que la discrepancia no decae más rápido que una potencia del peso (específicamente $k^{-1/3}$), reflejando el comportamiento encontrado en el caso clásico por Jung y Sardari.

Significancia
El artículo afirma iniciar la discusión sobre la extensión de las cotas de discrepancia de tipo $\Omega$ desde las formas modulares clásicas hacia las formas modulares de Hilbert. Al adaptar con éxito la técnica de "eliminación de peso" y el análisis de la fórmula de traza de Petersson al entorno de dimensiones superiores de los cuerpos totalmente reales, los autores demuestran que la distribución de Sato-Tate vertical para las formas modulares de Hilbert exhibe irregularidades (discrepancias) similares a las del caso clásico.

La significancia radica en:

• Generalización: Extender los resultados de [JS20] de $\mathbb{Q}$ a cuerpos de números totalmente reales arbitrarios $F$ (aunque bajo la condición restrictiva de número de clase estrecha 1).
• Avance Metodológico: Proporcionar un análisis asintótico detallado de los términos de error en la fórmula de traza de Petersson de Hilbert, lo cual implica el manejo de la geometría de las redes en $\mathbb{R}^r$ y el comportamiento de las funciones de Bessel en múltiples dimensiones.
• Límites Cuantitativos: Establecer que la discrepancia no puede mejorarse a un límite superior de ahorro de potencia (es decir, $O(k^{-\theta})$ para $\theta > 1/3$) sin nuevas técnicas, ya que el límite inferior prueba la existencia de secuencias donde la discrepancia es al menos del orden de $k^{-1/3}$.

Los autores señalan que, si bien prueban el resultado para la medida ponderada $\tilde{\nu}_{k,N}$, esperan un resultado similar para la medida no ponderada, aunque esto sigue siendo un tema para trabajos futuros. El artículo no pretende resolver la cuestión de si existe un límite superior de ahorro de potencia en general, sino que proporciona evidencia (vía el límite inferior) de que tal límite, si existe, debe tener un exponente $\theta < 1/3$.