Arithmetic progressions of integers that are relatively prime to their digital sums

1. El Problema

El estudio se centra en una variante de los "números de Niven" (o números Harshad). Un número es $b$-Niven si es divisible por la suma de sus dígitos en base $b$. El artículo introduce y define el concepto de número $b$-anti-Niven: un entero positivo $n$ es $b$-anti-Niven si es relativamente primo a la suma de sus dígitos en base $b$, es decir, $\gcd(n, s_b(n)) = 1$, donde $s_b(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ en base $b$.

El objetivo principal es investigar la existencia y la longitud máxima de las progresiones aritméticas (PA) de $b$-anti-Niven, tanto para incrementos $d=1$ (números consecutivos) como para $d > 1$.

2. Metodología

Los autores emplean métodos de la teoría de números, combinando:

• Propiedades de la suma de dígitos: Uso de congruencias módulo $(b-1)$ para relacionar el número con su suma de dígitos (Lemmas sobre divisibilidad).
• Teoría de números aditiva y distributiva: Aplicación de resultados previos sobre la densidad de conjuntos y la distribución de números en progresiones aritméticas.
• Construcciones explícitas: Uso del Teorema de Euler y la construcción de números mediante potencias de la base $b$ para demostrar la existencia de progresiones de longitud arbitraria.
• Análisis de casos: División del estudio según la paridad de la base $b$ y el valor del incremento $d$.

3. Contribuciones Clave y Resultados

El artículo se divide en tres áreas de resultados fundamentales:

A. Existencia y Limitaciones de las Progresiones Infinitas:

• No infinitud: Demuestran que no existen progresiones aritméticas de longitud infinita compuestas exclusivamente por números $b$-anti-Niven (Teorema 2.3).
• Existencia de longitud arbitraria: Prueban que para cualquier longitud $t$, existen infinitas progresiones aritméticas de longitud $t$ que son $b$-anti-Niven (Teorema 2.4).
• Condición de existencia: Establecen que una PA infinita contiene al menos un número $b$-anti-Niven si y solo si $\gcd(n, d, b-1) = 1$ (Teorema 2.2).

B. Longitudes Máximas en Progresiones Específicas:

• Progresiones de incremento 1 (Consecutivos): Si $p$ es el menor primo tal que $p | (b-1)$, la longitud máxima de una secuencia de números consecutivos $b$-anti-Niven es exactamente $p-1$ (Teorema 3.2).
• Progresiones de incremento 2: Para bases donde $b-1$ no es de la forma $2r+1$, la longitud máxima es también $p-1$ (Teorema 3.3).
• Progresiones de incremento $(b-1)$: Cuando $b$ es par, la longitud máxima es $2b+1$, y existen infinitas secuencias de esta longitud (Teorema 3.5).

C. Cotas Superiores y Comportamiento de Bases Pares:

• Establecen que para bases pares $b \geq 6$ y incrementos impares $3 \leq d \leq b/2$, la longitud máxima está acotada por $\lceil 2b/d \rceil + 2$ (Teorema 3.4), lo cual es significativamente menor que otras cotas generales en ciertos casos.

4. Significancia

Este trabajo expande la comprensión de la estructura de los números en relación con sus propiedades digitales. Mientras que la literatura previa se ha centrado mayoritariamente en los números de Niven (divisibilidad), este estudio traslada el foco a la coprimalidad, un concepto central en la teoría de números.

La investigación es significativa porque:

1. Completa el panorama: Proporciona una contraparte teórica al estudio de las progresiones de Niven.
2. Establece límites precisos: No solo ofrece cotas superiores, sino que demuestra mediante construcciones que dichas cotas son alcanzables (son "ajustadas").
3. Abre nuevas líneas de investigación: Las conjeturas finales (4.3 y 4.4) sugieren que la relación entre la paridad de la base y el incremento $d$ es un campo fértil para futuros descubrimientos en la distribución de números con propiedades digitales específicas.